北京市文江中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試模擬試題含解析

北京市文江中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知中，內(nèi)角所對的邊分別，若，，，則（）A. B.C. D.2．在中，若，則（）A.150° B.120°C.60° D.30°3．過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于PQ兩點(diǎn)，若以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則（）A.8 B.7C.6 D.54．已知，若對于且都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.5．函數(shù)在的最大值是（）A. B.C. D.6．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A B.C. D.7．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記{兩次的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)}，{兩次的點(diǎn)數(shù)之和為8}，則（）A. B.C. D.8．已知中，角，，的對邊分別為，，，且，，成等比數(shù)列，則這個(gè)三角形的形狀是（）A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.鈍角三角形9．若、、為空間三個(gè)單位向量，，且與、所成的角均為，則（）A.5 B.C. D.10．已知公差不為0的等差數(shù)列中，（m，），則mn的最大值為（）A.6 B.12C.36 D.4811．雙曲線的漸近線方程和離心率分別是A. B.C. D.12．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，若，則的值為（）A.-5 B.-3C.1 D.7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是拋物線上的兩點(diǎn)，且滿足，則______；若OM垂直AB于點(diǎn)M，且為定值，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為__________.14．若分別是平面的法向量，且，，，則的值為________.15．設(shè)命題：，，則為______.16．同時(shí)擲兩枚骰子，則點(diǎn)數(shù)和為7的概率是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)滿足，且的面積為（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線．設(shè)直線交軸于，交軸于，且點(diǎn)，求的軌跡方程18．（12分）已知函數(shù)在處有極值.（1）求的值；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值.19．（12分）若分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，且（1）求橢圓的方程（2）是否存在過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，使（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出直線的斜率；若不存在，說明理由20．（12分）已知函數(shù)（1）若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（2）若是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：21．（12分）已知直線，圓.（1）若l與圓C相切，求切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若l與圓C交于A，B，且，求的面積.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在橢圓上，其中為橢圓E的離心率（1）求b的值；（2）A，B分別為橢圓E的左右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與橢圓E相交于M，N兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)T，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用正弦定理可直接求得結(jié)果.【詳解】在中，由正弦定理得：.故選：B.2、C【解析】根據(jù)正弦定理將化為邊之間的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】若,則根據(jù)正弦定理得：，即,而，故，故選：C.3、C【解析】依據(jù)拋物線定義可以證明：以過拋物線焦點(diǎn)F的弦PQ為直徑的圓與其準(zhǔn)線相切，則可以順利求得線段的長.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線取PQ中點(diǎn)H，分別過P、Q、H作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為N、M、E則四邊形為直角梯形，為梯形中位線，由拋物線定義可知，,，則故，即點(diǎn)H到拋物線準(zhǔn)線的距離為的一半，則以線段PQ為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.又以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則以線段PQ為直徑的圓的直徑等于直線與直線間的距離.即故選：C4、D【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為對于且時(shí)，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，求得的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即可求解.【詳解】由題意，對于且都有成立，不妨設(shè)，可得恒成立，即對于且時(shí)，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，又由，所以在上恒成立，即在上恒成立，又由，所以，即實(shí)數(shù)取值范圍為.故選：D5、C【解析】利用函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)也是單調(diào)遞增函數(shù)，所以.故選：C6、C【解析】由題意，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設(shè)橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.7、B【解析】利用條件概率公式進(jìn)行求解.【詳解】，其中表示：兩次點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)，且兩次點(diǎn)數(shù)之和為8，共有兩種情況，即，故，而，所以，故選：B8、B【解析】根據(jù)題意求出，結(jié)合余弦定理分情況討論即可.【詳解】解：因?yàn)?，所?由題意得，利用余弦定理得：.當(dāng)，即時(shí)，，即，解得：.此時(shí)三角形為等邊三角形；當(dāng)，即時(shí)，,不成立.所以三角形的形狀是等邊三角形.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】先求的平方后再求解即可.【詳解】，故，故選：C10、C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再應(yīng)用基本不等式求mn的最大值，注意等號成立條件.【詳解】由題設(shè)及等差數(shù)列的性質(zhì)知：，又m，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.所以mn的最大值為.故選：C11、A【解析】先根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得其特征參數(shù)的值，再利用雙曲線漸近線方程公式和離心率定義分別計(jì)算即可.【詳解】雙曲線的，雙曲線的漸近線方程為，離心率為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線及離心率，屬于簡單題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解12、C【解析】根據(jù)，可知向量建立方程求解即可.【詳解】由題意根據(jù)，可知向量，則有，解得.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.-24②.【解析】由拋物線的方程及數(shù)量積的運(yùn)算可求出，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立拋物線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可求出，由圓的定義求出圓心即可.【詳解】由，即解得或（舍去）.設(shè)直線AB的方程為.由，消去x并整理得,.又，，直線AB恒過定點(diǎn)N(6,0),OM垂直AB于點(diǎn)M，點(diǎn)M在以O(shè)N為直徑圓上.|MQ|為定值，點(diǎn)Q為該圓的圓心，又即Q(3,0).故答案為：；14、－1或－2【解析】由題可得，即求.【詳解】依題意，，解得或.故答案為：或.15、，【解析】由全稱命題的否定即可得到答案【詳解】根據(jù)全稱命題的否定，可得為，【點(diǎn)睛】本題考查了含有量詞的命題否定，屬于基礎(chǔ)題16、【解析】利用古典概型的概率計(jì)算公式即得.【詳解】依題意，記拋擲兩顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)分別為，，則可得到數(shù)組共有組，其中滿足的組數(shù)共有6組，分別為，，，，，，因此所求的概率等于.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用可得，由橢圓關(guān)系可求得，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）將與橢圓方程聯(lián)立可得，得，結(jié)合韋達(dá)定理可確定點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得方程，進(jìn)而得到，化簡整理即可得到所求軌跡方程.【小問1詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知：；，即，，，解得：，，解得：（舍）或，，橢圓的方程為：；【小問2詳解】由得：，，整理可得：；，解得：，，則，令，解得：；令，解得：；，即，又，，則的軌跡方程為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查動點(diǎn)軌跡方程的求解問題，解題基本思路是能夠利用變量表示出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)之間關(guān)系，化簡整理消掉變量得到所求軌跡方程；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略題目中的限制條件，軌跡中出現(xiàn)多余的點(diǎn).18、（1），；（2）最大值為，最小值為【解析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在處取極值得出，再由極值為，得出，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于的二元一次方程組，便可解出的值；（2）由（1）可知，求出，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在上的單調(diào)性，比較極值和端點(diǎn)值的大小，即可得出在上的最大值與最小值.【詳解】解：（1）由題可知，，的定義域?yàn)椋?，由于在處有極值，則，即，解得：，，（2）由（1）可知，其定義域是，，令，而，解得，由，得；由，得，則在區(qū)間上，，，的變化情況表如下：120單調(diào)遞減單調(diào)遞增可得，，，由于，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查已知極值求參數(shù)值和函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值問題，考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)在給定閉區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，以及通過比較極值和端點(diǎn)值確定函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值，考查運(yùn)算能力.19、（1）；（2）存在；【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，利用列方程，化簡求得直線的斜率.【小問1詳解】依題意，得橢圓的方程為【小問2詳解】存在．理由如下：顯然當(dāng)直線的斜率不存在，即時(shí)，不滿足條件故由題意可設(shè)的方程為．由是直線與橢圓的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)，由消去y，并整理，得，則，解得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，即存在斜率的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，使20、（1）；（2）詳見解析【解析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，參變分離后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）將方程的實(shí)數(shù)根代入方程，再變形得到，利用分析法，轉(zhuǎn)化為證明，通過換元，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)證明，恒成立.【小問1詳解】，，在上單調(diào)遞減，在上恒成立，即，即在，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值是，所以；【小問2詳解】若是方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即又2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，且，，得，即，所以，不妨設(shè)，則，要證明，只需證明，即證明，即證明，令，，令函數(shù)，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，即，即得【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，以及證明不等式，屬于難題，導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題，往往采用分析法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與不等式的關(guān)系，通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可證明.21、（1）（2）【解析】（1）求出直線的定點(diǎn)，再由定點(diǎn)在圓上得出切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由（1）知，證明為直角三角形，求出，，最后由三角形的面積公式求出的面積.【詳解】（1）圓可化為直線可化為，由解得即直線過定點(diǎn)，由于，則點(diǎn)在圓上因?yàn)閘與圓C相切，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（2）因?yàn)閘與圓C交于A，B，所以點(diǎn)如下圖所示，與相交于點(diǎn)，由以及圓的對稱性可知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且由，則直線的方程為圓心到直線的距離為，即直線與圓相切即，則因?yàn)?，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在第一問中，關(guān)鍵是先確定直線過定點(diǎn)，再由定點(diǎn)在圓上，從而確定切點(diǎn)的坐標(biāo).22、（1）1（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓E上建立方程，結(jié)合，然后解出方程即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，表示出直線與，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，再分別表示出直線和的斜率并作差，通過韋達(dá)定理證明直線和的斜率相等即可.【小問1詳解】由點(diǎn)在