切比雪夫不等式的推廣與應(yīng)用

切比雪夫不等式的推廣與應(yīng)用什么是切比雪夫不等式切比雪夫不等式(又名切比雪夫不等式、切比雪夫不等式、切比雪夫不等式)是一個(gè)在概率論中經(jīng)常使用的不等式，又稱切比雪夫不等式。該不等式是由俄羅斯數(shù)學(xué)家切比雪夫在1887年提出來的，用于說明在概率論中和的分布的規(guī)律性。在數(shù)學(xué)中，切比雪夫不等式不僅可以立刻衍生出其他形式的不等式，而且它的應(yīng)用不僅僅限于概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)，可能會(huì)在公差限制條件下也會(huì)涉及到它。切比雪夫不等式的公式表示設(shè)x1,x2,…,xn為一組獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，期望為μ，方差為σ^2。則對(duì)于任意ε>0，P(|x1+…+xn/n?μ|≥ε)≤σ2/nε2切比雪夫不等式的翻譯版本中毒瘤式的符號(hào)耗費(fèi)了超過30秒讓我理解含義，所以我嘗試從易懂的方式來解釋其符號(hào)：設(shè)x1,x2,…,xn為一組獨(dú)立同分布隨機(jī)變量,則其期望為μ，方差為σ^2，則對(duì)于任意的正量ε，當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，P(在x1,x2,…,xn樣本中，x的平均值與其期望誤差超過ε的樣本比例)≤總體方差σ2/(nε2)切比雪夫不等式的推廣在以上公式中，變量都必須滿足獨(dú)立同分布這個(gè)條件，然而研究中有時(shí)候變量的分布是未知的，甚至不是固定的分布。那么，使用切比雪夫?qū)τ诓煌臈l件分布情況下進(jìn)行推廣是非常重要的。Chebyshev-Cantelli不等式設(shè)x1,x2,…,xn為一組獨(dú)立隨機(jī)變量，并且存在每個(gè)變量的均值和方差E(xi)=μi和Var(xi)=σi^2,i=1,2,.,n，則P(xi?μi≤kσi)≥1?1/k^2，其中k為任意正數(shù)。這個(gè)公式可以應(yīng)用于不常見的條件分布，就是我們沒有把X展開成期望與方差的和的那種分解形式。虛擬類變量注意到切比雪夫定理的證法，可以推廣到非實(shí)際的類別變量上。準(zhǔn)確地，在x用于批處理中，或者有小于零的分布，其零到一的縮放x’=（x-μ）/σ的最大值通過1/k^2保證是足夠小的。切比雪夫不等式的應(yīng)用切比雪夫定理在數(shù)值分析中不可或缺，通常用于估計(jì)。確定N如何選取一個(gè)比較大的n保證近似值與真實(shí)值的誤差在某個(gè)固定范圍內(nèi)。借助切比雪夫定理可以獲得保守的上界，從而確定n的值。當(dāng)樣本數(shù)比較大時(shí)，切比雪夫定理派上用場(chǎng)。統(tǒng)計(jì)推斷因?yàn)榍斜妊┓蚨ɡ硎菍?duì)任意分布都可以使用的定理。所以在一般的統(tǒng)計(jì)推斷中也可以只從中推導(dǎo)出一些常用的簡(jiǎn)單結(jié)果,下面的例子是表示對(duì)于二項(xiàng)分布Binomial(n，p)的任意數(shù)字參數(shù)p，式子|X/n-p|≤kσ/n是按照1-1/k^2的概率成立的。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，通常使用標(biāo)準(zhǔn)差vsu（標(biāo)準(zhǔn)誤差），在估計(jì)總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)的方差或者LS均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差時(shí)。如果標(biāo)準(zhǔn)差或者標(biāo)準(zhǔn)誤差是已知的，那么就可以使用切比雪夫定理來計(jì)算新的切比雪夫嚴(yán)格定理。這樣，關(guān)于提供限制誤差的概率的準(zhǔn)確度便能得到確切的估計(jì)，而不是依靠概率眼花的瞎猜。求解信號(hào)處理問題對(duì)于信號(hào)處理的問題中的解決方案，切比雪夫伯努利不等式提供了一種有效的方法。當(dāng)我們有一個(gè)隨機(jī)信號(hào)在滿足有限時(shí)間的平均值和方差約束的情況下對(duì)我們進(jìn)行某種約束的增強(qiáng)，通常的做法是通過擴(kuò)展切比雪夫不等式來獲得信號(hào)增強(qiáng)?？偨Y(jié)切比雪夫不等式是一個(gè)重要的概率定理，它為我們提供了在不知道數(shù)據(jù)