新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗8.3.1分類變量與列聯(lián)表8.3.2獨立性檢驗課件新人教A版選擇性必修第三冊

第八章8.3.1分類變量與列聯(lián)表8.3.2獨立性檢驗基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標(biāo)檢測課程標(biāo)準(zhǔn)1.能利用2×2列聯(lián)表進行獨立性檢驗,提升利用圖表進行數(shù)據(jù)分析的能力.2.參考反證法,理解獨立性檢驗的基本思想和步驟,并能夠利用獨立性檢驗解決一些實際問題.3.通過對獨立性檢驗和統(tǒng)計等知識的綜合應(yīng)用,體會數(shù)學(xué)知識的交匯運用.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1

分類變量與列聯(lián)表1.分類變量:為了表述方便,我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量,以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),這類隨機變量稱為分類變量.2.列聯(lián)表:在實踐中,由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高,人們經(jīng)常按研究問題的需要,將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計,并做成表格加以保存.這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表.2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).名師點睛制作2×2列聯(lián)表的基本步驟第一步,合理選取兩個變量,且每一個變量按照分類標(biāo)準(zhǔn)分成兩類;第二步,抽取樣本,整理數(shù)據(jù);第三步,畫出2×2列聯(lián)表.過關(guān)自診1.2×2列聯(lián)表的主要作用是什么?提示

2×2列聯(lián)表用于研究兩個分類變量之間是否相互獨立,它適用于分析兩類變量之間的關(guān)系,是對兩類變量進行獨立性檢驗的基礎(chǔ).2.某校為了檢驗高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革的成果,在兩個班進行教學(xué)方式的對比試驗,兩個月后進行了一次檢測,試驗班與對照班成績統(tǒng)計如2×2列聯(lián)表所示(單位:人),則其中m=

,n=

.

單位:人班級成績合計80分及80分以上80分以下試驗班321850對照班24m50合計5644n26100知識點2

獨立性檢驗1.2×2列聯(lián)表XY合計Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb+dn=a+b+c+d上表是關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表:最后一行的前兩個數(shù)分別是事件{Y=0}和{Y=1}的頻數(shù);最后一列的前兩個數(shù)分別是事件{X=0}和{X=1}的頻數(shù);中間的四個數(shù)a,b,c,d是事件{X=x,Y=y}(x,y=0,1)的頻數(shù);右下角格中的數(shù)n是樣本容量.2.χ2統(tǒng)計量的計算公式

3.獨立性的判斷方法

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828基于小概率值α的檢驗規(guī)則是:

α越小,臨界值xα越大

當(dāng)χ2≥xα?xí)r,我們就推斷H0不成立,即認(rèn)為

,該推斷

;

當(dāng)χ2<xα?xí)r,我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,可以認(rèn)為

.

X和Y不獨立

犯錯誤的概率不超過α

X和Y獨立

4.獨立性檢驗利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗,讀作“卡方獨立性檢驗”,簡稱獨立性檢驗.過關(guān)自診[蘇教版教材例題改編]氣管炎是一種常見的呼吸道疾病.醫(yī)藥研究人員對甲、乙兩種中草藥治療慢性氣管炎的療效進行了對比,所得數(shù)據(jù)如下表所示.依據(jù)α=0.001的獨立性檢驗,分析甲、乙兩種中草藥的療效有無差異.單位:人中草藥療效合計有效無效甲18461245乙919100合計27570345解

零假設(shè)為H0:兩種中草藥的治療效果沒有差異,即病人使用這兩種藥物中何種藥物對療效沒有明顯差異.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得χ2=≈11.098>10.828=x0.001.根據(jù)α=0.001的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認(rèn)為兩種藥物的療效有差異,此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一獨立性檢驗【例1】

[2023甘肅酒泉模擬]某校隨機抽出30名女教師和20名男教師參加學(xué)校組織的知識競賽(滿分100分),若分?jǐn)?shù)為80分及以上的為優(yōu)秀,50~80分之間的為非優(yōu)秀,統(tǒng)計并得到如下列聯(lián)表:單位:人性別優(yōu)秀情況合計優(yōu)秀非優(yōu)秀男61420女201030合計262450(1)男、女教師中成績?yōu)閮?yōu)秀的頻率分別是多少?(2)根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,能否認(rèn)為這次競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)聯(lián)?(2)零假設(shè)為H0:這次競賽成績是否優(yōu)秀與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認(rèn)為這次競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.規(guī)律方法

獨立性檢驗的具體做法(1)提出零假設(shè)H0:X和Y相互獨立,并給出在問題中的解釋.(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計算χ2的值,并與臨界值xα比較.(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論.(4)在X和Y不獨立的情況下,根據(jù)需要,通過比較相應(yīng)的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)律.變式訓(xùn)練1某省為了解教師對新課程教學(xué)模式的使用情況,某一教育機構(gòu)對某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進行了問卷調(diào)查,共調(diào)查了50人,其中有老教師20人,青年教師30人.老教師對新課程教學(xué)模式贊同的有10人,不贊同的有10人;青年教師對新課程教學(xué)模式贊同的有24人,不贊同的有6人.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表;(2)試根據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,分析對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡是否有關(guān)聯(lián).

解

(1)2×2列聯(lián)表如下:單位:人教師類型是否贊同合計贊同不贊同老教師101020青年教師24630合計341650(2)零假設(shè)為H0:對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無關(guān)聯(lián).依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,因此可以認(rèn)為H0成立,即認(rèn)為對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無關(guān)聯(lián).探究點二獨立性檢驗的綜合應(yīng)用【例2】

海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”,估計事件A的概率;(2)填寫下面列聯(lián)表,并依據(jù)α=0.01的獨立性檢驗,分析箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法是否有關(guān)聯(lián);單位:箱類型箱產(chǎn)量合計低于50kg不低于50kg舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

合計

(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01).解

(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50

kg”,C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50

kg”.由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50

kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,故P(B)的估計值為0.62.新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50

kg的頻率為(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66,故P(C)的估計值為0.66.因此,事件A的概率估計值為0.62×0.66=0.409

2.(2)零假設(shè)為H0:箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法無關(guān)聯(lián).根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得如下列聯(lián)表:單位:箱類型箱產(chǎn)量合計低于50

kg不低于50

kg舊養(yǎng)殖法6238100新養(yǎng)殖法3466100合計96104200根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到依據(jù)α=0.01的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不超過0.01.(3)因為在新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中,箱產(chǎn)量低于50

kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,箱產(chǎn)量低于55

kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為規(guī)律方法

1.解答此類題目的關(guān)鍵在于正確利用

計算χ2的值,再用它與臨界值xα的大小作比較來判斷零假設(shè)是否成立,從而使問題得到解決.2.此類題目規(guī)律性強,解題比較格式化,填表、計算、分析、比較即可,要熟悉其計算流程,不難理解掌握.變式訓(xùn)練2某校高三年級在一次全年級的大型考試中,數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中,物理、化學(xué)、總分成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示,根據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗,能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與物理、化學(xué)或總分成績優(yōu)秀有關(guān)聯(lián)?數(shù)學(xué)物理優(yōu)秀化學(xué)優(yōu)秀總分優(yōu)秀優(yōu)秀228225267非優(yōu)秀14315699注:該年級在此次考試中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有360人,非優(yōu)秀的有880人.解

零假設(shè)為H0:數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分成績優(yōu)秀都無關(guān)聯(lián).列出數(shù)學(xué)成績與物理成績的2×2列聯(lián)表如下:單位:人數(shù)學(xué)物理合計優(yōu)秀非優(yōu)秀優(yōu)秀228132360非優(yōu)秀143737880合計3718691

240將表中數(shù)據(jù)代入公式,得列出數(shù)學(xué)成績與化學(xué)成績的2×2列聯(lián)表如下:單位:人數(shù)學(xué)化學(xué)合計優(yōu)秀非優(yōu)秀優(yōu)秀225135360非優(yōu)秀156724880合計3818591240將表中數(shù)據(jù)代入公式,得

列出數(shù)學(xué)成績與總分成績的2×2列聯(lián)表如下:單位:人數(shù)學(xué)總分合計優(yōu)秀非優(yōu)秀優(yōu)秀26793360非優(yōu)秀99781880合計3668741240將表中數(shù)據(jù)代入公式,得根據(jù)小概率值α=0.001的χ2獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分成績優(yōu)秀都有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)分類變量;(2)2×2列聯(lián)表和等高堆積條形圖;(3)獨立性檢驗、χ2公式.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):(1)易對2×2列聯(lián)表計算錯誤;(2)對獨立性檢驗的原理不理解,導(dǎo)致不會用χ2分析問題.成果驗收·課堂達標(biāo)檢測1231.下面是一個2×2列聯(lián)表:XY合計Y=0Y=1X=0a2173X=182533合計b46

則表中a,b處的值分別為(

)A.94,96 B.52,50 C.52,60

D.54,52C解析

∵a+21=73,∴a=52,b=a+8=52+8=60.1232.通過隨機調(diào)查110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動,得到如下的列聯(lián)表:單位:人是否愛好性別合計男女愛好402060不愛好203050合計6050110零假設(shè)為H0:愛好該項運動與性別無關(guān).則正確的結(jié)論是(

)A.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為愛好該項運動與性別有關(guān)B.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為愛好該項運動與性別無關(guān)C.根據(jù)α=0.01的獨立性檢驗認(rèn)為愛好該項運動與性別有關(guān)D.根據(jù)α=0.01的獨立性檢驗認(rèn)為愛好該項運動與性別無關(guān)123C解析

根據(jù)獨立性檢驗的思想方法,正確選項為C.1233.已知某企業(yè)有職工5000人,其中男職工3500人,女職工1500人.該企業(yè)為了豐富職工的業(yè)余生活,決定新建職工活動中心.為此,該企業(yè)工會采用分層隨機抽樣的方法,隨機抽取了300名職工每周的平均運動時間(單位:h),匯總得到頻率分布表(如表所示),并據(jù)此來估計該企業(yè)職工每周的運動時間.平均運動時間頻數(shù)頻率[0,2)150.05[2,4)m0.2[4,6)450.15[6,8)750.25[8,10)900.3[10,12)pn合計3001123(1)求抽取的女職工的人數(shù).(2)①根據(jù)頻率分布表,求出m,n,p的值,補全如圖所示的頻率分布直方圖,并估計該企業(yè)職工每周的平均運動時間不低于4h的概率;123②若在樣本數(shù)據(jù)中,有60名女職工每周的平均運動時間不低于4h,請完成以下2×2列聯(lián)表,并說明依據(jù)α=0.05的獨立性檢驗,能否認(rèn)為該企業(yè)職工每周的平均運動時間不低于4h與性別有關(guān)聯(lián)