福建省泉州市永春縣第一中學2023年數(shù)學高二上期末檢測試題含解析_第1頁
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福建省泉州市永春縣第一中學2023年數(shù)學高二上期末檢測試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知拋物線上一橫坐標為5的點到焦點的距離為6,且該拋物線的準線與雙曲線(,)的兩條漸近線所圍成的三角形面積為,則雙曲線C的離心率為()A.3 B.4C.6 D.92.若,(),則,的大小關系是A. B.C. D.,的大小由的取值確定3.將一枚骰子先后拋擲兩次,若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別記為a,b,則直線到原點的距離不超過1的概率是()A. B.C. D.4.已知函數(shù),則的值為()A. B.C. D.5.有一組樣本數(shù)據(jù)、、、,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)、、、,其中,為非零常數(shù),則()A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本眾數(shù)相同6.已知橢圓的左焦點是,右焦點是,點P在橢圓上,如果線段的中點在y軸上,那么()A.3:5 B.3:4C.5:3 D.4:37.空間直角坐標系中、、)、,其中,,,,已知平面平面,則平面與平面間的距離為()A. B.C. D.8.函數(shù),若實數(shù)是函數(shù)的零點,且,則()A. B.C. D.無法確定9.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.10.已知橢圓+=1(a>b>0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交橢圓于A、B兩點.若AB的中點坐標為(1,-1),則E的方程為A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=111.已知數(shù)列滿足,若.則的值是()A. B.C. D.12.已知公差不為0的等差數(shù)列中,(m,),則mn的最大值為()A.6 B.12C.36 D.48二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.由曲線圍成的圖形的面積為________14.已知水平放置的是按“斜二測畫法”得到如下圖所示的直觀圖,其中,,則原的面積為______.15.如圖,已知正方形邊長為,長方形中,,平面與平面互相垂直,是線段的中點,則異面直線與所成角的余弦值為______16.命題“若,則二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域(包含邊界)”的條件:_________,結(jié)論:_____________,它是_________命題(填“真”或“假”).三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在棱長為的正方體中,為中點(1)求二面角的大??;(2)探究線段上是否存在點,使得平面?若存在,確定點的位置;若不存在,說明理由18.(12分){}是公差為1的等差數(shù)列,.正項數(shù)列{}的前n項和為,且.(1)求數(shù)列{}和數(shù)列}的通項公式;(2)在和之間插入1個數(shù),使,,成等差數(shù)列,在和之間插入2個數(shù),,使,,,成等差數(shù)列,…,在和之間插入n個數(shù),,…,,使,,,…,,成等差數(shù)列.①記,求{}的通項公式;②求的值.19.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)的極值;(2)若對,恒成立,求的取值范圍.20.(12分)新疆長絨棉品質(zhì)優(yōu)良,纖維柔長,被世人譽為“棉中極品”,產(chǎn)于我國新疆的吐魯番盆地、塔里木盆地的阿克蘇、喀什等地.棉花的纖維長度是評價棉花質(zhì)量的重要指標之一,在新疆某地區(qū)成熟的長絨棉中隨機抽測了一批棉花的纖維長度(單位:mm),將樣本數(shù)據(jù)制成頻率分布直方圖如下:(1)求的值;(2)估計該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值為代表);(3)根據(jù)棉花纖維長度將棉花等級劃分如下:纖維長度小于30mm大于等于30mm,小于40mm大于等于40mm等級二等品一等品特等品從該地區(qū)成熟的棉花中隨機抽測兩根棉花的纖維長度,用樣本的頻率估計概率,求至少有一根棉花纖維長度達到特等品的概率.21.(12分)在數(shù)列中,,,且對任意的,都有.(1)數(shù)列的通項公式;(2)設數(shù)列,求數(shù)列的前項和.22.(10分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線C:y2=4x經(jīng)過點A(1,2),直線l:y=kx+b與拋物線C交于M,N兩點.(1)若,求直線l的方程;(2)當AM⊥AN時,若對任意滿足條件的實數(shù)k,都有b=mk+n(m,n為常數(shù)),求m+2n的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題意求得拋物線的準線方程為,進而得到準線與雙曲線C的漸近線圍成的三角形面積,求得,再結(jié)合和離心率的定義,即可求解.【詳解】由題意,拋物線上一橫坐標為5的點到焦點的距離為6,根據(jù)拋物線定義,可得,即,所以拋物線的準線方程為,又由雙曲線C的兩條漸近線方程為,則拋物線的準線與雙曲線C的兩條漸近線圍成的三角形面積為,解得,又由,可得,所以雙曲線C的離心率.故選:A.2、A【解析】∵且,∴,又,∴,故選A.3、C【解析】先由條件得出a,b滿足,得出滿足的基本事件數(shù),再求出總的基本事件數(shù),從而可得答案.【詳解】直線到原點的距離不超過1,則所以當時,可以為5,6當時,可以為4,5,6當時,可以為4,5,6當時,可以為2,3,4,5,6當時,可以為1,2,3,4,5,6當時,可以為1,2,3,4,5,6滿足的共有25種結(jié)果.將一枚骰子先后拋擲兩次,若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別記為a,b,共有種結(jié)果所以滿足條件的概率為故選:C4、C【解析】利用導數(shù)公式及運算法則求得,再求解【詳解】因為,所以,所以故選:C5、B【解析】利用平均數(shù)公式可判斷A選項;利用標準差公式可判斷B選項;利用中位數(shù)的定義可判斷C選項;利用眾數(shù)的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項,設數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為,數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為,則,A錯;對于B選項,設數(shù)據(jù)、、、的標準差為,數(shù)據(jù)、、、的標準差為,,B對;對于C選項,設數(shù)據(jù)、、、中位數(shù)為,數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為,不妨設,則,若為奇數(shù),則,;若為偶數(shù),則,.綜上,,C錯;對于D選項,設數(shù)據(jù)、、、的眾數(shù)為,則數(shù)據(jù)、、、的眾數(shù)為,D錯.故選:B.6、A【解析】求出橢圓的焦點坐標,再根據(jù)點在橢圓上,線段的中點在軸上,求得點坐標,進而計算,從而求解.【詳解】由橢圓方程可得:,設點坐標為,線段的中點為,因為線段中點在軸上,所以,即,代入橢圓方程得或,不妨取,則,所以,故選:A.7、A【解析】由已知得,,,設向量與向量、都垂直,由向量垂直的坐標運算可求得,再由平面平行和距離公式計算可得選項.【詳解】解:由已知得,,,設向量與向量、都垂直,則,即,取,,又平面平面,則平面與平面間的距離為,故選:A.8、A【解析】利用函數(shù)在遞減求解.【詳解】因為函數(shù)在遞減,又實數(shù)是函數(shù)的零點,即,又因為,所以,故選:A9、A【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域及零點的情況即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域為,則排除選項、,當時,,則在上單調(diào)遞減,且,,由零點存在定理可知在上存在一個零點,則排除,故選:.10、D【解析】設、,所以,運用點差法,所以直線的斜率為,設直線方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,所以;又因為,解得.【考點定位】本題考查直線與圓錐曲線的關系,考查學生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.11、D【解析】由,轉(zhuǎn)化為,再由求解.【詳解】因為數(shù)列滿足,所以,即,因為,所以,所以,故選:D12、C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,再應用基本不等式求mn的最大值,注意等號成立條件.【詳解】由題設及等差數(shù)列的性質(zhì)知:,又m,,所以,即,當且僅當時等號成立.所以mn的最大值為.故選:C二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】曲線圍成的圖形關于軸,軸對稱,故只需要求出第一象限的面積即可.【詳解】將或代入方程,方程不發(fā)生改變,故曲線關于關于軸,軸對稱,因此只需求出第一象限的面積即可.當,時,曲線可化為:,在第一象限為弓形,其面積為,故.故答案為:.14、【解析】根據(jù)直觀圖畫出原圖,再根據(jù)三角形面積公式計算可得.【詳解】解:依題意得到直觀圖的原圖如下:且,所以故答案為:【點睛】本題考查斜二測畫法中原圖和直觀圖面積之間的關系,屬于基礎題15、【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系,求出,后可求異面直線所成角的余弦值.【詳解】長方形可得,因為平面與平面互相垂直,平面平面,平面,故平面,故可建立如圖所示的空間直角坐標系,則,故,,故.故答案為:16、①.②.二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域(包含邊界)③.真【解析】由二元一次不等式的意義可解答問題.【詳解】因為,二元一次不等式所表示的區(qū)域如下圖所示:所以在的條件下,二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域(包含邊界),此命題是真命題.故答案為:;二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域(包含邊界);真三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)點為線段上靠近點的三等分點【解析】(1)建立空間直角坐標系,分別寫出點的坐標,求出兩個平面的法向量代入公式求解即可;(2)假設存在,設,利用相等向量求出坐標,利用線面平行的向量法代入公式計算即可.【小問1詳解】如下圖所示,以為原點,,,所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,則,,,,,,.所以,設平面的法向量,所以,即,令,則,,所以,連接,因為,,,平面,平面,平面,所以平面,所以為平面的一個法向量,所以,由圖知,二面角為銳二面角,所以二面角的大小為【小問2詳解】假設在線段上存在點,使得平面,設,,,因為平面,所以,即所以,即解得所以在線段上存在點,使得平面,此時點為線段上靠近點的三等分點18、(1),(2)①;②【解析】(1)利用等差數(shù)列的通項公式將展開化簡,求得首項,可得;根據(jù)遞推式,確定,再寫出,兩式相減可求得;(2)①根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),采用倒序相加法求得結(jié)果;②根據(jù)數(shù)列的通項的特征,采用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】設數(shù)列{}的公差為d,則d=1,由,即,可得,所以{}的通項公式為;由可知:當,得,當時,,兩式相減得;,即,所以{}是以為首項,為公比的等比數(shù)列,故.【小問2詳解】①,兩式相加,得所以;②,,兩式相減得:,故.19、(1)極小值為,無極大值;(2).【解析】(1)對函數(shù)進行求導、列表、判斷函數(shù)的單調(diào)性,最后根據(jù)函數(shù)極值的定義進行求解即可;(2)對進行常變量分離,然后構(gòu)造新函數(shù),對新函數(shù)進行求導,判斷其單調(diào)性,進而求出新函數(shù)的最值,最后根據(jù)題意求出的取值范圍即可.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為,當時,.由,得.當變化時,,的變化情況如下表-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的極小值為,無極大值.(2)對,恒成立,即對,恒成立.令,則.由得,當時,,單調(diào)遞增;當時,,單調(diào)遞減,所以,因此.所以的取值范圍是.【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值,考查了構(gòu)造函數(shù)法、常變量分離法,考查了數(shù)學運算能力和分類討論思想.20、(1)(2)(3)【解析】(1)由頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為1,可求出答案.(2)根據(jù)平均數(shù)的公式可得到答案.(3)先求出一根棉花纖維長度達到特等品的概率,然后分恰好有一根和兩根棉花小問1詳解】由解得【小問2詳解】該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為:【小問3詳解】由題意一根棉花纖維長度達到特等品的概率為:兩根棉花中至少有一根棉花纖維長度達到特等品的概率21、(1);(2).【解析】(1)由遞推式可得,根據(jù)等比數(shù)列的定義寫出通項公式,再由累加法求的通項公式;(2)由(1)可得,再應用裂項相消法求前項和【小問1詳解】由可得:,又,,∴,則數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,∴.∴.【小問2詳解】∵,∴∴.22、(1)(2)3或【解析】(1)由可得,則

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