天津市南開(kāi)中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

第1頁(yè)/共1頁(yè)南開(kāi)中學(xué)2024屆高三第一次月檢測(cè)數(shù)學(xué)學(xué)科試卷考試時(shí)間：120分鐘本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷兩部分，共150分.考試結(jié)束后，請(qǐng)交回答題卡.第Ｉ卷一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.“”是“”的（）A充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)的部分圖象可能是（）A B. C. D.4.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.5.計(jì)算：的值（

）A.0 B. C.2 D.36.已知，，，則（）A. B. C. D.7.已知，則（）A. B. C. D.8.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，有下列命題：①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱②函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱③函數(shù)在上單調(diào)遞增④函數(shù)在上恰有5個(gè)極值點(diǎn)其中正確命題個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.49.設(shè)函數(shù)有7個(gè)不同的零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.第II卷二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．）10.已知是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為_(kāi)___________．11.在代數(shù)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)____________．12.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則__________．13.在亞運(yùn)會(huì)女子十米跳臺(tái)決賽頒獎(jiǎng)禮上，五星紅旗冉冉升起，在坡度的看臺(tái)上，同一列上的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排點(diǎn)和最后一排點(diǎn)的距離為米（如圖所示），則旗桿的高度為_(kāi)___________米．14.已知定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)（），都有，若函數(shù)有且僅有五個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍__________.15.記（）在區(qū)間（為正數(shù)）上的最大值為，若，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)_________.三、解答題（本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）16.已知函數(shù).（1）求的最小正周期及對(duì)稱軸方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值.17.在中，角所對(duì)的邊分別為，其中，已知.（1）求角的大?。唬?）若，求面積的最大值.18.如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.19.已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為.（1）求C的方程；（2）如圖，經(jīng)過(guò)橢圓左頂點(diǎn)A且斜率為的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為H，過(guò)點(diǎn)E作OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）垂直的直線交直線AH于點(diǎn)M，且面積為，求k的值.20.已知函數(shù).（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅱ）若恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍；（Ⅲ）若使有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：.

南開(kāi)中學(xué)2024屆高三第一次月檢測(cè)數(shù)學(xué)學(xué)科試卷考試時(shí)間：120分鐘本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷兩部分，共150分.考試結(jié)束后，請(qǐng)交回答題卡.第Ｉ卷一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，即，解得或，所以或，所以，又，所以.故選：B2.“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分性和必要性的定義結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)椋鶕?jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得，反之：若，根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C.3.函數(shù)的部分圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)是奇函數(shù)，排除B，再取特殊值驗(yàn)證.【詳解】因?yàn)樗允瞧婧瘮?shù)，排除B，由，排除A，由，排除D．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.4.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇偶性定義、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)：，不是奇函數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，不是奇函數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，∴是奇函?shù)．設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，在上單調(diào)遞減，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，因?yàn)樵谏隙紗握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：C．5.計(jì)算：的值（

）A.0 B. C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】.故選：B6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)得，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)可證得，可得，而，從而可得答案．【詳解】.設(shè)，則有，單調(diào)遞減，從而，所以，故，即，而，故有．故選：A．7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)已知條件，結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式求得正確答案.【詳解】，，..故選：A8.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，有下列命題：①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱③函數(shù)在上單調(diào)遞增④函數(shù)在上恰有5個(gè)極值點(diǎn)其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移變換的特點(diǎn)，利用正弦弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性、最值，結(jié)合函數(shù)的極值點(diǎn)定義逐項(xiàng)判斷即可求解.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，不是函數(shù)的最值，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，故②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，故③正確；對(duì)于④，令，解得，當(dāng)時(shí)，，在上有4個(gè)極值點(diǎn)，故④錯(cuò)誤．故選：B.9.設(shè)函數(shù)有7個(gè)不同的零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分段函數(shù)分段處理，在，各有1個(gè)零點(diǎn)，所以有5個(gè)零點(diǎn)，利用三角函數(shù)求出所有的零點(diǎn)，保證之間有5個(gè)零點(diǎn)即可.【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，顯然在上單調(diào)遞增，且，，此時(shí)在在有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，，此時(shí)在上只有一個(gè)零點(diǎn)；所有當(dāng)時(shí)，有5個(gè)零點(diǎn)，令，則，即，或，Z，解得，或，Z，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由題可得區(qū)間內(nèi)的5個(gè)零點(diǎn)，即，解得，即.故選：C.【點(diǎn)睛】分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)分別考慮函數(shù)在每段區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，得到每一段區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而得出函數(shù)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).第II卷二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．）10.已知是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為_(kāi)___________．【答案】【解析】分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：.11.在代數(shù)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)____________．【答案】-5【解析】【分析】寫出二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)，化簡(jiǎn)后，使得的指數(shù)冪為0，即可求得的值.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：令，解得，所以，的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：-512.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象結(jié)合正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，求得函數(shù)的解析式，再代入求值即可.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，，則，.把代入，則，而，所以，所以，所以.故答案為：.13.在亞運(yùn)會(huì)女子十米跳臺(tái)決賽頒獎(jiǎng)禮上，五星紅旗冉冉升起，在坡度的看臺(tái)上，同一列上的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排點(diǎn)和最后一排點(diǎn)的距離為米（如圖所示），則旗桿的高度為_(kāi)___________米．【答案】27【解析】【分析】根據(jù)已知可得，在中由正弦定理可得，再利用中計(jì)算可得答案.【詳解】由圖可得，在中，由正弦定理可得，即，在中，，可得米.故答案為：.14.已知定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)（），都有，若函數(shù)有且僅有五個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍__________.【答案】【解析】【分析】寫出的解析式并畫出的圖象，結(jié)合已知條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象與圖象在上有且僅有5個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象分析即可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，……因?yàn)橛星覂H有5個(gè)零點(diǎn)，所以圖象與圖象在上有且僅有5個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，由圖可知，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，兩函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)圖象與圖象在上有且僅有5個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則，解得.故答案為：.15.記（）在區(qū)間（為正數(shù)）上的最大值為，若，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】由函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)及圖象變換可畫出的圖象，進(jìn)而可得，結(jié)合已知條件可知只需，即，由可得，聯(lián)立兩者進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，（），定義域?yàn)?，由單調(diào)性性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，設(shè)，則的圖象如圖所示，所以的圖象如圖所示，則由圖象可知，，所以，如圖所示，當(dāng)時(shí)，有，則，①又因?yàn)椋?，即，所以，②由①②得，整理得，即，所?故的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】恒成立問(wèn)題解題方法指導(dǎo)：方法1：分離參數(shù)法求最值.(1)分離變量．構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．(2)恒成立?；恒成立?；能成立?；能成立?.方法2：根據(jù)不等式恒成立構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題，一般需討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解．三、解答題（本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）16.已知函數(shù).（1）求的最小正周期及對(duì)稱軸方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值.【答案】（1），（2），.【解析】【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)周期公式、對(duì)稱軸公式進(jìn)行求解；（2）由的取值范圍求出整體角的取值范圍，再結(jié)合正弦型函數(shù)圖像及性質(zhì)得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】，故周期為，令，解得，對(duì)稱軸方程，【小問(wèn)2詳解】∵，∴，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí).17.在中，角所對(duì)的邊分別為，其中，已知.（1）求角的大??；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角或余弦定理化簡(jiǎn)原式，根據(jù)，所以或，化簡(jiǎn)即可得出，即可得出答案；（1）根據(jù)余弦定理結(jié)合第一問(wèn)得出的角的大小得出，結(jié)合已知，得出，根據(jù)基本不等式得出即，即可由三角形面積公式得出答案；或?qū)⒒?jiǎn)為，由三角形面積公式結(jié)合基本不等式得出的面積，即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】方法一：由根據(jù)正弦定理邊化角得：，即，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，又，所?方法二：由根據(jù)余弦定理：得，即，因?yàn)?，所以，所以，又，?小問(wèn)2詳解】方法一：由（1）及余弦定理知，所以，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的面積，所以面積的最大值為.方法二：由（1）及余弦定理知，所以.因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，即，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為，18.如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明線面平行；（2）求出平面的一個(gè)法向量，再由向量法求解；（3）求出平面的法向量，再由向量法求解.【小問(wèn)1詳解】解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.可得，，，，由為棱的中點(diǎn)，得，向量，，故，又為平面的一個(gè)法向量，又面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】向量，，設(shè)為平面的法向量，則，即，令，得為平面的一個(gè)法向量，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.【小問(wèn)3詳解】向量，設(shè)平面的法向量，，即，令，得為平面的一個(gè)法向量，則.19.已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為.（1）求C的方程；（2）如圖，經(jīng)過(guò)橢圓左頂點(diǎn)A且斜率為的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為H，過(guò)點(diǎn)E作OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）垂直的直線交直線AH于點(diǎn)M，且面積為，求k的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得出的值，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線l的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立，得出斜率，聯(lián)立方程組得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式式，結(jié)合韋達(dá)定理以及三角形面積公式將面積表示為關(guān)于的方程，解出即可得結(jié)果.小問(wèn)1詳解】由題意可得，解得，，，∴橢圓C的方程為.【小問(wèn)2詳解】易知橢圓左頂點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為，則，，由，消y可得，設(shè)，，，∴，則有，，∴，，∴，∴直線EM的斜率，∴直線EM的方程為，直線AH的方程為，∴點(diǎn)，∴點(diǎn)M到直線的距離，∴，∴，∴，解得.20.已知函數(shù).（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅱ）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值