2024屆黑龍江省佳木斯市一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2024屆黑龍江省佳木斯市一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若兩個不同平面，的法向量分別為，，則（）A.，相交但不垂直 B.C. D.以上均不正確2．為了防控新冠病毒肺炎疫情，某市疾控中心檢測人員對外來入市人員進行核酸檢測，人員甲、乙均被檢測.設(shè)命題為“甲核酸檢測結(jié)果為陰性”，命題為“乙核酸檢測結(jié)果為陰性”，則命題“至少有一位人員核酸檢測結(jié)果不是陰性”可表示為（）A. B.C. D.3．命題“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.?x∈R，|x|+x2<0 B.?x∈R，|x|+x2≤0C.?x0∈R，|x0|+<0 D.?x0∈R，|x0|+≥04．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點，則AM與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.5．過點，的直線的斜率等于1，則m的值為（）A.1 B.4C.1或3 D.1或46．《鏡花緣》是清代文人李汝珍創(chuàng)作的長篇小說，書中有這樣一個情節(jié)：一座樓閣到處掛滿了五彩繽紛的大小燈球，燈球有兩種，一種是大燈下綴2個小燈，另一種是大燈下綴4個小燈，大燈共360個，小燈共1200個.若在這座樓閣的燈球中，隨機選取一個燈球，則這個燈球是大燈下綴4個小燈的概率為A. B.C. D.7．已知直線為拋物線的準(zhǔn)線，直線經(jīng)過拋物線的焦點，與拋物線交于點，則的最小值為（）A. B.C.4 D.88．國際冬奧會和殘奧會兩個奧運會將于2022年在北京召開，這是我國在2008年成功舉辦夏季奧運會之后的又一奧運盛事.某電視臺計劃在奧運會期間某段時間連續(xù)播放5個廣告，其中3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的奧運宣傳廣告，要求最后播放的必須是奧運宣傳廣告，且2個奧運宣傳廣告不能相鄰播放，則不同的播放方式有（）A.120種 B.48種C.36種 D.18種9．若圓的半徑為，則實數(shù)（）A. B.-1C.1 D.10．已知過點A（a，0）作曲線C：y＝x?ex的切線有且僅有兩條，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B.（0，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）11．在等差數(shù)列中，若，且前n項和有最大值，則使得的最大值n為（）A.15 B.16C.17． D.1812．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且經(jīng)過點，則（）A.關(guān)于點對稱B.關(guān)于直線對稱C.為奇函數(shù)D.為偶函數(shù)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若一個球表面積為，則該球的半徑為____________14．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是___________.15．我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一個原理“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，則該幾何體的體積為________.16．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來1524石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為_______石三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時，.18．（12分）已知直線和，設(shè)a為實數(shù)，分別根據(jù)下列條件求a的值：（1）（2）19．（12分）如圖，點是曲線上的動點(點在軸左側(cè))，以點為頂點作等腰梯形，使點在此曲線上，點在軸上.設(shè)，等腰梯的面積為.（1）寫出函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)為何值時，等腰梯形的面積最大？求出最大面積.20．（12分）已知為坐標(biāo)原點，橢圓的左右焦點分別為，，為橢圓的上頂點，以為圓心且過的圓與直線相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線交橢圓于兩點.（?。┤糁本€的斜率等于，求面積的最大值；（ⅱ）若，點在上，.證明：存在定點，使得為定值.21．（12分）已知，對于有限集，令表示集合中元素的個數(shù)．例如：當(dāng)時，，（1）當(dāng)時，請直接寫出集合的子集的個數(shù)；（2）當(dāng)時，，都是集合的子集（，可以相同），并且．求滿足條件的有序集合對的個數(shù)；（3）假設(shè)存在集合、具有以下性質(zhì)：將1，1，2，2，··，，．這個整數(shù)按某種次序排成一列，使得在這個序列中，對于任意，與之間恰好排列個整數(shù)．證明：是4的倍數(shù)22．（10分）已知拋物線y2＝8x.(1)求出該拋物線的頂點、焦點、準(zhǔn)線、對稱軸、變量x的范圍；(2)以坐標(biāo)原點O為頂點，作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦點F是△OAB的重心，求△OAB的周長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由向量數(shù)量積為0可求.【詳解】∵，，∴，∴，∴，故選：B.2、D【解析】表示出和，直接判斷即可.【詳解】命題為“甲核酸檢測結(jié)果為陰性”，則命題為“甲核酸檢測結(jié)果不是陰性”；命題為“乙核酸檢測結(jié)果為陰性”，則命題為“乙核酸檢測結(jié)果不是陰性”.故命題“至少有一位人員核酸檢測結(jié)果不是陰性”可表示為.故選D.3、C【解析】利用全稱命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由全稱命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：C.4、B【解析】取的中點，以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】如圖所示，取的中點，以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，所以，平面的一個法向量為設(shè)AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為故選：B5、A【解析】解方程即得解.【詳解】由題得.故選：A【點睛】本題主要考查斜率的計算，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.6、B【解析】設(shè)大燈下綴2個小燈為個，大燈下綴4個小燈有個，根據(jù)題意求得，再由古典概型及其概率的公式，即可求解【詳解】設(shè)大燈下綴2個小燈為個，大燈下綴4個小燈有個，根據(jù)題意可得，解得，則燈球的總數(shù)為個，故這個燈球是大燈下綴4個小燈的概率為，故選B【點睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計算，其中解答中根據(jù)題意列出方程組，求得兩種燈球的數(shù)量是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】先求拋物線的方程，再聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由弦長公式可求的最小值.【詳解】因為直線為拋物線的準(zhǔn)線，故即，故拋物線方程為：.設(shè)直線，則，，而，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，故的最小值?，故選：D.8、C【解析】先考慮最后位置必為奧運宣傳廣告，再將另一奧運廣告插入3個商業(yè)廣告之間，最后對三個商業(yè)廣告全排列，即可求解.【詳解】先考慮最后位置必為奧運宣傳廣告，有種，另一奧運廣告插入3個商業(yè)廣告之間，有種；再考慮3個商業(yè)廣告的順序，有種，故共有種.故選：C.9、B【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出半徑的表達式，從而可求出的值.【詳解】由題意，圓的方程可化為，所以半徑為，解得.故選：B.【點睛】本題考查圓的方程，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】設(shè)出切點，對函數(shù)求導(dǎo)得到切點處的斜率，由點斜式得到切線方程，化簡為，整理得到方程有兩個解即可，解出不等式即可.【詳解】設(shè)切點為，，，則切線方程為：，切線過點代入得：，，即方程有兩個解，則有或.故答案為:A.【點睛】這個題目考查了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的求法，以及過某一點的切線方程的求法，其中應(yīng)用到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，一般過某一點求切線方程的步驟為：一：設(shè)切點，求導(dǎo)并且表示在切點處的斜率；二：根據(jù)點斜式寫切點處的切線方程；三：將所過的點代入切線方程，求出切點坐標(biāo)；四：將切點代入切線方程，得到具體的表達式.11、A【解析】由題可得，則，可判斷，，即可得出結(jié)果.【詳解】前n項和有最大值，，，，，，，使得的最大值n為15.故選：A.【點睛】本題考查等差數(shù)列前n項和的有關(guān)判斷，解題的關(guān)鍵是得出.12、D【解析】根據(jù)圖象求得函數(shù)解析式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，可得，根據(jù)圖形走勢，可得，解得，令，可得，所以，由，所以A不正確；由，可得不是函數(shù)的對稱軸，所以B不正確；由，此時函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以C不正確；由為偶函數(shù)，所以D正確.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)球的半徑為，代入球的表面積公式得答案【詳解】解：設(shè)球的半徑為，則，得，即或（舍去）故答案為：14、【解析】根據(jù)投影向量的計算公式，計算出正確答案.【詳解】向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是.故答案為：15、【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，由，求得底面半徑，進而得到高，再利用錐體的體積公式求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l，高為h，底面半徑為r，因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，所以，解得，所以，所以圓錐的體積為：，故該幾何體的體積為，故答案為：16、168石【解析】由題意，得這批米內(nèi)夾谷約為石考點：用樣本估計總體三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)，分和，兩種情況討論，即可求得的單調(diào)性；（2）令，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)遞增，結(jié)合，得到，進而證得.【詳解】（1）由函數(shù)，可得，當(dāng)時，，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，由有，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.(2)證明：令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，因為，所以，即，當(dāng)時，可得，即【點睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).18、（1）a=4或a=-2（2）a=【解析】（1）根據(jù)，由a(a-2)-2×4=0求解；（2）根據(jù)，由4a=-2(a-2）求解.【小問1詳解】解：因為，所以a(a-2)-2×4=0，解得a=4或a=-2所以當(dāng)時，a=4或a=-2；【小問2詳解】因為，所以4a=-2(a-2），解得a=檢驗：此時，，成立所以當(dāng)時，a=.19、（1）；（2）當(dāng)時取到最大值，【解析】（1）設(shè)點，則根據(jù)題意得，，故；（2）令，研究函數(shù)的單調(diào)性，進而得的最值，進而得的最大值.【詳解】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)點，由是曲線上的動點得：，由于橢圓與軸交點為，故，所以即：（2）結(jié)合（1），對兩邊平方得：，令，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取到最大值，，所以當(dāng)時，取到最大值，.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究實際問題，考查數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與計算能力，是中檔題.20、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.【解析】（1）求出后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）（ⅰ）設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達定理、弦長公式可求面積表達式，利用基本不等式可求面積的最大值.（ⅱ）利用韋達定理化簡可得，從而可得的軌跡為圓，故可證存在定點，使得為定值.【詳解】（1）由題意知：，，又，則以為圓心且過的圓的半徑為，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）（?。┰O(shè)直線的方程為：，將代入得：，所以且，故.又，點到直線的距離，所以，等號當(dāng)僅當(dāng)時取，即當(dāng)時，的面積取最大值為.（ⅱ）顯然直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為：，，由（?。┲核裕?，解得，，直線過定點或，所以D在以O(shè)Z為直徑的圓上，該圓的圓心為或，半徑等于，所以存在定點或，使得為定值.【點睛】方法點睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個的交點橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有或，最后利用韋達定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點、定值、最值問題.21、（1）8（2）454（3）證明見詳解【解析】（1）n元集合的直接個數(shù)為可得；（2）由已知結(jié)合可得，或，然后可得集合的包含關(guān)系可解；（3）根據(jù)每兩個相同整數(shù)之間的整數(shù)個數(shù)之和與總的數(shù)字個數(shù)之間的關(guān)系可證.【小問1詳解】當(dāng)時，集合的子集個數(shù)為【小問2詳解】易知，又，所以，即，得，或，所以或1）若，則滿足條件的集合對共有，2）若，同