Hermite插值教學課件

§2.6

Hermite插值不少實際問題不但要求插值函數(shù)在節(jié)點上與原來的函數(shù)相等（滿足插值條件），而且還要求在節(jié)點上的各階導數(shù)值也相等，滿足這種要求的插值多項式，稱為Hermite插值多項式記為H(x)，本節(jié)主要討論已知節(jié)點的函數(shù)值和一階導數(shù)的情形。設(shè)已知函數(shù)y=f(x)在n+1個互異節(jié)點x0,x1,…,xn上的函數(shù)值yi=f(xi)(i=0,1,2,…n)和導數(shù)值y

i=f

(xi)(i=0,1,2,…n)，要求一個不超過2n+1次的多項式H(x)，使其滿足：這樣的H(x)稱為Hermite插值多項式。

與Lagrange分析完全類似Hermite插值Hermite插值Hermite插值誤差估計：與Lagrange分析完全類似為確定

(x)，作輔助函數(shù)：∵當t=x時，使

(x)=0

∴t=x,x0,x2為

(t)的一重零點，t=x1為二重零點。因此

(t)共五重零點，反復使用羅爾中值定理（對重零點也適合）可得到：存在

x，使

(4)(

x)=0，即：由于H(t)是t的三次多項式，∴H(4)(

x)=0注意到x1是

的二次零點，x0,x2為其一次零點，所以：Hermite插值對hi(x)：x=xj(j

i)為其二重零點，故應含有因式(x

xj)2(j

i)，因此可以設(shè)為這樣來確定a,b較麻煩，引入li(x)),,2,1,0(,10)(?,0)(?njjijixhxhjijiL=?íì=1=￠=2(),,2,1,0(0)(,10)()njxhjijixhjijiL==￠?íì=1=Hermite插值對

:由于x=xj(j

i)為其二重零點，xi為一重零點，故可設(shè):Hermite插值特別地，當n=1時，有:和引例類似，可導出Hermite插值的誤差估計。定理設(shè)x0,x1,…,xn為區(qū)間[a,b]上的互異節(jié)點，為f(x)的過這組節(jié)點的2n+1次Hermite插值多項式。若f(x)在[a,b]上2n+2連續(xù)可導，則對

x

[a,b]插值余項為：特別地，n=1的三次Hermite插值余項為：Hermite插值于是上式

0這表明Hermite插值多項式是唯一的。

證明（反證法）假設(shè)另有一個H(x)是滿足相同插值要求的2n+1次Hermite多項式推論1：不超過2n+1次的多項式在任意n+1個互異節(jié)點上的Hermite插值多項式就是其自身。對于推論2，事實上，可令f(x)=1，f

(xi)=0，(i=0,1,…,n)，顯然滿足這組插值條件，即得結(jié)論。設(shè)x0,x1,…,xn為區(qū)間[a,b]上互異節(jié)點，f(x)在(a,b)上2n+2階導數(shù)存在，則上述Hermite插值多項式是唯一的。定理5.3Hermite插值Quiz:

給定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.

下面哪個是h2(x)的圖像？

x0--10.5123456yxy0---10.5123456斜率=1

求Hermite多項式的基本步驟：

寫出相應于條件的hi(x)、hi(x)的組合形式；

對每一個hi(x)、hi(x)找出盡可能多的條件給出的根；

根據(jù)多項式的總階數(shù)和根的個數(shù)寫出表達式；

根據(jù)尚未利用的條件解出表達式中的待定系數(shù)；

最后完整寫出H(x)。Hermite插值例按下表求Hermite插值多項式：解法一：這里有5個條件，所以插值多項式不超過4次，用構(gòu)造插值基函數(shù)hi(x)(i=0,1,2)和(i=0,1)的方法，它們分別應滿足：Hermite插值解法2:∵x=0為二階零點，故可設(shè)插值多項式為代入條件：所求四次Hermite插值多項式為：解法3:還可直接設(shè)五次方程求解Hermite插值例Hermite插值