10.31充分、必要、充要條件課件

充分條件、必要條件10.31充分、必要、充要條件1、命題：可以判斷真假的陳述句，可寫成：若p則q

2、四種命題及相互關系：一、復習引入

逆命題

若q則p原命題

若p則q否命題

若p則q逆否命題

若q則p互逆互逆互否互否互為逆否注：兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性。10.31充分、必要、充要條件引入：若p則q型的命題（1）若x＝y(tǒng)，則x2＝y(tǒng)2（2）若a=0，則ab=0（3）若x2>1，則x>1（4）若x＝1或x＝2，則x2－3x＋2＝0判斷下列命題的真假真真真假10.31充分、必要、充要條件推出符號“”的含義

如果命題“若p則q”為真，

如果命題“若p則q”為假，

則記作pq。則記作pq。10.31充分、必要、充要條件（1）若x＝y(tǒng)，則x2＝y(tǒng)2（2）若a=0，則ab=0（3）若x2>1，則x>1（4）若x＝1或x＝2，則x2－3x＋2＝0引入：若p則q型的命題真真真假10.31充分、必要、充要條件在⑴、⑵、⑷中，，即只要有條件p就一定能“充分”保證q成立，這時稱p是q成立的充分條件.1、思考：⑴p：小明是江西人q：小明是中國人⑵p：x

>5，q：x

>0；

⑷p：A∩B=A，q：A是B的子集10.31充分、必要、充要條件2、學生活動⑴q：小明是中國人p：小明是江西人命題⑴,根據(jù)逆否命題,即如果沒有q成立,就一定沒有p成立,q成立是p成立“必須要有”的條件,稱q是p的必要條件.

10.31充分、必要、充要條件定義1：

如果已知p=>q,則說p是q的充分條件，q是p的必要條件

如果已知q=>p,則說q是p的充分條件，p是q的必要條件①充分性：條件是充分的，也就是說條件是充足的，足夠的，足以保證的。②必要性：必要就是必須的，必不可少的。注：③p是q的充分條件與q是p的必要條件是完全等價的，它們是同一個邏輯關系“p=>q”的不同表達方法。10.31充分、必要、充要條件例1、下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？

（1）若x=1，則x2–4x+3=0；

（2）若f（x）=x，則f（x）為增函數(shù)；

（3）若x為無理數(shù)，則x2

為無理數(shù)解：(1)x=1x2–4x+3=0

(2)f（x）=xf（x）為增函數(shù)

(3)x為無理數(shù)x2

為無理數(shù)

如果已知pq，則說p是q的充分條件，q是p的必要條件。定義1：

是是不是10.31充分、必要、充要條件例2下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中

q是p的必要條件？(1)若x=y，則x2=y2。

(2)若兩個三角形全等，則這兩個三角形的面積相等。(3)若a>b，則ac>bc。(1)x=yx2=y2(2)兩個三角形全等這兩個三角形的面積相等(3)a>bac>bc。是是不是10.31充分、必要、充要條件思考：已知p：整數(shù)a是６的倍數(shù)，q：整數(shù)a是２和３的倍數(shù)，那么p是q的什么條件？pq，p是q的充分條件qp，p是q的必要條件10.31充分、必要、充要條件稱:p是q的充分必要條件,簡稱充要條件顯然,如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件p與q互為充要條件(也可以說成”p與q等價”)定義2：10.31充分、必要、充要條件例3、下列各題中，哪些p是q的充要條件?(1)p:b=0q:函數(shù)f(x)=ax2+bx+c是偶函數(shù)(2)p:x>0，y>0q:xy>0(3)p:a>bq:a+c>b+c解：（1）p是q的充要條件

（2）p是q的充分條件。

（3）p是q的充要條件10.31充分、必要、充要條件

如果既有p=>q又有q=>p，就記做p<=>q，則稱p是

q的充分必要條件，簡稱充要條件。①顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件。p與q互為充要條件(或稱“p與q等價”)定義2：②“充要條件”有時還可以改用“當且僅當”來表示，其中“當”表示充分，“僅當”表示必要注：10.31充分、必要、充要條件p是q充分不必要條件p是q必要不充分條件p是q既不充分也不必要條件p是q充要條件全方位考慮p與q的關系10.31充分、必要、充要條件例3．在下列電路圖中，閉合開關A是燈泡B亮的什么條件：如圖(1)所示，開關A閉合是燈泡B亮的

條件；如圖(2)所示，開關A閉合是燈泡B亮的

條件；如圖(3)所示，開關A閉合是燈泡B亮的

條件；如圖(4)所示，開關A閉合是燈泡B亮的

條件；充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要10.31充分、必要、充要條件練習1

已知p,q都是r的必要條件，

s是r的充分條件，q是s的充分條件，則（1）s是q的什么條件？（2）r是q的什么條件？（3）P是q的什么條件？充要條件充要條件必要條件10.31充分、必要、充要條件p是q充分不必要條件p是q必要不充分條件p是q既不充分也不必要條件p是q充要條件復習：p與q的關系又稱：q是p必要不充分條件也稱：p是q充要條件又稱：q是p充分不必要條件10.31充分、必要、充要條件例4、請用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿＿＿＿＿＿條件.(2)“同位角相等”是“兩直線平行”的＿＿＿條件.(3)“x=3”是“x2=9”的＿＿＿＿＿＿條件.(4)“四邊形的對角線相等”是“四邊形為平行四邊形”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿條件.充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要10.31充分、必要、充要條件

p=>q，相當于pq，

即

從集合角度理解：充分條件與必要條件的理解pq子集是母集的充分條件，真子集是母集的______________條件充分不必要條件10.31充分、必要、充要條件例5、已知p:q:問：p是q的什么條件?

解：易得p:q:∵A是B的真子集，∴p是q的充分不必要條件問：q是p的什么條件?10.31充分、必要、充要條件練習1

設集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的()A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

B10.31充分、必要、充要條件

1）a∈R,|a|<3成立的一個必要不充分條

件是()A.a<3B.|a|<2C.a2<9D.0<a<2A相當于a∈R,_____是|a|<3成立的一個必要不充分條件.A.a<3B.|a|<2C.a2<9D.0<a<2練習210.31充分、必要、充要條件a＞b成立的充分不必要的條件是（）

A.ac＞bcB.a/c＞b/cC.a+c＞b+cD.ac2＞bc2D相當于_____是a＞b成立的充分不必要的條件.

A.ac＞bcB.a/c＞b/cC.a+c＞b+cD.ac2＞bc2練習310.31充分、必要、充要條件1）.已知p是q的必要而不充分條件，那么┐p是┐q的_______________.練習4、充分不必要條件注、等價法（轉化為逆否命題）2）：若┐A是┐B的充要條件,┐C是┐B的充要條件,則A為C的（）條件

A.充要B必要不充分

C充分不必要D不充分不必要Ａ10.31充分、必要、充要條件練習５求證：關于x的方程ax2+bx+c=0有一個根為-1的充要條件是a-b+c=0.【解題回顧】充要條件的證明一般分兩步：

證充分性即證A=>B，

證必要性即證B=>A10.31充分、必要、充要條件

1.p是q的充分條件包括兩種可能，即p是q的充分不必要條件或p是q的充要條件；同樣，p是q的必要條件也包括兩種可能，即p是q的必要不充分條件或p是q的充要條件.小結

2.關于充要條件命題的證明，一般分充分性和必要性兩個方面進行，其中由條件推出結論就是充分性，由結論推出條件就是必要性.

3.充要條件是一種等價關系，許多數(shù)學問題的求解，就是求結論成立的充要條件.在判斷p是q的什么條件時，要“正逆互推，注意特例”.10.31充分、必要、充要條件補例1：方程ax2+2x+1=0至少