通孔金屬泡沫中滲透率預(yù)測的新全解析模型

通孔金屬泡沫中滲透率預(yù)測的新全解析模型

多孔介質(zhì)流體動力的演化同孔金屬泡沫具有表面大、體積小、質(zhì)量輕等優(yōu)點(diǎn)。廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的熱管理、電池和小型熱交換器。例如，以金屬泡沫為核心的熱交換系統(tǒng)的滲透率是一個(gè)重要的參數(shù)。因此，有必要詳細(xì)研究泡沫金屬的傳輸過程及其透射率。基于沙柱滲透實(shí)驗(yàn)得到的滲透速度-水力梯度線性關(guān)系,法國工程師達(dá)西(Darcy)于1856年提出了多孔介質(zhì)的滲透率可由下式確定式中,dp/dx表示沿著主流方向的壓降,ρ,μ和u分別是流體的密度、動力黏度和速度,g為重力加速度,K代表該多孔介質(zhì)的滲透率.工程上往往研究沿水平方向的流動,故式(1)可簡化為式(2)通常稱為達(dá)西定律,但其僅適用于低雷諾數(shù)的牛頓流體流動.對高雷諾數(shù)流動而言,流體的慣性作用明顯,以黏性作用為主導(dǎo)的流動定律(達(dá)西定律)不再適用.針對不可壓縮牛頓流體通過各向同性多孔介質(zhì)的流動特性,福希海默(Forchheimer)在達(dá)西定律基礎(chǔ)上增加了非線性慣性項(xiàng),提出改進(jìn)的壓降模型式中,f為慣性系數(shù),ρ為流體密度.研究表明,多孔介質(zhì)的滲透率與慣性系數(shù)均受到孔結(jié)構(gòu)影響.滲透率的確定有多種方法,其中,直接實(shí)驗(yàn)測量及以實(shí)驗(yàn)、數(shù)值模擬數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式為預(yù)測通孔金屬泡沫的滲透率提供了簡易可行的方法[7-11].早期的解析模型[12-13]大都基于一些高度理想化的孔拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)假設(shè),如:有序排列的二維孔、兩相串并聯(lián)結(jié)構(gòu)、對稱分布的兩相結(jié)構(gòu)等;然后通過求解給定理想邊界條件下的納維-斯托克斯方程(N-S方程)獲得滲透率的解析模型.但是,由于這些模型的假設(shè)不符合通孔泡沫的實(shí)際結(jié)構(gòu),不能對其滲透率進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測,因而有必要建立一種基于準(zhǔn)確描述通孔金屬泡沫拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的滲透率模型.文獻(xiàn)提出以三維立方體為單胞的一種周期性結(jié)構(gòu)來近似模擬通孔金屬泡沫的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).但是,與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較表明,該模型僅能在高孔隙率(0.973～0.978)和高孔密度(45～100PPI,poresperinch,1inch=2.54cm)范圍內(nèi),合理預(yù)測通孔金屬泡沫的滲透率.為了擴(kuò)展上述模型的適用范圍,文獻(xiàn)試圖采用半經(jīng)驗(yàn)擬合關(guān)聯(lián)式修正單胞的流動迂曲度,但基于該流動迂曲度模型獲得的預(yù)測規(guī)律(迂曲度隨孔隙率增大而增大)與現(xiàn)有的迂曲度實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)(迂曲度隨孔隙率增大而減小)相矛盾.尤其當(dāng)孔隙率為1時(shí)(即流體流經(jīng)空通道),Bhattacharya等提出的模型給出了無窮大的迂曲度,這與流動的物理本質(zhì)嚴(yán)重不符.由上可見,在較為寬廣的孔隙率范圍內(nèi),提出一個(gè)能夠準(zhǔn)確描述通孔金屬泡沫三維流動迂曲度的模型對合理預(yù)測金屬泡沫的滲透率顯得尤為重要和必要.本文基于追蹤流體微團(tuán)軌跡的分支算法求得通孔金屬泡沫的流動迂曲度,進(jìn)而修正DuPlessis等提出的解析模型,以期在更為寬廣的孔隙率范圍內(nèi)合理預(yù)測通孔金屬泡沫的滲透率.1模型的分析1.1管導(dǎo)體表面能最小模型在建立解析模型之前需要確定通孔金屬泡沫的三維拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).通孔金屬泡沫的制備一般采用發(fā)泡法.制備過程中,氣泡在熔體中自由移動,最終形成十四面體實(shí)現(xiàn)表面能最小,這與在掃描電鏡(SEM)下觀察泡沫鋁的孔拓?fù)浣Y(jié)果一致,見圖1.為簡化起見,理論建模時(shí)通常假設(shè)泡沫金屬由周期性單元體組成,采用單元體建模作為其空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的一種近似.但是,對流體在泡沫金屬中的流動而言,十四面體結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜,無法得到解析模型.目前普遍采用Lu等提出的立方體結(jié)構(gòu)(圖2)近似通孔泡沫材料的空間拓?fù)?本文亦然.1.2材料滲透率的表征基于上述拓?fù)浼僭O(shè),DuPlessis等提出了一個(gè)解析模型,以預(yù)測牛頓流體流經(jīng)高孔隙率通孔泡沫鋁的壓降和滲透率.基于分段線性的平面泊肅葉(Poiseuille)流動假設(shè)和如圖2所示的近似幾何單胞結(jié)構(gòu),解析求解孔隙結(jié)構(gòu)下體積平均的三維N-S方程(詳見文獻(xiàn)),通孔金屬泡沫的滲透率為式中,ε為金屬泡沫孔隙率,χ為流動迂曲度,d為孔特征尺度.根據(jù)圖2所示的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),可分別求得流動迂曲度和孔特征尺度為式中,dp表示金屬泡沫孔徑.通過測量金屬泡沫材料的平均孔徑和孔隙率,依據(jù)式(4)～(6)可得到滲透率的解析表達(dá)式.式(4)表明,滲透率與孔特征尺度的平方成正比,這與滲透率具有長度平方的量綱相一致;其量值主要受流動迂曲度和泡沫孔隙率的影響,這與滲透率反應(yīng)流體在多孔介質(zhì)中迂回曲折流動的物理意義相統(tǒng)一.但是,式(4)是針對具有高孔隙率(0.973～0.978)和高孔密度(45～100PPI)的金屬泡沫提出的,從而嚴(yán)重限制了該模型的適用范圍.據(jù)報(bào)道,式(4)嚴(yán)重高估了通孔泡沫鋁在0.90～0.96孔隙率范圍內(nèi)的滲透率,是實(shí)驗(yàn)值的1.4～2.7倍.因此,在更為寬廣的孔隙率范圍內(nèi)提出一個(gè)能夠準(zhǔn)確描述通孔金屬泡沫三維流動迂曲度的模型,對合理預(yù)測金屬泡沫的滲透率具有重要意義.1.3基于接枝算法的多孔介質(zhì)模型迂曲度定義為滲流通道的實(shí)際長度與穿過滲流介質(zhì)的視長度(最短直線距離)的比值,與多孔介質(zhì)的孔結(jié)構(gòu)緊密相關(guān).確定迂曲度的方法有多種,最直接的方法是“測量”流體通過多孔介質(zhì)的路徑長度.作為一種數(shù)學(xué)描述方法,分支算法的核心思想是追蹤流體微團(tuán)的軌跡,采用數(shù)學(xué)方程計(jì)算流體流經(jīng)多孔介質(zhì)的路徑.基本計(jì)算過程如下:在單孔的開口處聚集大量流體微團(tuán),這些微團(tuán)同時(shí)進(jìn)入小孔開始運(yùn)動,直到孔出現(xiàn)分支,即流體微團(tuán)在孔連接(孔壁)處形成兩股運(yùn)動軌跡.之后的運(yùn)動軌跡在孔的連接處繼續(xù)分支成為更多的運(yùn)動軌跡.當(dāng)流體微團(tuán)發(fā)生倒流或者重復(fù)經(jīng)過一條路徑時(shí),該條路徑計(jì)算終止.所有路徑計(jì)算完成之后即可求得多孔介質(zhì)的幾何構(gòu)型及迂曲度.基于分支算法的思想,Beeckman發(fā)展了一個(gè)解析模型,能夠在寬廣孔隙率范圍內(nèi)預(yù)測具有三維高度連通孔隙拓?fù)涞亩嗫捉橘|(zhì)的迂曲度.鑒于泡沫桿截面形狀隨孔隙率的增大由圓形向三角形過渡(圖2),采用Yang等提到的形狀因子法修正具有矩形桿截面的流動迂曲度模型,如下式式中,β為等面積下其他多邊形與圓形周長的比.該模型預(yù)測與蒙特卡洛模擬結(jié)果吻合良好.鑒于通孔金屬泡沫的孔結(jié)構(gòu)特征與文獻(xiàn)模型中的孔結(jié)構(gòu)相似,本文將式(7)作為預(yù)測金屬泡沫滲透率的基礎(chǔ).將式(7)代入式(4),可得一個(gè)全解析的滲透率模型該(無量綱)滲透率僅是孔隙率的函數(shù),其中特征長度d由式(6)和式(7)確定.2結(jié)果討論2.1流動淤曲度迂曲度反映了流體流經(jīng)多孔介質(zhì)的難易程度,孔隙率對其影響十分顯著.圖3比較了不同迂曲度模型的預(yù)測結(jié)果,可以看出:迂曲度隨孔隙率的增大而減小;當(dāng)孔隙率取極限值1時(shí),迂曲度為1,這與迂曲度的物理意義(滲流通道的實(shí)際長度與穿過滲流介質(zhì)的最短直線距離的比值)相一致.但是,Bhattacharya等提出的模型給出了錯誤的趨勢和無窮大的極值,DuPlessis等提出的模型則過低地預(yù)測了迂曲度,從而導(dǎo)致不夠準(zhǔn)確的滲透率估計(jì).此外,可見另外兩種常見的圓形、三角形桿截面對應(yīng)的流動迂曲度,結(jié)果示于圖3.在相同桿截面積條件下,多邊形邊數(shù)越少,周長越長,流體擾流的長度越大,即流動迂曲度越大,這與圖3結(jié)果一致.2.2孔隙率的影響基于本文解析模型預(yù)測及文獻(xiàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),圖4描繪了通孔金屬泡沫滲透率與孔隙率之間的關(guān)系.由圖4結(jié)果可以看出:在較為寬廣的孔隙率范圍內(nèi)(0.55ε0.98),通孔金屬泡沫的滲透率強(qiáng)烈依賴于其孔隙率,數(shù)值上隨著孔隙率的升高而增大;在相同孔隙率條件下,通孔金屬泡沫桿截面的形狀不同導(dǎo)致其滲透率有略微差別,具有圓形桿截面形狀的泡沫滲透率最高,三角形桿截面則最低,這與圖3所示的流動迂曲度預(yù)測結(jié)果一致.本文提出的解析模型不含任何經(jīng)驗(yàn)或擬合參數(shù),預(yù)測結(jié)果與文獻(xiàn)[3,7,8,9,10,11,14,15]中給出的通孔泡沫材料(孔隙率0.55～0.98、孔密度5～100PPI)實(shí)驗(yàn)測定數(shù)據(jù)變化趨勢一致,且較好地吻合.2.3全孔通孔金屬泡沫滲透率預(yù)測以上的分析均是針對全開孔的通孔泡沫材料,對于小孔徑泡沫(dp<1mm)而言,往往呈現(xiàn)半開孔狀.我們引入開孔率Rw將半開孔泡沫和全開孔泡沫的滲透率關(guān)聯(lián)起來,即式中,K和K0分別為半/全開孔泡沫滲透率,Rw為開孔率,定義為半開孔孔洞面積與全開孔孔洞面積的比,取值為0～1.圖5展示了孔徑對半/全開孔通孔金屬泡沫滲透率的影響,可以看出:本文模型不僅可以較好地給出全開孔通孔金屬泡沫滲透率的理論預(yù)測;使用開孔率Rw修正的解析模型能夠較好的預(yù)測半開孔通孔金屬泡沫滲透率.值得指出的是,雖然本文僅針對通孔金屬泡沫材料的滲透率提出了一種新的全解析模型,但鑒于滲透率與材料屬性無關(guān)且通孔泡沫材料在空間拓?fù)渖洗嬖谙嗨菩?該模型對非金屬類通孔泡沫材料(如高分子泡沫和陶瓷泡沫)同樣適用.3實(shí)