2024屆湖南省衡陽縣第三中學高二上數(shù)學期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆湖南省衡陽縣第三中學高二上數(shù)學期末綜合測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某研究所計劃建設(shè)n個實驗室，從第1實驗室到第n實驗室的建設(shè)費用依次構(gòu)成等差數(shù)列，已知第7實驗室比第2實驗室的建設(shè)費用多15萬元，第3實驗室和第6實驗室的建設(shè)費用共為61萬元.現(xiàn)在總共有建設(shè)費用438萬元，則該研究所最多可以建設(shè)的實驗室個數(shù)是（）A.10 B.11C.12 D.132．橢圓的左、右焦點分別為，過焦點的傾斜角為直線交橢圓于兩點，弦長，若三角形的內(nèi)切圓的面積為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．若一個正方體的全面積是72，則它的對角線長為（）A. B.12C. D.64．已知向量，且，則的值為（）A.4 B.2C.3 D.15．已知拋物線的焦點恰為雙曲線的一個頂點，的另一頂點為，與在第一象限內(nèi)的交點為，若，則直線的斜率為（）A. B.C. D.6．若球的半徑為，一個截面圓的面積是，則球心到截面圓心的距離是（）A. B.C. D.7．在某次海軍演習中，已知甲驅(qū)逐艦在航母的南偏東15°方向且與航母的距離為12海里，乙護衛(wèi)艦在甲驅(qū)逐艦的正西方向，若測得乙護衛(wèi)艦在航母的南偏西45°方向，則甲驅(qū)逐艦與乙護衛(wèi)艦的距離為（）A.海里 B.海里C.海里 D.海里8．若橢圓與直線交于兩點,過原點與線段AB中點的直線的斜率為,則A. B.C. D.29．“”是“直線與直線互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．直線與橢圓交于兩點，以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的左焦點，則此橢圓的離心率為（）A B.C. D.11．已知數(shù)列滿足，令是數(shù)列的前n項積，，現(xiàn)給出下列四個結(jié)論：①；②為單調(diào)遞增的等比數(shù)列；③當時，取得最大值；④當時，取得最大值其中所有正確結(jié)論的編號為（）A.②④ B.①③C.②③④ D.①③④12．已知、是平面直角坐標系上的直線，“與的斜率相等”是“與平行”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分條件也非必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的長軸在軸上，若焦距為4，則__________.14．已知命題“，”為假命題，則實數(shù)m的取值范圍為______15．雙曲線的離心率為2，寫出滿足條件的一個雙曲線的標準方程__________.16．已知函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元（不足1小時的部分按1小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為，；兩人滑雪時間都不會超過3小時.求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；18．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)的圖象在點處的切線與平行，求b的值；（2）在（1）的條件下證明：19．（12分）設(shè)，分別是橢圓：的左、右焦點，的離心率為，點是上一點.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓E于A，B兩點，且，求直線的方程.20．（12分）已知點，圓C：，l：.（1）若直線過點M，且被圓C截得的弦長為，求該直線的方程；（2）設(shè)P為已知直線l上的動點，過點P向圓C作一條切線，切點為Q，求的最小值.21．（12分）如圖，在三棱錐中，，點為線段上的點.（1）若平面，試確定點的位置，并說明理由；（2）若，，，在（1）成立的前提下，求二面角的余弦值.22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，，D為的中點（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）若E為的中點，求與所成的角

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式，列出方程組，求出的值，進而求出令根據(jù)題意令，即可求解.【詳解】設(shè)第n實驗室的建設(shè)費用為萬元，其中，則為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則由題意可得，解得，則.令，即，解得，又，所以，，所以最多可以建設(shè)12個實驗室.故選：C.2、C【解析】由題可得直線AB的方程，從而可表示出三角形面積，又利用焦點三角形及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，也可表示出三角形面積，則橢圓的離心率即求.【詳解】由題知直線AB的方程為，即，∴到直線AB距離，又三角形的內(nèi)切圓的面積為，則半徑為1，由等面積可得，.故選：C.3、D【解析】根據(jù)全面積得到正方體的棱長，再由勾股定理計算對角線.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，對角線長為，則有，解得，從而，解得.故選：D4、A【解析】由題意可得，利用空間向量數(shù)量積的坐標表示列方程，解方程即可求解.【詳解】因為，所以，因為向量，，所以，解得，所以的值為，故選：A.5、D【解析】根據(jù)題意，列出的方程組，解得，再利用斜率公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為拋物線的焦點，由題可知；又點在拋物線上，故可得；又，聯(lián)立方程組可得，整理得，解得（舍）或，此時，又，故直線的斜率為.故選：D.6、C【解析】由題意可解出截面圓的半徑，然后利用勾股定理求解球心與截面圓圓心的距離【詳解】由截面圓的面積為可知，截面圓的半徑為，則球心到截面圓心的距離為故選：C【點睛】解答本題的關(guān)鍵點在于，球心與截面圓圓心的連線垂直于截面7、A【解析】利用正弦定理可求解.【詳解】設(shè)甲驅(qū)逐艦、乙護衛(wèi)艦、航母所在位置分別為A，B，C，則，，.在△ABC中，由正弦定理得，即，解得，即甲驅(qū)逐艦與乙護衛(wèi)艦的距離為海里故選：A8、D【解析】細查題意，把代入橢圓方程，得，整理得出，設(shè)出點的坐標，由根與系數(shù)的關(guān)系可以推出線段的中點坐標，再由過原點與線段的中點的直線的斜率為，進而可推導(dǎo)出的值.【詳解】聯(lián)立橢圓方程與直線方程，可得，整理得，設(shè)，則，從而線段的中點的橫坐標為，縱坐標，因為過原點與線段中點的直線的斜率為，所以，所以，故選D.【點睛】該題是一道關(guān)于直線與橢圓的綜合性題目，涉及到的知識點有直線與橢圓相交時對應(yīng)的解題策略，中點坐標公式，斜率坐標公式，屬于簡單題目.9、A【解析】根據(jù)直線垂直求出的范圍即可得出.【詳解】由直線垂直可得，解得或1，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.10、D【解析】根據(jù)題意作出示意圖，根據(jù)圓的性質(zhì)以及直線的傾斜角求解出的長度，再根據(jù)橢圓的定義求解出的關(guān)系，則橢圓離心率可求.【詳解】設(shè)橢圓的左右焦點分別為，如下圖：因為以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的左焦點，所以且，所以，又因為的傾斜角為，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，故選：D.11、B【解析】求出，即可判斷選項①正確；求出，即可選項②錯誤；求出，利用單調(diào)性即可判斷選項③正確；求出，即可判斷選項④錯誤，即得解.【詳解】解：因為，①所以，，②①②得，，整理得，又，滿足上式，所以，因為，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以，故①正確；，因為，故數(shù)列為等比數(shù)列，其中首項，公比為的等比數(shù)列，因為，，所以數(shù)列為遞減的等比數(shù)列，故②錯誤；，因為為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當最大時，有最大值，因為，所以時，最大，即時，取得最大值，故③正確；設(shè)，由可得，，解得或，又因為，所以時，取得最大值，故④錯誤；故選：B12、D【解析】根據(jù)直線平行與直線斜率的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：與的斜率相等”，“與可能重合，故前者不可以推出后者，若與平行，與的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，故前者是后者的既非充分條件也非必要條件，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】根據(jù)橢圓方程列方程，解得結(jié)果.【詳解】因為橢圓的長軸在軸上，焦距為4，所以故答案為：8【點睛】本題考查根據(jù)橢圓方程求參數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】根據(jù)命題的否定與原命題真假性相反，即可得到，為真命題，則，從而求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：因為命題“，”為假命題，所以命題“，”為真命題，所以，解得；故答案：15、（答案不唯一例如：等，只需滿足即可）【解析】根據(jù)離心率和的關(guān)系，可得到，只要滿足以上關(guān)系的即可【詳解】由題可知，又，所以，只要滿足以上關(guān)系即可.,答案不唯一例如：等故答案為：（答案不唯一例如：等，只需滿足即可）16、【解析】由題意可得與的圖象有三個不同的交點，經(jīng)判斷時不符合題意，當時，時，兩個函數(shù)圖象有一個交點，可得時與的圖象有兩個交點，等價于與的圖象有兩個不同的交點，對求導(dǎo)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】令可得，若函數(shù)函數(shù)有三個零點，則可得方程有三個根，即與的圖象有三個不同的交點，作出的圖象如圖：當時，是以為頂點開口向下的拋物線，此時與的圖象沒有交點，不符合題意；當時，與的圖象只有一個交點，不符合題意；當時，時，與的圖象有一個交點，所以時與的圖象有兩個交點，即方程有兩個不等的實根，即方程有兩個不等的實根，可得與的圖象有兩個不同的交點，令，則，由即可得，由即可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，作出其圖象如圖：當時，，當時，可得與的圖象有兩個不同的交點，即時，函數(shù)有三個零點，所以實數(shù)的取值范圍為，故答案為：【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】甲、乙兩人所付費用相同即為、、，求出相應(yīng)的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙兩人所付費用相同的概率；【詳解】兩人所付費用相同，相同費用可能為0，40，80元，兩人都付0元的概率為，兩人都付40元的概率為，兩人都付80元的概率為，故兩人所付費用相同的概率為.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由題意可得，從而可求出，（2）先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得對任意恒成立，對任意恒成立，從而將問題轉(zhuǎn)化為只需證對任意恒成立，再次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值小于等于即可【詳解】（1）解：∵函數(shù)的圖象在點處的切線與平行，∴，解得；證明：（2）由（1）得即對任意恒成立，令，則，∵當時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∵，∴對任意恒成立，即對任意恒成立，∴只需證對任意恒成立即可，即只需證對任意恒成立，令，則，由單調(diào)遞減，且知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，∴得證，故不等式對任意恒成立19、（1）（2）或【解析】(1)按照所給的條件帶入橢圓方程以及e的定義即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，表達出，解方程即可.【小問1詳解】由題意知，，且，解得，，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由題意知，直線的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線的方程為，設(shè)，.由得，則……①，……②，因為，所以，，由可得……③由①②③可得，解得，，所以直線的方程為或，故答案為：，或.20、（1）或（2）【解析】（1）求出圓的圓心到直線的距離，再利用垂徑定理計算列方程計算；（2）由題意可知當最小時，連線與已知直線垂直，求出，再利用計算即可.【小問1詳解】由題意可知圓的圓心到直線的距離為①當直線斜率不存在時，圓的圓心到直線距離為1，滿足題意；②當直線斜率存在時，設(shè)過的直線方程為：，即由點到直線距離公式列方程得：解得綜上，過的直線方程為或.【小問2詳解】由題意可知當最小時，連線與已知直線垂直，由勾股定理知：，所以的最小值為.21、（1）點為MC的中點，理由見解析；（2）【解析】（1）由線面垂直得到線線垂直，進而由三線合一得到點為MC的中點；（2）作出輔助線，找到二面角的平面角，利用勾股定理求出各邊長，用余弦定理求出答案.【小問1詳解】點為MC的中點，理由如下：因為平面，平面，所以，，又，由三線合一得：點為MC的中點【小問2詳解】取AB的中點H，連接PH，CH，則由（1）知：，結(jié)合點為MC的中點，所以PA=PB，故由三線合一得：PH⊥AB，且CH⊥AB，所以∠CHP即為二面角的平面角，因為，，，所以，，，由勾股定理得：，，，在△PCH中，由余弦定理得：，故二面角的余弦值為22、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）連接，交于O，連接OD，根據(jù)中位線的性質(zhì)，可證，根據(jù)線面平行的判定定理，即可得證；（2）如圖建系，求得各點坐標，進而可求得平面與平面