第二章2 2函數(shù)基本性質(zhì)

§函數(shù)的基本性質(zhì)考點(diǎn)考點(diǎn) 函數(shù)的單調(diào)ｘ?ｘ∈Ｄ且ｘ１<ｘｆｘｘ?ｆ(ｘ)ｆ(ｆ( ｆ(ｆｘｘ?ｆ(ｘ)ｆ(ｆ( ｆ(函數(shù)ｆｘ函數(shù)ｆｘｙ圖象關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書起始頁碼 若ｆｘ>ｆｘｙ＝ｆｘＤｘ１?ｘ２若[ｆ(ｘ１)ｆ(ｘ２)](ｘ１ｘ２)>０?則ｙ＝ｆ(ｘ)在Ｄ上單調(diào)增?若[ｆ(ｘ１)ｆ(ｘ２)](ｘ１ｘ２)<０?則ｙ＝ｆ(ｘ)在Ｄ上單調(diào)減.ｙ＝ｆｘ)ｙ＝ｇｘ為增函數(shù)?①ｙ＝ｆｘ＋ｇｘ②ｙ＝ｆｘｇｘｆｘｇｘ復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則是“同增異減”?即若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)

?兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)?②兩個(gè)偶函數(shù)的和?③一奇一偶函數(shù)的ｙ＝ｆｘｆ＝０.ａａ≠１)ａ ｆｘ＝ａｘ＋ａｘｆｘ＝ａｘａ ②函數(shù)ｆｘ＝ａｘ＋ａｘ＝ａ２ｘ＋１的單調(diào)性相同?則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)?若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相反?則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).

ｆｘ＝

１ａ１＋ｘ３.ｘｙ＝ｘ＋的單調(diào)增區(qū)間為(?＋區(qū)間為(１?０?１).ｘ

ｆｘ＝ｌｏｇａｘ＋ｘ＋２.ｙ＝ｆｘＴ?使得當(dāng)ｘ取定義域內(nèi)的任何值時(shí)?都有ｆ(ｘ＋Ｔ)＝ｆ(ｘ)?那么就稱函數(shù)ｙ＝ｆ(ｘ)為周期函數(shù)為這個(gè)函數(shù)的周期.如果在周期函數(shù)ｆ(ｘ)ｘｙ＝ａｘ＋ｂａ>０?ｂ>０)的單調(diào)增區(qū)間為ｘ

那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做它的最小正周期和和

?＋?單調(diào)減區(qū)間為ｙｙｆｘＩ??ｘｆｘｘｆｘ)ｘＩ?ｆｘｘｆｘ)ｙｆｘｙｆｘ考點(diǎn) 考點(diǎn) 函數(shù)的奇偶性與周期

?０和?０和

１.若函數(shù)ｆ(ｘ)的圖象關(guān)于直線ｘ＝ａ對(duì)稱?則ｆ(ｘ)＝ｆ(２ａ２.若函數(shù)ｆｘａ?ｂｆｘ＋ｆａｘ＝２ｂ.３.與對(duì)稱性、ｆｘｘ＝ａｘ＝ｂ對(duì)稱?則函數(shù)ｆｘ必為周期函數(shù)?２ａｂ是它的一個(gè)周期.ｆｘａｂ對(duì)稱?則ｆｘ必為周期函數(shù)?２ａｂ是它的一個(gè)周期.ｆｘ的圖象關(guān)于點(diǎn)(ａ和直線ｘ＝ｂ對(duì)稱?則函數(shù)ｆｘ必為周期函數(shù)?４ａｂ是它的一個(gè)周期.１.

一、

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書起始頁碼定義法:要注意函數(shù)的定義域圖象法:作出函數(shù)圖象?從圖象上直觀判斷

＋增＝增?減＋減＝減?增減＝增?減增＝減?.２.

答案

第二章函 (１)比較大小.比較函數(shù)值的大小?應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)?然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.

下列區(qū)間中?函數(shù)ｆ(ｘ)＝ｌｎ(２ｘ)在其上為增函數(shù)的 解不等式.通常利用函數(shù)的單調(diào)性將ｆ符號(hào)脫掉?轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解?此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域

Ａ.(∞? Ｂ.

１?３視參數(shù)為已知數(shù)?依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義?確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?與已知單調(diào)區(qū)間比較求

Ｃ.０?３ Ｄ.[１?２答案２下列函數(shù)中?０?＋

解析由題知ｆｘ＝

ｌｎｘｘ<２?ｌｎｘｘ<１.Ａ.ｙ＝ｌｎ( Ｂ.ｙ ２ｘｘＣ.ｙ＝１ Ｄ.ｙ＝ｘ＋２ｘｘａ２ｌｏｇｘ＋２<ｘ

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知?函數(shù)ｆｘ(上遞減.已知函數(shù)ｆｘ＝ｘｅｘ＋ａｘ２３ａｘ則ａ的取值范圍 ｆｘ

ａｘ２＋１?

在(２

Ａ.[２ｅ?＋∞ Ｂ.

３ｅ?＋∞＋∞)上是單調(diào)函數(shù)?則實(shí)數(shù)ａ的取值范圍 ２２２２２２

Ｂ.１<ａ≤２或ａ<

Ｃ.(∞?２ｅ Ｄ.答案

?３２２解析(１)函數(shù)ｙ＝ｌｎ(ｘ＋２)在區(qū)間(０?＋∞)上為增函數(shù)?函數(shù)ｙ ｘ＋１在區(qū)間(０?＋∞)上為減函數(shù)?函數(shù)ｙ＝１ｘ２

解析ｆｘ＝２ｅｘ＋ｘｅｘ＋２ａｘ?依題意有ｆｘ (２ｘ＋１) 對(duì)于任意的>０恒成立?即２ 對(duì)于任意的>０

?函數(shù)

＝ｘ＋１

成立.設(shè)ｇｘ

(２ｘ＋１) ａｇ (?則２ ａｇ ｘ單調(diào)函數(shù).故選ｘ(２)當(dāng)函數(shù)ｆ(ｘ)在 ２?＋∞)上是增函數(shù)時(shí)?

∵ｇ′(ｘ)

２ｘｅｘ＋ｘ(２ｘ＋１)ｅｘ(２ｘ＋１)ｅｘ

２ｘ２＋ｘ１ ｅａ２ａ>０ａ２

ａ≤ｆｘ２?＋

∴ｇｘ１?２１?＋∞上為增函數(shù)?則ｇｘｍｉｎ＝ｇ１＝４ｅ２ａ２１<０

ａ<０ａ２

無解.綜上可得?１<ａ≤

從而有２ａ≤４ｅａ≥２ｅ二、１.首先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?ｆ(ｘ與ｆｘ)ｆ(ｘ與ｆｘ的關(guān)系?只有當(dāng)所有區(qū)間上都滿足相同的關(guān)系時(shí)?才能判定其奇奇函數(shù)±奇函數(shù)＝奇函數(shù)?偶函數(shù)±偶函數(shù)＝偶函數(shù)?偶函數(shù)×偶函數(shù)＝偶函數(shù)?奇函數(shù)×奇函數(shù)＝偶函數(shù)?×偶函數(shù)＝奇函數(shù)２.求函數(shù)解析式:當(dāng)已知函數(shù)ｆｘ在原點(diǎn)一側(cè)的解析式時(shí)?ｆ(ｘｆｘ的關(guān)系得到在原點(diǎn)另一側(cè)的解析式?

ｆ(ｘ０)＋ｆ(ｘ０)＝０?偶函數(shù)的圖象關(guān)于ｙ軸對(duì)稱?有ｆ(ｘ０)＝ｆ(ｘ０).ｆ(ｘ)的奇偶性及ｆ(ｘ０)的值?由上述關(guān)系可ｆｘ.(１)已知ｆ(ｘ)＝４ｘ２?ｇ(ｘ)＝ｘ２?則下列結(jié)論正確的 (Ａ.ｈｘ＝ｆｘ＋ｇｘＢ.ｈｘ＝ｆｘｇｘｘＣ.ｈｘ＝ｇｘｆｘ)ｘ２ｇＤ.ｈｘ＝ｆｘ)是奇函數(shù)２ｇ ＋ｘ｜ｘ ＋ｘｆｘ＝Ｍ?ｍ２｜ｘ｜則Ｍ＋ｍ等 (４ ４求得函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的解析式.當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中含有字母參數(shù)時(shí)?利用ｆ(ｘ)±ｆ(ｘ)＝０可得關(guān)于字母的恒等式?由系數(shù)對(duì)應(yīng)相等即可求得字母參數(shù)的值

解析ｈｘ＝ｆｘｇｘ＝４ｘ２＋２ｘ?ｘ∈[２?２].

＋ｘ２(２)求某些特殊的函數(shù)值:奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?

ｈ(ｘ＝ ４ｘ２＋２＋ｘ≠ｈｘｈ(ｘｈｘＢ.ｈｘ＝ｆｘｇｘ＝[２?２].

４ｘ２ ４ｘ２ｘ４

答案解析ｆｘ上的奇函數(shù)?ｆ＝０?ｆｘ＝ｅｘ＋ｍｆ＝ｅ＋ｍ＝１＋ｍ＝０?解得ｍ＝ｈ(ｘ＝ ４ｘ２＋ｘｈｘｈ(ｘｈｘｇ(ｘ)ｆ(

ｘｆｘ＝ｅｘ１?∴ｆｍ＝ｆ(＝ｆ＝ｅ１＝１ｅ.Ｂ.ｘＣ.ｈ(ｘ)ｘ

４ｘ２?ｘ∈[２

已知函數(shù)ｆｘＲ上的奇函數(shù)?當(dāng)ｘ>０原點(diǎn)對(duì)稱?是非奇非偶函數(shù)

ｆ(ｘ)＝ｘｅｘ?則不等式ｆ(ｘ)>３ｘ的解集 ｇＤ.ｈ(ｘ)＝ｆ(ｘ)ｇ２(

２４ ?ｘ∈[４

Ａ.{ｘｌｎ３<ｘ<ｌｎ３ Ｂ.{ｘｘ<ｌｎ３或ｘ>ｌｎ３Ｃ.{ｘｌｎ３<ｘ<０或ｘ>ｌｎ３ Ｄ.{ｘｘ<ｌｎ３或０<ｘ<ｌｎ３答案ｆｘ

解析ｘ<０?∴ｘｆ(ｘ)

２｜ｘ｜＋１＋３ｘ＝ｘ２｜ｘ｜

２(２｜ｘ｜＋１) ｜ｘ｜ ＝２＋２｜ｘ｜＋１

∴當(dāng)ｘｆ(ｘ＝ｘｅｘｆｘ上的奇函數(shù)∴ｆ(ｘ＝ｘｅｘ＝ｆｘｆ＝設(shè)ｇｘ＝｜ｘ｜＋１?則ｇ(ｘ＝ｇｘｘ

則ｆｘ＝ｘｅｘ?∴ｇｘｇ

＋ｇ(

＝

當(dāng)ｘ>０時(shí)?不等式ｆｘｘ等價(jià)于ｘｅｘ>３ｘ?即ｅｘ∵Ｍ＝ｆ(

＝２＋ｇ(

?ｍ＝ｆ

＝２＋ｇ(

ｍｉｎ

得ｘ>ｌｎ當(dāng)ｘ<０時(shí)?不等式ｆｘｘ等價(jià)于ｘｅｘ>３ｘ?即ｅｘ∴Ｍ＋ｍ＝２＋ｇｘｍａｘ＋２＋ｇｘｍｉｎ＝４?故選答案(２０１７山東模擬?６)已知ｆ(ｘ)是定義在Ｒ上的奇函數(shù)?當(dāng)ｘ≥０時(shí)?ｆ(ｘ)＝ｅｘ＋ｍ(ｍ為常數(shù))?則ｆ(ｍ)

得ｌｎ３<ｘ當(dāng)ｘ＝０時(shí)?不等式ｆｘｘ等價(jià)于ｘｌｎ３<ｘｘ>ｌｎ３ 故選Ａ.ｅ Ｂ.１

Ｄ.ｅ三、１.對(duì)于函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合問題?注意奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性以及奇偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性的２.周期性與奇偶性的綜合問題多為求值問題?常利用奇偶性和周期性將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換?即將所求值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的自變量范圍內(nèi)求解.

又ｇ＝４?∴ｆ＝ｆｘｆ(＝答案設(shè)ｆ(ｘ)＝ｅｘ?ｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)ｈ(ｘ)?且ｇ(ｘ)為偶函數(shù)?ｈ(ｘ)為奇函數(shù)?若存在實(shí)數(shù)ｍ?當(dāng)ｘ∈[１?１]時(shí)?不等式ｍｇ(ｘ)＋ｈ(ｘ)≥０成立?則ｍ的最小值 (３.

ｅ２

ｅ２

１４.

Ａ.ｅ２ Ｂ.ｅ２ Ｃ.ｅ２ ｆ(ｘｆ(ｆ(ｘｆ(ｆ(ｘｆ(ｆ(ｘｆ(ｆ(ｘｆ(ｘｆ(ｘａ)ｂ)(ｆ(２ａｘ)ｆ(ｆｂｘ)ｆｘ)ａ≠ｂ)周期２２２２ａ２ｂ解析ｆｘ＝ｇｘ)ｈｘｅｘ＝ｇｘ)ｈｘｅ＝ｇ(ｘ)ｈ(ｘｇｘｈｘ∴ｅｘ＝ｇｘ＋ｈｘｇｘ＝１ｅｘ＋ｅｘｈｘ＝１ｅｘｅｘ).遞推法:若ｆｘ＋ａ＝ｆｘｆｘ２ａ＝ｆｘ＋ａ＋ａ]ｆｘ＋ａ＝ｆｘ２ａ為ｆｘ換元法:若ｆｘ＋ａ＝ｆｘａ)?令ｘａ＝ｔ?則ｘ＝ｔ＋ａ?則ｆ

ｍｇｘ＋ｈｘｅｘｅｘ

１(ｅｘ＋ｅｘ)＋１ ２

ｅ