數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)《數(shù)學分析》“專升本”考試大綱

PAGEPAGE1《數(shù)學分析》“專升本”考試大綱一.考試形式及適用對象本考試采用客觀試題與主觀試題相結(jié)合、計算技能測試與綜合技能測試相結(jié)合的形式?？荚噷ο鬄閰⒓舆x拔考試的數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的考生，主要考查抽象思維能力、邏輯理解能力、空間想象能力和科學計算能力等。二.題型及比例本考試由四個部分組成：填空20%、選擇20%、計算40%、綜合或證明20%。三.考試時間和分數(shù)本課程考試時限為60分鐘，考試滿分為75分。四.考試內(nèi)容與要求第一部分實數(shù)集與函數(shù)（一）考核知識點1.實數(shù)、數(shù)集、確界原理2.函數(shù)的概念3.函數(shù)的四則運算4.復合函數(shù)與反函數(shù)5.基本初等函數(shù)6.初等函數(shù)7.具有某些特性的函數(shù)（二）考核要求理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)的類型，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)；第二部分極限（一）考核知識點1.數(shù)列的極限，收斂數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列極限存在的條件2.函數(shù)的極限的概念和性質(zhì)，極限存在的準則3.兩個重要極限4.無窮小與無窮大（二）考核要求理解極限的概念，了解數(shù)列與函數(shù)的極限的區(qū)別與聯(lián)系，掌握求極限的方法第三部分函數(shù)的連續(xù)性（一）考核知識點1.函數(shù)在一點連續(xù)2.函數(shù)在區(qū)間連續(xù)3.間斷點的分類4.連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)5.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)6.一致連續(xù)性7.初等函數(shù)的連續(xù)性（二）考核要求理解函數(shù)連續(xù)與間斷的概念，掌握運用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第四部分導數(shù)與微分（一）考核知識點1.導數(shù)的概念.導函數(shù).導數(shù)的幾何意義2.求導法則及基本初等函數(shù)的求導公式3.復合函數(shù)求導法，隱函數(shù)及參數(shù)方程所表示函數(shù)的求導法4.微分及其運算5.不可導函數(shù)舉例6.高階導數(shù)與高階微分.微分的應用（二）考核要求1.理解導數(shù)和微分的概念，導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數(shù)的物理意義，理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系2.掌握求導法則及基本初等函數(shù)的求導公式.復合函數(shù)的求導法，了解微分的運算法則和一階微分的形式不變性，了解微分在近似計算中的應用3.了解高階導數(shù)的概念，會求簡單的階導數(shù)4.會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一.二階導數(shù)，會求反函數(shù)的導數(shù)第五部分微分學的基本定理及其應用（一）考核知識點1.拉格朗日中值定值和函數(shù)的單調(diào)性2.柯西中值定理和未定式的極限3.泰勒公式（帶皮亞諾余項.帶拉格朗日余項）4.函數(shù)的極值與最值5.函數(shù)的凸性與拐點6.函數(shù)的圖象討論7.方程的近似解（二）考核要求1.理解并會用Rolle定理.Lagrange中值定理和Taylor定理2.了解并會用Cauchy中值定理3.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最值的求法及其簡單應用4.會用導數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性，會求函數(shù)的拐點.漸近線，會描繪函數(shù)的圖形5.掌握用洛必達法則求未定式極限的方法6.了解曲率和曲率半徑的概念，會求曲率和曲率半徑7.了解求方程近似解的二分法和切線法第六部分實數(shù)的完備性（一）考核知識點1.關(guān)于實數(shù)完備性的基本定理及等價性2.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明（二）考核要求1.知道實數(shù)完備性的基本定理及等價性2.知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明第七部分不定積分（一）考核知識點1.不定積分的概念和基本積分式2.換元積分法和分部積分法3.有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分（二）考試要求1.理解原函數(shù)的概念，理解不定積分的概念2.熟練掌握不定積分的基本公式，熟練掌握不定積分的性質(zhì)及換元積分法和分部積分法3.會求有理函數(shù).三角函數(shù)有理式及簡單無理函數(shù)的不定積分第八部分定積分（一）考核知識點1.定積分的概念2.定積分的牛頓—萊布尼茲公式3.定積分的性質(zhì)4.微分學基本定理5.定積分的計算6.可積化理論補敘（二）考核要求1.理解定積分的概念，了解定積分中值定理2.熟練掌握定積分的性質(zhì)及換元積分法和分部積分法3.理解變上限定積分及其求導定理，熟練掌握牛頓-萊布尼茨公式4.了解反常積分的概念會計算簡單反常積分第九部分定積分的應用（一）考核知識點1.平面圖形的面積2.由平行截面面積求體積3.曲線的弧長.曲率4.旋轉(zhuǎn)曲面的面積5.定積分在物理中的某些作用6.定積分的近似計算（二）考核要求1.熟練掌握用“微元法”求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積2.會求簡單的已知平行截面面積的立體的體積3.會求平面曲線和空間曲線的弧長4.能求變力所做的功，變速運動的路程等簡單的物理問題第十部分廣義積分（一）考核知識點1.無窮限的廣義積分2.無界函數(shù)的廣義積分（二）考核要求1.會無窮限的廣義積分2.會無界函數(shù)的廣義積分第十一部分數(shù)項級數(shù)（一）考核知識點1.級數(shù)的收斂性及其基本性質(zhì)2.正項級數(shù)及各種判別法3.任意項級數(shù)4.絕對收斂數(shù)與條件收斂級數(shù)的性質(zhì)（二）考核要求1.理解無窮級數(shù)收斂.發(fā)散以及和的概念；了解無窮級數(shù)收斂的必要條件；知道無窮級數(shù)的基本性質(zhì)。2.熟悉幾何級數(shù).級數(shù)的收斂性及調(diào)和級數(shù)和發(fā)散性。3.掌握正項級數(shù)的比較審斂法；熟練掌握正項級數(shù)的比值審斂法。第十二部分函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)（一）考核知識點1.函數(shù)項級數(shù)的一致收斂2.一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)（二）考核要求1.會用交錯級數(shù)的萊布尼茲定理2.了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念；以及絕對收斂.條件收斂與收斂的關(guān)系3.了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域以及和函數(shù)的概念掌握一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)第十三部分冪級數(shù)（一）考核知識點1.冪級的收斂半徑.收斂區(qū)間2.冪級數(shù)的的連續(xù)性.逐項積分與逐項微分3.函數(shù)的冪級數(shù)形展開（二）考核要求1.熟練掌握冪級數(shù)收斂半徑.收斂域的求法2.了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)和一些性質(zhì)及函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充要條件3.掌握基本初等函數(shù)的麥克勞林展開式，會用這一展開式將一些簡單的初等函數(shù)展開為冪級數(shù)第十四部分富里埃級數(shù)（一）考核知識點1.三角級數(shù).正交函數(shù)系2.富里埃級數(shù)以2π為周期的函數(shù)的富里埃級數(shù)，收斂定理，以2L（二）考核要求了解函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的充分條件，會將定義在區(qū)間和上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)；并能將定義在上的函數(shù)展開為正弦和余弦級數(shù)第十五部分多元函數(shù)的極限與連續(xù)（一）考核知識點1.平面點集與多元函數(shù)2.二元函數(shù)的極限和連續(xù)性（二）考核要求1.了解多元函數(shù)的概念2.掌握二元函數(shù)的極限求法，了解連續(xù)性的概念第十六部分多元函數(shù)的微分學（一）考核知識點1.偏導數(shù)和全微分的概念及幾何意義，全微分存在的充分條件：全微分在近似計算中的應用2.求復合函數(shù)偏導數(shù)的鏈式法則3.由方程（組）所確定的函數(shù)的求導法4.方向?qū)?shù)與梯度5.泰勒公式與極值問題（二）考核要求1.理解偏導數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的充要條件和全微分在近似計算中的應用2.了解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計算方法3.掌握復合函數(shù)一階.二階偏導數(shù)的求法，會求隱函數(shù)的偏導數(shù)4.了解曲線的切線和法平面及曲線的切平面和法線的概念，會求其方程，了解二元函數(shù)的二階泰勒公式5.理解多元函數(shù)的極值，熟練掌握求極值的方法，了解條件極值的概念，了解多元函數(shù)極值存在的必要條件和充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大和最小值并會解決一些簡單的應用問題第十七部分隱函數(shù)定理及其應用（一）考核知識點1.隱函數(shù)概念及存在定理2.幾何應用：空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線條件極值（二）考核要求1.會求隱函數(shù)的偏導數(shù)2.了解曲線的切線和法平面及曲線的切平面和法線的概念，會求其方程，了解二元函數(shù)的二階泰勒公式第十八部分含參變量積分（一）考核知識點1.含參變量的常義積分2.含參變量的廣義積分，一致收斂及判別法.連續(xù)性.可積性和可微性3.歐拉積分（二）考核要求1.了解含參變量的常義積分2.了解含參變量的廣義積分.一致收斂及判別法.連續(xù)性.可積性和可微性3.知道歐拉積分第十九部分曲線積分（一）考核知識點1.第一型曲線積分2.第二型曲線積分兩類曲線積分的聯(lián)系（二）考核要求1.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系2.掌握兩類曲線積分的計算方法3.熟練掌握格林公式并會運用平面曲線與路徑無關(guān)的條件，會求全微分的原函數(shù)第二十部分重積分（一）考核知識點1.二重積分.三重積分概念與性質(zhì)2.直角坐標下二重積分的計算，格林公式，曲線積分與路徑的無關(guān)3.二重積分的變量替換4.三重積分的計算5.重積分的應用6.廣義重積分（二）考核要求1.理解二重積分.三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理2.熟練掌握二重積分（直角坐標.極坐標）的計算方法，會計算三重積分（直角坐標.柱面坐標.球面坐標）3.會用重積分計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積.體積.質(zhì)量.重心和轉(zhuǎn)動慣量等）第二十一部分曲面積分（一）考核知識點1.第一型曲面積分的概念和計算2.第二類曲面積分的概念和計算3.高斯公式和斯托克斯公式4.場論初步（二）考核要求1.了解兩類曲面積分的概念.性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握兩類曲面積分的計算方法。2.了解高斯公式.斯托克斯公式，會用高斯公式計算曲面積分3.了解散度與旋度的概念，并會計算五、樣題例如：《數(shù)學分析》樣題一、填空題（