高中數(shù)學 《高中數(shù)學知識要點及解題方法精粹》

專題64精選練習練習01集合A組1．集合{x，x2-2}中的2．若集合A={a-3，2a-1，a2-4}，且3．①用列舉法表示集合M={x∈N|61+x∈Z}②由y=aa+4．設集合A中的元素為實數(shù)，且滿足條件：若a∈A，則11-a∈A，其中①若2∈A，用列舉法寫出集合A；②若a∈A，用列舉法寫出集合A；③集合A能否為單元素集？若能，求之；若不能，請說明理由．5．用適當?shù)臄?shù)學符號（∈，①π____Q，②2____R，③{-1}___{x|x④___{x∈R|x2+1=0}，⑤12-1___{x|x=a+2b6．已知集合M滿足1，2?M?{17．設集合A={a，1，b}，B={a，8．若集合A={x|x2-2x-3=0}，B={x|ax=1}，若B9．已知集合xx2+ax+b=x⒑若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，則使A?B成立的實數(shù)a的取值范圍是____．⒒已知集合M=xA．M=N?PB．M?N=PC．M?N?PD．N?P?MB組1．已知集合M={(x，y)|4x+y=6}，P={(x，y)|3x+2y=7}2．已知集合A={x|x>0}，B={x|-1≤x≤2}，則A?B=_____________，A?B=___________．3．已知A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}4．已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，（1）若A?B=A，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若A?B≠A，求實數(shù)a的取值范圍．5．已知全集U=R，集合A={x|x<1，或x>2}，B={x|0<x<3}．求A?B，A?B，U6．已知全集U={x|x≤5}，集合A={x|-2<x<4}，B={x|-4≤x≤3}，求A?B，UA，(UA)7．設集合A={x|x2+4x=0}（1）如果A?B=B，求實數(shù)a的取值范圍；（2）如果A?B=A，求實數(shù)a的取值范圍．8．設全集U=x0<x<10，x∈N*，若A?B=2，3，A?9．已知A=xx2+p+2x+1=0，⒑已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0}⒒設集合A={x|-2<x<-1，或x>1}，B={x|a≤x≤b}，若A?B={x|x>-2}，則a=____，b=______．答案A組1．{x|x≠-1且x≠2}；【解析】2．解：∵-3∈A，∴a-3=-3∴a=0，或由于a=-1時，A={-4，所以，a=0或當a=0時，A={-3，-1，-4}；當3．①{0，1，2，5}；【提示】注意x同時滿足：②{-4，0，4}4．①解：∵2∈A，②解：∵a∈A，∴11-2∈A，即-1∈A，∴∴11--1∈A，即12∈A，∴11-12∈A，即2∈A，∴故A={2，-1，1③解：若集合A為單元素集，則a=11-a，即由于?=1-4=-3<0，則方程a2則a≠11-a，因此集合A5．①?，6．解：1，1，7．解：∵A=B，∴a2=1ab=b（1），或ab=1解（1）得，a=1b∈R，或a=-1b=0；解（2）得，由于a≠1，所以a=-1，b=0.8．解：由已知可得A={3，當a=0時，B=，滿足B當a≠0時，B={1a}，要滿足B?A，則故a=0，或9．解：∵xx2+(a-1)x+b=0={a}，∴∴a+a=1-aa?a=b，解之得a=⒑[6，9].⒒B；解析：x=3?2m+16，x=3n-26日日行，不怕千萬里；常常做，不怕千萬事。B組1．{(1，2．(-1，+∞)，(0，3．{x|x是等腰直角三角形4．（1）解：由A?B=A，得A?B，當A=時，2a+1>3a-5，得a<6當A≠時，2a+1≤3a-52a+1≥33綜上可得，a≤9.（2）解：由（1）可得a>9.5．解：A?B=R，A?B=(0，1)?(2，3)，6．解：A?B=(-2，3]，UA={x|x≤-2，或4≤x≤5}7．解：（1）由已知可得A={0，-4}，又由A?B=B，得∴B=，或{0}，或{-4}，或{0當B=時，?=4a+12當B={0}，或{-4}時，?=4a+12-4a當B={0，-4}時，-4+0=-2(a+1)綜上，a≤-1或a=1.（2）由A?B=A，得A?B，即0，-4?B；又從而由（1）易得，a=1.8．{2，9．解：當A=時，x∴?=p+22-4<0當A≠時，∵A?B=，且注意到∴x2+p+2∴?=p+22-4≥0綜上，p>-4.⒑解：由已知可得B={2，3}，∵A?B≠，A?∴4-2a+a∴a≠-3，5a=-2，5故a=-2.⒒a=-1，b=3．解析：利用數(shù)軸，直接確定集合B練習02解不等式寫出下列不等式的解集：1．（1）x-1x+3>0；（2）x-2x-4<0；（3）xx-2≥0；2．（1）x-1x+3>0；（2）x-2x-4<0；（3）xx-2≥0；3．（1）x<2；（2）x-2<3；（3）x>3；（44．（1）x2-6x+8<0；（2）x2-2x-8≥0；（3）6x2+5x+1≤0練習03函數(shù)定義域1．用區(qū)間表示下列集合：（1）{x|x<3，或x≥5}；（2）{x|1<x≤3，或x>5}；（3）{x|1<x<3，或2．求下列函數(shù)的定義域：（1）fx=1-x+15+x，（2）fx=x+20x-x，3．（1）若函數(shù)fx=kx2（2）設集合A={x|y=x-1}，B={y|y=-x2（3）已知函數(shù)y=ax+1（a<0，且a為常數(shù)）在區(qū)間(-∞，1]4．（1）若f(x)的定義域為(1，3)，求f(2x+1)的定義域．（2）若f(3x-1)的定義域為[1，（3）已知函數(shù)y=f(x)的定義域為[1，5]，求函數(shù)答案：解不等式1．（1）{x|x>1，或x<-3}；（2）{x|2<x<4}；（3）{x|x≥2，或x≤0}2．（1）{x|x>1，或x<-3}；（2）{x|2<x<4}；（3）{x|x>2，或x≤0}3．（1）{x|-2<x<2}；（2）{x|-1<x<5}；（3）{x|x>3，或x<-3}4．（1）{x|2<x<4}；（2）{x|x≤-2或x≥4}；（3）{x|-12函數(shù)定義域1．（1）-∞，3?[5，+∞)；（2）1，3?(5，+∞)；2．（1）解：由1-x≥05+x≠0，得x≤1，且x≠-5，所以函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≤1，且x≠-5}（2）解：由x+2≠0x-x>0，得x<0，且x≠-2，所以函數(shù)f(x)的定義域為xx<0（3）解：由x+5≥03-x>0，得-5≤x<3，所以函數(shù)f(x)的定義域為{x|-5≤x<3}（4）解：由x2-5x-6≠0，得x≠-1，且x≠6，所以函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠-1，且3．（1）解：∵fx=kx2∴k=0，或k>0?=k2∴k=0，或0<k≤4，所以k的取值范圍為[0，（2）[1，2]．解析：A={x|x≥1}，B={y|y≤2}（3）解：函數(shù)y=ax+1（a<0，且a為常數(shù)）的定義域為(-∞依題意，-∞，1?-∞，-1a，則4．（1）解：由1<2x+1<3，得0<x<1，所以f(2x+1)的定義域為(0，（2）解：∵x∈[1，3]，∴3x-1∈[2，8]（3）解：由1≤3x-1≤51≤3x+1≤5，得23≤x≤20≤x≤43，得學而不思則罔，思而不學則殆。練習04求函數(shù)解析式1．（1）已知函數(shù)f①fff5=______；②若fx=4，求（2）設fx=2x-5，（3）已知函數(shù)f(x)滿足fa?b=fa+f(b)，且f2．（1）已知fx=x2-2x-3，gx=2x+1，求f(-x)，f(（2）已知fx+2=x2（3）已知f2x=x+43．（1）已知f1-x1+x=（2）已知fx+1x=（3）已知fx+1=x+34．（1）已知函數(shù)f(x)滿足2fx+f-x（2）已知函數(shù)f(x)滿足2fx+f1（3）已知f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且fx+g5．①已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且滿足3fx+1-2fx-1②已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且為增函數(shù)，又滿足ffx=9x+8③已知f(x)是二次函數(shù)，且滿足f0=1，fx+1④已知fx=x2+x-1⑤已知二次函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x=-2，且在x軸上截得的線段長為22，又f0=16．已知點(a，b)在函數(shù)y=lgx的圖象上，則點A7．已知fx=x2-2x-38．設fx=ax+b，若f1x=f(x)，fn+19．已知定義在(0，+∞)上的單調(diào)函數(shù)f(x)，對任意x∈(0，10．如圖，某人晚上在路燈下散步。已知該人的身高為AB=h(m)，燈柱的高OP=l(m)，若該人在點A朝著影子的方向以x(m/s)勻速行走，他影子的頂端C在地面上移動的速度為y(m/s)，求y=f(x)的表達式。11．已知對任意x，y∈R，都有fx+y12．將函數(shù)y=f(x)的圖象先向右平移2個單位，再向上平移3個單位，則此時該圖象對應的函數(shù)解析式為____．AABCOP答案1．（1）①ff②解：∵fx=4，∴x≤0x+4=4，或0<x≤4∴x=0，或x=4.③解：∵fx<4，∴x≤0x+4<4，或0<x≤4∴x<0，或0<x<4，或x>4∴x≠0，所以不等式的解集為{x|x≠0，且（2）f6（3）2p+q．解析：f122．（1）解：f-x=x2+2x-3fggfff（2）解：fx=x-2（3）解：fx=x3．（1）解：令t=1-x1+x，則x=1-t1+t，∴（2）解：令t=x+1x，則x=1t-1，∴另解：由已知得，f1+1x（3）解：令t=x+1，則x=t-1∴ft=t-1另解：由已知得，fx故fx4．（1）解：∵2fx+f-x=x2+3x∴2f-x+fx=x由①×2-②得，fx=13x2+3x（3）解：∵fx∴f-x由于f(x)為偶函數(shù)，g(x)∴fx由①②可得，fx5．①解：設fx=kx+b，因為所以3kx+1+b所以k=25k+b=-17，解之得k=2，b=-27②解：設fx=kx+b(k>0)，因為∴fkx+b=9x+8，即∴k2=9kb+b=8∴k=3，b=2，故fx③解：設fx=ax2+bx+c又因為fx+1-fx即2ax+a+b=2x，所以2a=2a+b=0，∴a=1故fx④解：設gx=kx+b(k>0)，因為fx所以f(kx+b)=即k2=42kb+k=-2b2+b=0，解得⑤解：因為二次函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x=-2，且在x軸上截得的線段長為2所以f(x)的兩個零點為-2-2所以可設fx=a(x+2+2∴2a=1，a=12，故6．1.【提示：D點.】7．y=fy=fx-2ABCOPD8．ABCOPD9．fx=2+log2x；所以fa+log10．解：設該人由O到A經(jīng)過的時間為t，則由?PDB∽?POC可得tytx=l11．解：令x=y=0，則f0=0；令y=0，則fx12．y=fx-2不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海。練習05函數(shù)值域1．求下列函數(shù)的值域：（1）y=x2-1，x∈{-2，-1，0（3）y=5x+4x-1；（4）（5）y=4x+1-2x；（6）y=4x-（7）y=1x2+x+1；（2．求下列函數(shù)的最值：（1）y=2x-3x+1(0≤x≤2)；（2）y=4x+9x(1≤x≤4)；（4）y=x-2-6-x；（5）y=4-x2；（7）y=x-3．（1）求函數(shù)fx=2x2-kx-8在（2）求函數(shù)fx=2x2-kx-8在4．（1）已知f(x)的值域為[38，（2）求函數(shù)y=x5．已知函數(shù)fx=x2-6x+8(x∈答案：函數(shù)值域1．（1）{3，-1，0}；直接法（2）[-4，5)（4）{y|y≥0}（5）解：(換元法)令t=1-2x，則x=1-t則y=4×1-當t=14時，ymax（6）(-∞，2]；單調(diào)性法（7）(0，43]；直接法2．（1）[-3，13]；單調(diào)性法（2）[12，734（4）[-2，2]；單調(diào)性法（5）[0，2]；不等式法（（7）[-33．略；提示：分類討論法.4．（1）[79，78]．換元法.5．(1，3]由形到數(shù)易，由數(shù)到形難；難點一突破，思路如涌泉．練習06函數(shù)圖象1．作出下列函數(shù)的圖象，并指出單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性：【單調(diào)區(qū)間不能用“?”連結，只能用逗號隔開！】（1）y=x+1(x∈N)；（2）y=x2-2x-3（3）y=x2-2x-3；（5）y=x-2+1；（6）（7）y=x-1+|x-3|；（8）2．已知f(x)是R上的偶函數(shù)，且滿足f1+x=f(1-x)，又f(x)在[1，2]上是減函數(shù)，試確定f(x)在3．求函數(shù)fx=-x2+|x|4．將函數(shù)y=14x的圖象向右平移12個單位，再向下平移15．已知函數(shù)fx=ax2+bx(ab≠0)，若6．作出下列函數(shù)圖象：⑴y=x-2(x+1)，⑵y=x+|2x-1|，⑶y=2x+1+|⑸y=x2-2x+1，⑹y=3-2|x-1|，⑺y=x⑼y=12x-1，⑽y=|3x-1|，⒀y=e|lnx|-|x-1|，⒁y=|elnx-2|，答案：1．圖象略；提示：（1）其圖為散點，無單調(diào)性；（3）該函數(shù)為偶函數(shù)；（5）利用y=|x|的圖象進行平移變換；（6）先對解析式分子常數(shù)化；（7）折線圖，先確定點(1，2)和(3，2)；（8）雙勾函數(shù)；2．略．提示：作出函數(shù)f(x)的圖象！注意函數(shù)f(x)的圖象既關于y軸對稱，又關于直線x=1對稱!3．略．提示：函數(shù)fx=-x2+|x|是偶函數(shù)，其圖象關于y4．y=15．0．提示：fx1=f6．圖象略；提示：⑴變分段函數(shù)；⑵變分段函數(shù)；⑶利用點12，5⑸圖象變換或變分段函數(shù)；⑹圖象變換或變分段函數(shù)；⑺y=x(x≠1)⑻雙勾函數(shù)；⑼~⑿圖象變換⒀變分段函數(shù)⒁變分段函數(shù)⒂導數(shù)法確定單調(diào)性(x=0是極值點，觀察所得)讀書百遍，其義自見。練習07函數(shù)單調(diào)性1．若函數(shù)fx=2k+1x+6在R為減函數(shù)，則2．若函數(shù)fx=x2-2k+6x-33．若函數(shù)fx=x2-2k+6x-34．若函數(shù)fx=x2-2k+6x-35．已知函數(shù)fx=2x2-kx-6．證明：fx=x+47．若函數(shù)y=ax-1，x<2x2+1，8．（1）若y=x2的定義域與值域均為[a，b]（2）設b>a>0，函數(shù)fx=2x-x2，已知當x∈[a，b]時，9．已知函數(shù)fx（1）若f2-a2>f(a)，則實數(shù)（2）若fa2-2+f⒑已知fx=2-ax+1，x<1ax，⒒函數(shù)fx=xx+2的遞增區(qū)間為⒓已知y=fx+x2是奇函數(shù)，且f1=1⒔已知函數(shù)fx=ax+b1+x（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）證明：f(x)在(-1，（3）解不等式：ft-1⒕⑴函數(shù)y=x-3-8-2x⑵函數(shù)y=x-4+log⑶函數(shù)y=2-|x|+答案：函數(shù)單調(diào)性1．(-∞，-12].提示：2k+1<0；2．3．(-∞，-1].提示：k+3≤2；4．(-∞，5．k≤4，或k≥12.提示：k4≤17．(0，3]．提示：8．（1）提示：∵fx≥0，∴值域a，b?[0，+∞)（2）解：∵fx∴1a≤1，又a>0，∴a≥1，∴f(x)在∴fa=1afb=1b而x3∴x=1，或x=1±52所以a=1，9．（1）(-2，1)；（2）提示：先要考察出f(x)是R上的增函數(shù)（利用圖象），奇函數(shù)（利用圖象或定義）！⒑32≤a<2.提示：∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴⒒[0，+∞)；-∞，⒓-1.提示：∵Fx∴F-x+Fx∴f-1∴g-1⒔解：（1）∵fx是定義在(-1，1)上的奇函數(shù)，∴f又f12=25，所以1（2）設-1<x則f=x∵-1<x∴fx1-f所以fx在定義(-1（3）∵fx是定義在(-1∴ft-114.提示：利用單調(diào)性。業(yè)精于勤，荒于嬉；行成于思，毀于隨。練習08函數(shù)奇偶性1．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）fx=x+2x3+1x（3）fx=2x+1；（4）（5）fx=x2-2x-3，x>0（7）fx=4-x2x+3-32．（1）已知定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足fx≠1，且fx（2）已知y=f(x)，y=g(x)在R上具有奇偶性，試討論y=fxg(x)3．①已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f②已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f4．（1）若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在[0，+∞)上是增函數(shù)，且f-1=0，則使得fx（2）若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(-∞，0]上是減函數(shù)，若x1<|x2|（3）已知定義域為R的函數(shù)f(x)在(8，+∞)上為減函數(shù)，且函數(shù)y=f(x+8)A．f6>f(7)B．f6>f(9)C．（4）定義在(-4，4)上的奇函數(shù)f(x)在(0，4)上是減函數(shù)，且函數(shù)xfx≥0的解集為5．①已知函數(shù)f(x)在[-2，2]是增函數(shù)，若f1-m②已知奇函數(shù)f(x)在(-1，1)上單調(diào)遞減，且f1-a③定義在[-1，1]的偶函數(shù)f(x)滿足：當x≥0時，f(x)為增函數(shù)．若f1+m6．已知偶函數(shù)f(x)在[0，+∞)為增函數(shù)，若fax+1<f(x-2)對7．已知函數(shù)fx=ex+x2相約在高校，備考必用之！函數(shù)奇偶性1．（1）奇函數(shù)；（2）偶函數(shù)；（2）非奇非偶函數(shù)；（4）非奇非偶函數(shù)；（5）解：∵f-x=x（6）解：∵f-x=-x（7）解：f(x)的定義域為-2，0?(0∵f-x=-4-（8）解：f(x)的定義域為{x|x≠0}，且f∵f-x=-x2．（1）解：∵g-x=1+f(-x)（2）略.提示：令F(x)=fxg(x)，G(x)=f3．①解：∵fx是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0∴x<0時，fx故fx=②解：∵fx是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≥0∴x<0時，fx=f-x=-x4．（1）(-1，1)．提示：作出函數(shù)f(x)的圖象.（2）fx1<f(（3）D．提示：函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=8對稱．（4）[-2，2]．提示：作出函數(shù)f(x)5．①解：∵函數(shù)f(x)在[-2，∴f1-m所以實數(shù)m的取值范圍為12②解：∵奇函數(shù)f(x)在(-1，∴f1-a?-1<1-a<1故實數(shù)a的取值范圍為0<a<③解：∵定義在[-1，1]的偶函數(shù)f(x)滿足：當x≥0時，∴f1+m故實數(shù)m的取值范圍為-16．-2<a<0．7．-∞,12∪(34+∞)【注意練習09周期性1．已知函數(shù)f(x)是定義在R上周期為2的偶函數(shù)，當x∈[0，1]時，fx=x，若在[-1，3]內(nèi)，gx2．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足fx=log21-x，3．若函數(shù)y=fx(x>0)滿足：①對任意x>0，f3x=3f(x)恒成立；②當則（1）f100=______；（2）滿足方程fx4．設fx=3-x，A．(0，1)B．(-∞，1]C．5．已知以T=4為周期的函數(shù)fx=m1-x2，x∈-1，6．已知函數(shù)f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且x∈(0，1)時，fx=27．已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx+4=-f(x)，又f(x)①若0<x1<x2②若0<x1<x2③若方程fx=m在[-8，8]內(nèi)有四個不同的解x1其中正確的命題的序號為______．8．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且fx+2=-1f(x)，當則（1）f105.5=________；（2）9．設f(x)是定義在R上周期為2的函數(shù)，且fx=ax+1，-1≤x<0bx+2⒑設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對x∈R，都有fx-2=f(x+2)，且當x∈[-2，0]時，fx=12x-1，若在區(qū)間(-2，⒒已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f1=10，對x∈R，都有fx+20若gx=fx⒓設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對x∈R，都有fx+2=-f(x)，且當x∈[0，⑴證明：函數(shù)f(x)為周期函數(shù)；并證明函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱；⑵當-1≤x≤3時，求f(x)的解析式；⑶求使fx=-1⑷當x∈-1+4k，3+4k，k∈Z天下事有難易乎？為之，則難者亦易矣；不為，則易者亦難矣?！敬鸢浮恐芷谛?．(0，14]；【在[-1，3]內(nèi)，gx=fx-kx-k有2．-1，0【∵fx則fx=-f所以f2011=f13．（1）19，（2）46【法一：利用圖象分別求出解析式，而完成（1）、（2）；法二：fx（1）f100（2）作出圖象，可知x∈[27，81]，4．D【數(shù)形結合法．】；5．(1536．35；【f(7．①②③；【fx+4=-fx?T=8，對于：①注意x1+x22=2；②注意x1+8．2.5;-25.【由fx+2=-1f55.59．-10.【由f-1=f(1)，f1⒑34⒒10【由已知可得gx+20≥g(x)，gx+1⒓解：⑴由fx+2=-所以f(x)是周期函數(shù)，且4是它的一個周期。由于f(x)為奇函數(shù)，則fx+2所以f1+x=f(1-x)，即函數(shù)⑵當-1≤x≤0時，0≤-x≤1，由于f(x)為奇函數(shù)，所以fx由此可見-1≤x≤1，fx當1≤x≤3時，-1≤x-2≤1，由于fx+2所以fx=-fx-2⑶當-1≤x<3時，滿足fx=-12解為故x=-1+4k，⑷當x∈-1+4k，3+4k，k∈Z練習10指數(shù)函數(shù)1．①計算：5+26②若am=2，an=3，其中a>0，且a≠1，③105-2④已知a12+a-12=3，求a+a2．①若f(x)的定義域為(12，②若f(2x)的定義域為[13．求下列函數(shù)的值域：（1）y=133x-1；（2（3）y=12x2-4x+3；4．①作出函數(shù)y=1-1②求函數(shù)y=35．已知函數(shù)fx=b-（1）求a，（2）求fx（3）若對任意的t∈R，不等式ft2-2t6．用min?{a，b，c}表示7．①若方程ax-1=2a(a>0②若方程14x+③已知函數(shù)fx=ex+8．已知函數(shù)fx（1）判斷f(x)的奇偶性，并證明你的結論；（2）證明：fx9．已知fx答案：指數(shù)函數(shù)1．①5+26②263．提示：a3m-n④解：∵a12+a-∴a+a-12∴a-a-12∴a2∴a-a2．①解：∵2x∈(12，1)，∴②解：∵x∈[1，3]，∴2x∈[23．（1）(0，1]；換元法（2）[1，9]；換元法（3）(0，2]；換元法4．①解：圖象略；函數(shù)y=1-12x+2的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞②解：函數(shù)y=3x2-2x-3的單調(diào)遞減區(qū)間為5．解：（1）∵fx是R上的奇函數(shù)，∴f0=0f-1（2）由（1）得fx=1-2x（3）∵fx是R∴f?t??=4+12k<0?k<-1故實數(shù)k的取值范圍為k<-16．6.提示：作出fx的圖象，可知最高點為(47．①(0，12).提示：分a>1，與0<a<1②解：14x+而x>0時，fx=-1∴f(x)的值域為(-2，0)，從而實數(shù)a的取值范圍為③解：∵f-x=e又x≥0時，fx∴f3a-2故實數(shù)a的取值范圍為a>38．解：（1）函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0}，且fx∵f-x=2（2）證明：當x>0時，2x>1，則當x<0時，-x>0，由于f(x)是偶函數(shù)，所以fx=f有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦關終屬楚；苦心人，天不負，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳。練習11對數(shù)函數(shù)1．⑴已知loga2=m，loga3=n，其中a>0，且a≠1，則⑵若log3(lnx)⑶51-log⑷已知2logaM-2N-log⑸設函數(shù)fx=12⑹12lg⑺1log5⑻lg5×lg8+lg1000+⑼log23+⑽lg27+lg8-lg⑾log32，2．求下列函數(shù)的定義域：（1）fx=lgx+lg?(4-2x)；（3．作出下列函數(shù)的圖象，并指出其單調(diào)性．（1）y=|3x-1|，（2）y=3|x|，（4）y=|log2x|，（5）y=log2|x|，4．①已知fx=|lgx|，若1c②已知fx=|lgx|，若當0<a<b<c③已知fx=|lgx|，若a≠b時，5．①確定函數(shù)fx②已知函數(shù)y=log12(x③已知函數(shù)y=loga(3-ax)在[0，④求函數(shù)fx⑤求函數(shù)y=log6．證明函數(shù)fx=log7．設函數(shù)fx=lg1-x1+x，（1）判斷f(x)的奇偶性；8．已知定義在(-1，1)上的函數(shù)fx滿足floga（1）求f(x)的解析式；（2）判斷f(x)的奇偶性；（3）確定f(x)的單調(diào)性；（4）解不等式f1-x9．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(-∞，0]上是減函數(shù)，若f12=0⒑已知fx=3a-1x+4a，x<1，⒒①若函數(shù)fx=log12②若函數(shù)fx=log12③已知函數(shù)y=lg?[a2-1④已知函數(shù)y=lg?[a2-1⒓已知函數(shù)fx=ax(a>0，且冪函數(shù)1．將下列各數(shù)從小到大排列起來：（1）1612，1312，1614，1314，；（2）232．求下列冪函數(shù)的定義域、并判斷奇偶性及單調(diào)性：（1）y=x45；（2（3）y=x54；（43．已知函數(shù)fx=2x，x≥2x-13答案：對數(shù)函數(shù)1．⑴23；提示：loga2=m?a⑵e9⑶20；提示：51-⑷4.【2logaM-2N⑸124.【f⑹32；⑺1；⑻1⑼log2⑽3；⑾5-2．（1）[1，2)；（2）(32，2]3．略.【利用圖象變換或變分段函數(shù)作圖.】4．①1c②證明：因為當0<a<b<c時，fa>fc所以0<a<1，c>1所以fa?lg故0<ac<1.③證明：不妨令a<b，由于f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在則由fa=f(b)可知0<a<1<b，再由fa所以-lga=5．①解：f(x)的定義域為(0，1)，令t=x-x由于y=log13而t=x-x2在(0，∴函數(shù)fx=log13②解：令f(x)=x2-ax+a，則依題意知f(x)在(-∞∴a2≥2f故實數(shù)a的取值范圍為22③解：令t=f(x)=3-ax，由于a>0，則f(x)在[0∴y=logat是增函數(shù)，且x∈∴a>1f1>0，∴a>1故實數(shù)a的取值范圍為1<a<3④解：由于fx=log2(⑤解：y===t2-2t+5=∴函數(shù)值域為[4，6．證明：∵f-x∴函數(shù)fx=log另證：∵f-x+fx∴函數(shù)fx=log7．證明：（1）f(x)的定義域為(-1，∵f-x∴f(x)是奇函數(shù)；（2）由于fx∴f(x)在定義域(-1，1)8．（1）解：令t=logax，則x=at，∴ft=aa2所以fx（3）解：fx當a>1時，aa2-1>0，當0<a<1時，aa2-1<0，綜上，f(x)是(-1，1)（4）由（2）（3）易得f?f9．{x|x>2，或0<x<12}.提示：利用數(shù)形結合得到log⒑17≤a<13⒒①解：依題意x2-2ax+3>0恒成立，所以?=4a②解：依題意x2-2ax+3能取遍一切正數(shù)，所以解得a≥3，或a≤-③解：依題意a2所以a2-1=0a+1=0，或a2-1>0④解：依題意a2所以a2-1=0a+1≠0，或a⒓8.提示：f2=4?a=2，則冪函數(shù)1．（1）∵1612=1（2）-232．（1）y=x45=5x4（2）y=x35=5（3）y=x54=4（4）y=x-4在(-∞，0]上單調(diào)遞增，在(03.(0，Learnandlive.活著，為了學習。練習12定點和定值問題、抽象函數(shù)問題1．（1）已知fx=ax7+bx（2）已知fx=ax7+bx（3）已知fx=alog2x+blog（4）已知fx=x2（5）已知fx=a（6）已知fx=4x②f1（7）若函數(shù)fx=loga2050+x2050-x+32．①已知函數(shù)y=f(x+3)的圖象經(jīng)過點P(1，5)，則函數(shù)y=f(x)的圖象必經(jīng)過點②已知函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(2，3)，則函數(shù)y=fx+1③函數(shù)y=kx-1+2（k為參數(shù)）的圖象必經(jīng)過定點④函數(shù)y=ax-1+2（a>0，且a≠1⑤函數(shù)y=loga(x-1)+2（a>0，且⑥函數(shù)y=loga2x+1x-1+3（a>03．已知f(x)定義在R上的函數(shù)，且fx+y=fx?f(y)恒成立，又（1）求f(0)的值，并證明fx>0；（2）證明：f(x)是（3）若f1=2，求不等式4．定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f3=log23（1）求證：f(x)為奇函數(shù)；（2）若fk?3x+f35．已知函數(shù)f(x)對任意x，y∈R有fx+y=fx（1）求證：函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)；（2）若f3=5，求不等式（3）若f2012=6038，求不等式6．已知函數(shù)f(x)滿足：①定義在(-1，1)上；②對于任意x，y∈(-1，fx（1）判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；（2）若f-127．定義在(0，+∞)上的函數(shù)f(x)滿足：①對任意實數(shù)m，fx（1）求證：fxy=fx（2）證明：f(x)在(0，（3）若fx+fx-38．已知函數(shù)fx=x2+ax+b（1）求證：A?B；（2）當A={-1，3}時，用列舉法表示集合9．已知f(x)在R上是增函數(shù)，且fx+y（1）f0=______；（2）若fx2-ax-10．函數(shù)f(x)的定義域為D={x|x≠0}，且滿足對于任意x1∈D，（1）求f(1)的值；（2）判斷f(x)的奇偶性，并證明你的結論；（3）如果f4=1，且f(x)在(0，答案1．（1）∵f-x+fx=?=4，且（2）∵f-x+fx=?=4x2（3）∵f1x+fx=?=4，且（4）∵f1x+fx（5）證明：f1-x（6）∵f1-x∴f12013設Sn則Sn∴2Sn=2f（7）∵f-x+fx=?=6，【∴f(x)的圖象關于點(0，2．①(4，5).提示：由已知可得f4=5.②(1③(1，2).④(1，3).⑤(2，2).⑥(-23．（1）證明：令x=1，y=0，則f1當x<0時，則-x>0，f-x令y=-x，則f0=fx綜上，fx（2）證明：設x2>x1，則fx1>0則fx2-f=fx2=fx1f∴fx2>fx1，∴f(x)是R4．（1）證明：令x=y=0，則f0=f令y=-x，則f-x∴f(x)為奇函數(shù)；（2）由于f3>f(0)，且f(x)為單調(diào)函數(shù)，所以f(x)必為∴fk??k??k<3x而y=t+2t-1≥22-15．（1）證明：設x2>x則fx=fx∴fx2>fx1（2）解：∵f3=f2∴f2a-1∴不等式的解集為{a|a<1}（3）解：令f1=t，則f2=2t-2，∴fn則f2012=2012t-4022=6038，得t=5，∴∴fa6．（1）解：令x=y=0，則f0=f令y=-x，則f-x∴f(x)為奇函數(shù)；設-1<x1<x2∴fx1-f∴f(x)在(-1，1)（2）∵f-12=1，且∴fx又f(x)在(-1，∴2x1+x2=12，解之得7．（1）令x=2m，y=2fx所以fxy（2）令x2=2m，x1fx所以f(x)在(0，+∞)（3）由于2=1+1=f2fx8．（1）證明：當A=時，A?B當A≠時，設x0∈A，則fx0=x0總之，A?B.（2）解：∵xfx=x∴-1+3=1-a，∴a=-1，b=-3，所以∴ff∴x2-x-3=±x，解之得x=-1，9．（1）1；（2）52【關鍵在于令fb=2，則fxx2-ax-5-b=0的兩根，則-3×2=-5-b，所以b=1，得f書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟。練習13成立與恒成立1．已知fx=x2-x+1，若在區(qū)間[-12．當x∈(0，2]時，函數(shù)fx=ax3．若不等式x2+ax+1≥0對任意x∈(0，124．若x+1+2x-1-m≥0對于x∈R恒成立，則實數(shù)m5．不等式x2-2mx-1>0對x∈[1，3]恒成立，則實數(shù)6．若不等式2x-a<0對x∈[1，2]恒成立，則實數(shù)7．若不等式2x-a<0對x∈(1，2)恒成立，則實數(shù)8．若不等式x2-logax<0對9．若不等式1+2x+4x⒑若方程lnx+2x-a=0在區(qū)間(1，2)⒒已知拋物線y=-x2+mx-1與線段y=-x+3(1≤x≤8)⒓設fx=log22x+1⒔已知函數(shù)fx⑴若fx>0對x∈[1，⑵若fx>0對a∈[1，⒕已知函數(shù)fx⑴若對一切x∈R，fx>0恒成立，求實數(shù)a⑵若當x∈[-3，1]時，fx⒖集合A=xx2-4x+3<0，B={x|x⒗設函數(shù)fx=x-1x，對任意x∈[1，+∞)⒘不等式2x+1<1+ax對x∈(0，+∞)都成立，求實數(shù)答案1．解：fx>2x+m?m<x2-3x+1，當x∈∴實數(shù)m的取值范圍為m<-12．解：依題意，有fx≤f(2)，即∴ax2+4x-12≤8-4x，即∴a≥-4x+6對x∈(0，3．-52.提示：x2+ax+1≥0?a≥-(x+1x)4．m≤32.提示：x+1+5．m<0.提示：x2-2mx-1>0?m<16．a(chǎn)>4.提示：2x-a<0?a>2x，則a>4．7．a(chǎn)≥4.8．116≤a<1.提示：分別作出y=x2，y=log9．解：1+2x+4xft=-t2-t的最大值為f另解：1+2x+⒑解：lnx+2x-a=0?a=lnx+2x∴x∈(1，2)時，f(x)的值域為(2，4+ln2]，則實數(shù)⒒解：依題意，y=-x2+mx-1即-x2+mx-1=-x+3，即m+1x=x2作出fx=x+4x的圖象，可得5<m+1≤812從而實數(shù)m⒓解：Fx=fx-gx-m?m=log22x+1-log?m=log2(1+22故實數(shù)m的取值范圍為log2⒔（1）解：∵fx>0對x∈[1，3]恒成立，（∴f1>0f3>0，即5-a>0a+9>0，解之得-9<a<5，解之得x>3故實數(shù)a的取值范圍為-9<a<5．故實數(shù)x的取值范圍為x>3⒕（1）解：由已知可得?=4a-22-16<0，解之得0<a<4，故實數(shù)（2）解：∵當x∈[-3，1]時，∴2-a≤-3f-3>0，或-3<2-a<1解之得或1<a<4或-12<a≤1，故實數(shù)a⒖[-4，-3]⒗(-∞，-1)【轉化為2mx2或從拋物線y=2mx2-m+1m⒘解：不等式2x+1<1+ax對x∈(0?a>2x+1-1x所以a≥1.練習14函數(shù)與方程1．（1）已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，在(0，+∞)上是增函數(shù)，且其圖象經(jīng)過點(2，0)，則方程f（2）已知fx=4-x2-3x-2（3）若方程2x-1=5-x的根在區(qū)間(n，n+1)，其中n∈（4）若函數(shù)gx=ax+b(a≠0)的零點為2，則函數(shù)fx（5）已知x0是函數(shù)fx=2x+11-x的一個零點．若（6）用二分法求方程lnx-2+x=0在區(qū)間[1，2]上根的近似值，先取區(qū)間中點c=（7）已知函數(shù)fx=xlgx-1，則f(x)有____個零點，若一個零點在區(qū)間(n，n+1)（8）已知方程ax2+2ax-2=0在[-1，1]2．函數(shù)fx=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一個零點，則實數(shù)3．若函數(shù)fx=ax-x-a(a>04．已知函數(shù)fx=x2+px+q與函數(shù)y=fffA．均為正值B．均為負值C．一正一負D．至少有一個為05．已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，且fa?fb<0，則函數(shù)A．至少有一個零點B．至多有一個零點C．沒有零點D．必有唯一的零點6．若函數(shù)fx=4x-x2-a7．若關于x的方程x2-4x+3-a=x至少有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a8．設f1x=x-1，f2x=-9．用二分法求方程x2-2=0的近似解（精確度為⒑求函數(shù)fx=x⒒已知關于x的方程x2+2k-1x+k⒓已知關于x的方程x2+2kx+2k+1=0在區(qū)間(-1，0)內(nèi)和區(qū)間⒔已知關于x的方程x2+kx+3k-9=0的一根比1大，另一根比1小，求實數(shù)⒕已知α，β是方程4x-17?⒖已知α，β是方程log32⒗已知fx=x-ax-b-2的兩個零點為α，β⒘已知f(x)為偶函數(shù)，當x≥0時，fx=-x-12+1，則滿足⒙當m為何值時，方程x2+m-3⒚實數(shù)k為何值時，方程x2+kx+2=0的兩個根一個在(-1，⒛已知fx=lgx，（1）求k的取值范圍；（2）求abc的取值范圍。答案1．（1）3；-2，0，2（2）0，3，4，-1.提示：直接解方程.（3）2.提示：令fx=2x-1-(5-x)，∵f2=-1<0，（4）3，-1.提示：∵g2=0，∴b=-2a，∴（5）fx1<0，fx2>0.提示：注意fx（6）(32，2).提示：令fx=ln（7）1，2.提示：法1，作出y=lgx與y=1法2，0<x<1時，fx<0；x≥1時，f（8）a≤-2，a≥23.提示：設fx=ax22．a(chǎn)≥15，或a≤-1.提示：3．a(chǎn)>1.提示：通過分類a>1，0<a<1，分別作出函數(shù)y=a4．D.提示：設它們相同的零點為x0，則fx0∴q=0或q+p+1=0，∴f0=q=0，或5．D.6．4.提示：分別作出函數(shù)y=4x-7．(-34，-1).提示：分別作出函數(shù)y=xa=-1，當直線y=x+a與拋物線y=-(x2-4x+3)相切時，由?=08．(3，4).提示：注意到gx9．解：令fx=x2-2，由于f1=-1<0取x1=32，則f32=14>0，則取x3=118，則f118<0，則x0此時2316-118=⒑解：∵fx∴f(x)的零點為2，1，-1；且不等式fx>0的解集為⒒解：令fx=x2+2k-1x+則?=2k-12-4k2解之得k<-2，解之得-5故實數(shù)k的取值范圍為k<-2．故實數(shù)k的取值范圍為-5⒔解：令fx=x2+kx+3k-9，則f1=4k-8<0⒕3.提示：2α?2⒖9.提示：log3α+⒗α<a<b<β．提示：先作出y=x-a⒘8.提示：數(shù)形結合，ft=12有4個根ti分別在-2，⒙23<m≤1；⒚-92<k<-113；Knowledgeispower.知識就是力量。練習15函數(shù)的應用1．某公司今年生產(chǎn)一種產(chǎn)品，1月，2月，3月的產(chǎn)量分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件，現(xiàn)公司準備用函數(shù)來模擬產(chǎn)量y（單位：萬件）與月份x的關系，模擬函數(shù)有兩個：①y=ax2+bx+c，②y=a?bx2．某商品在近30天內(nèi)每件的銷售價格P（元）與時間t（天）的函數(shù)關系是P=t+20，0<t<25-t+100，25≤t≤30，3．某商店某種商品的進貨價為14元/件，當售價為15元/件時，一天能賣出500件，通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每件商品的售價提高1元，則該商品一天的銷量會減少20件，問如何定價，才能使該商品的日利潤最高．4．某制藥廠需要將甲物質(zhì)借助催化劑轉化成另一種物質(zhì)，在轉化過程中甲物質(zhì)剩余量P（單位：g）與時間t（單位：h）間的關系為P=P0e-kt，若經(jīng)過5h，轉化了（精確到個位，參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010，lg3=0.4771．）5．某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為0.5萬元，而每百件產(chǎn)品的可變成本為0.25萬元．計劃年生產(chǎn)量不超過6百件，而市場對此產(chǎn)品的年需求量為5百件，銷售收入R（單位：萬元）與產(chǎn)品生產(chǎn)的數(shù)量x（單位：百件）的函數(shù)關系為：R=5x-1（1）寫出該企業(yè)年利潤L(x)（單位：萬元）關于產(chǎn)量x(0≤x≤6)（單位：百件）的表達式；（2）年產(chǎn)量為多少時，該企業(yè)獲得的利潤最大？6．已知函數(shù)fx=log（1）求出函數(shù)f(x)的值域M；（2）若函數(shù)gx=4x-7．已知函數(shù)fx（1）作出函數(shù)f(x)的圖象，并指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)gx=fx-m恰有8．已知函數(shù)fx（1）求函數(shù)f(x)的定義域；（2）判斷f(x)的奇偶性（3）方程fx=x+1是否有根？如果有根x0，求出一個長度為14的區(qū)間(a，b)，使得xABCDPQ9．如圖，有一塊邊長為1km的正方形區(qū)域ABCD，在點A處有一個可轉動的探照燈，其照射角∠PAQ始終為45°，其中PABCDPQ（1）用t表示出PQ的長度，并探求?CPQ的周長l是否為定值；（2）問探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S的最大值是多少（km2）？答案1．解：模擬函數(shù)為y=ax2+bx+c時，a+b+c=1∴y=-0.05x2+0.35x+0.7，當x=4模擬函數(shù)為y=a?bx+c時，ab+c=1∴y=-0.8?0.5x+1.4，當x=4綜上可知選用模擬函數(shù)為y=-0.8?0.52．解：設第t天的銷售額為f(t)元，則ft當0<t<25時，ft=-(t+20)(t-40)當25≤t<30時，ft=(t-100)(t-40)綜上可知，第25天的銷售額最大，為1125元．3．解：設售價為(15+x)元時利潤為f(x)則fx當x=-1+252=12因此，定價為27元時，能該商品的日利潤最高．4．解：顯然甲物質(zhì)的初始量為P0，因為經(jīng)過5h，轉化了10%所以0.9P0=當P=0.5P0時，由0.5P因此轉化50%的甲物質(zhì)需要時間為33h.5．（1）解：Lx=-（2）當0≤x≤5時，Lxmax=f故年產(chǎn)量為475件時，該企業(yè)獲得的利潤最大.6．（1）解：∵fx∴函數(shù)f(x)的值域M=(-∞（2）解：函數(shù)gx=4x-2x+1?t=4x-2x+1在M內(nèi)有解故t的取值范圍為[-1，7．（1）圖象略，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-∞，0，（2）函數(shù)gx=fx-m恰有3個不同零點故實數(shù)m的取值范圍(18．（1）略；（2）略；（3）提示：令gx=log21-x1+x-(x+1)又g-14<09．解：（1）∵PB=1?tanθ=t，∴PC=1-t；又∵QD=1?tan∴PQ=1-t2+（2）S=1-12t-12?1-t1+t=2-通法先行，隨機應變；大膽猜想，小心求證。練習16必修1教材經(jīng)典習題精選1．已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f2．已知集合A=xx2=13．已知函數(shù)fx=4x2-kx-【思考】：如何求函數(shù)fx=4x2-kx-8在[5，20]上的（1）最大值4．已知fx=lg5．若xlog34=16．若loga347．若2a=5b8．對于函數(shù)fx=a-22x+1(a∈R)：⑴探索函數(shù)9．要建造一個容積為1200m3，深為6m的長方體無蓋蓄水池，池壁的造價為95元/m2，池底的造價為135元/ABCDO10．如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是?O的直徑，上底CD的端點在圓周上．寫出這個梯形周長ABCDO11．某公司每生產(chǎn)一批產(chǎn)品都能維持一段時間的市場供應．若公司本次新產(chǎn)品生產(chǎn)開始x月后，公司的存貨量大致滿足模型fxABOx=txy12．如圖，?OAB是邊長為2的正三角形，記?OAB位于直線x=tABOx=txy【答案】1．fx=x1+x3．{k|k≤40，或k≥60}；4．略；56．{a|0<a<34，或a>1}；7．1；9．設水池總造價為y元，水池長度為x米，則y=12x+2400x10．y=-x11．f112．ft練習17空間幾何體正視圖俯視圖1．（1）如圖，底面水平放置的三棱柱的側棱長和底面邊長均為2正視圖俯視圖正視圖是邊長為2的正方形，俯視圖是正三角形，則該三棱柱的側視圖的面積為______．則該三棱柱的表面積為_____，體積為______．（2）水平放置的?ABC的斜二測直觀圖是一個邊長為2的正?A'B'C'，則?ABC的面積為_______．2．一只裝了墨水的密封玻璃瓶子，其內(nèi)部可以看作是由半徑為1cm和半徑為3cm的兩個圓柱組成的簡單組合體．當這個幾何體如圖水平放置時，液面高度為20cm，當這個幾何體倒過來水平放置時，液面高度為28cm，則這個簡單組合體的高度為_______．ABCA'B'C'PABCA'B'C'PQ4．如圖，設三棱柱ABC-A'B'C'的體積為V，P，Q分別為側棱ABCPEF且PA=QC'ABCPEF5．如圖，設正三棱錐P-ABC的側棱長為1，∠APB=30°，E，F(xiàn)ABCD則?AEFABCD6．如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD=2，把直角梯形ABCD以AD為軸旋轉一周得到一個旋轉體，則這個旋轉體的體積為______．ABCDEF7．在四面體P-ABC中，PA=BC=ABCDEF則四面體P-ABC的體積為____，其外接球的表面積為_____．8．如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且?ADE，?BCF均為正三角形，又EF//AB，ABCA'ABCA'B'C'9．如圖，已知正三棱柱ABC-A'B'C'的底面邊長為1，高為8，一質(zhì)點自點A出發(fā)，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達A'，ABCA'ABCA'B'C'⒑一個三棱柱容器中盛有水，且側棱AA1=16ABCDB1ABCDBCDAEE當?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為____．⒒圓柱OO'內(nèi)有一個三棱柱ABC-A'B'C'，該三棱柱的底面在圓柱底面內(nèi)，并且是正三角形．若圓柱的體積為V，底面直徑與母線長相等，求三棱柱ABC-A'B'C'的體積．⒓一個棱長為6cm的密閉正方體盒子中放一個半徑為1cm的小球，無論怎樣搖動盒子，小球在盒子中都不能到達的空間的體積為_______cm3．⒔用一張邊長為2的正方形白鐵皮，按各邊中點垂直折起四個小三角形，用以擺放一個表面積為4π的小球，則球心到底面白鐵皮的距離為_________．⒕已知一個三棱錐的一條側棱長為16cm，和這條棱相對的棱長為18cm，其余四條棱長都是17cm，則該三棱錐的體積為_______cm3．⒖正四面體ABCD中，異面直線AB與CD所成的角是______．ABCDPM⒗如圖，邊長為2的正三角形PCD所在的平面垂直矩形ABCD所在的平面，且BC=2ABCDPM（1）證明：AM⊥PM；（2）求二面角P-AM-D的大小。ABCDEF⒘如圖，多面體ABCDE中，DA⊥平面ABCABCDEFAC=AD=AB=1，BC=2，CE=2，F(xiàn)為BC（1）求證：AF//平面BDE；（2）求證：平面BDE⊥平面BCE；（3）求VB-ACED答案：1．（1）23，12+23，23；（22．29.解析：設高為h，則不含墨水的空間體積為：π?12?3．483.解析：43πR34．13V.解析：不妨令PA=QC'=5．2.解析：將側棱PA剪開，側面展開成平面圖形.6．42π.解析：V=π?37．20，50π.解析：將四面體補形為長方體，其長、寬、高分別為a，b，c，則b2+c2=25，解得a=5，b=42R2=a8．23.解析：將多面體分割成三部分，則9．10.解析：將側棱AA'剪開，側面展開為平面圖形，則最短路線長為82⒑12.解析：設三棱柱底面積為S，底面ABC水平放置時液面高為h，則34⒒33V4π.解析：設圓柱底面半徑為r，則其母線l=2ra=3r，所以⒓8-43π.解析：此問題相當于在一個棱長為2cm的密閉正方體盒子中放一個半徑為1cm⒔12+3212-1⒕576.解析：取長為16cm的棱的中點，將三棱錐分割為兩個小三棱錐，則V=2?1⒖90°.解析：取CD中點為E，則可證明CD⊥平面ABE，從而AB⊥CD.⒗提示：設CD中點為O，連接PO，AO，MO。（1）用勾股定理證明；（⒘略。EFBACD練習18EFBACD1．證明：如果一條直線與兩條平行直線相交，那么這三條直線共面．2．證明：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一個平面內(nèi)．3．如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是若對角線AC=BD=4，且AC與BD所成的角為60°，則線段EF的長為_____．ABCDB1C1D1AABCDBCDAEF（1）求證：四邊形EFCD（2）求證：EDDABCMNP5．如圖，已知P是平行四邊形DABCMNP（1）求證：MN//平面PAD；（2）若MN=BC=4，PA=43，求異面直線PA與MNDABCA'B'C'6．如圖，直三棱柱ABC-A'B'C'的各棱長都相等，DABCA'B'C'（1）證明：D為棱BC的中點；（2）證明：A'B//平面（3）側棱CC'上是否存在一點P，使得B'P⊥平面（4）求二面角D-AC'-C的平面角的正弦值；PABCMN7．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BCPABCMNM為PC的中點，N在AC上，且MN⊥PC．（1）證明：BN⊥平面（2）求二面角M-BN-C的大?。瓺ABC8．如圖，在四面體D-ABC中，AC⊥BD，∠BAC=∠CAD=45°DABC求證：平面ACD⊥平面9．（1）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，EFGBACEFGBACDH（2）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，①求證：四邊形EFGH是平行四邊形；②求證：若增加條件AC=BD，則四邊形EFGH是菱形；③求證：若增加條件AC⊥BD，則四邊形EFGH是矩形；④求證：若增加條件AC=BD，AC⊥BD，則四邊形EFGH是正方形．PABC10．如圖，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥PABC求證：AB⊥BC．DABCEP11．（1）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點EDABCEP問：在棱PB上是否存在一點F，使得AF//平面BDE？并說明理由．（2）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點．DABCMPQNDABCMPQNE②點M在線段PC上，PM=tPC，試確定t的值，使得PA//平面MQB；③若點M，N是PC上的兩個三等分點，E為BC的中點，求證：平面MQB//平面DABCEPF12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，DABCEPF（1）若平面PAB?平面PCD=l，求證：AB//l；（2）求證：平面PEF⊥平面ABCD．ABCDB1C1D1ABCDBCDAMF（1）求證：MF//平面ABCD；（2）求證：MF⊥平面BDD（3）若AA1=2，AD=1，AD⊥AB，P為BB114．如圖，已知四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，BC=2，E是PCDABCEP（1DABCEP（2）求BE與平面PCD所成角的大??；（3）求二面角E-BD-C大小的正切值；DABC（4DABC（5）求三棱錐P-BDE的高．（6）求點P到直線AC的距離；15．在四面體A-BCD中，DA=DB=DC=a，BC=2∠ADB=∠ADC=60°，求DA與平面BCD所成的角．PABCO16．已知點O是?ABC的垂心（三條高的交點），又PO⊥平面PABCO17．（1）把正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A，B，C，D四點為頂點的四面體體積最大時，直線DABCEDABCE（2）如圖，在矩形ABCD中，DABCEDABCE沿AE將?ADE折起，使二面角D-AE-B為60°，則四棱錐D-ABCE的體積為______．a(chǎn)aaaaa2a正視圖aaaaaa2正視圖側視圖俯視圖ABCNBCAM（1）求證：MN//平面ACC（2）求證：MN⊥平面A1DABCEP19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知底面ABCD為正方形，PD⊥DABCEPFE是PC的中點，點F在PB上，且EF⊥PB．F（1）證明：PB⊥平面EFD；（2）求二面角C-PB-D大??；BACD20．設?ABC和?DBC所在的兩個平面互相垂直，且∠ABC=∠DBC=120°BACD（1）求直線AD與平面BCD所成角的大??；（2）求異面直線AD與BC所成角的大?。唬?）求二面角A-BD-C的平面角的正切值的大?。瓺DABCA'B'C'21．如圖，直三棱柱ABC-A'B'C'中，AC=9，BC=12，AB=15，AA（1）求證：AC⊥BC'；（2）若D為A'B'的中點，求證：A'C/答案：1．已知：如圖，a//b，a?c=A，b?c=B，求證：a，αabcAB證明：∵a//bαabcAB又∵a?c=A，b?c=B，∴A∈α，B∈α,∴直線AB?α，即∴a，2．已知：如圖，a，b，αabcABdCαabcABdCDEF又∵a?d=A，b?d=B，∴A∈α，B∈α,∴直線AB?α，即同理可證d?α，故a，3．2或23；提示：設BC中點為G，連接EG，F(xiàn)G，則易得EG=FG=2所以EF=2或4．（1）證明：連接A1B，∵BC//B1C1ABCDB1C1ABCDBCDAEFG又E，F(xiàn)分別是AB，AA∴EF//D1C，且EF由已知易得EF=22，D1C=4過F作FG⊥CD1于點G，則則四邊形EFCD1的面積（2）證明：∵四邊形EFCD1是梯形，∴兩腰所在直線ED又∵FC?平面AC，ED1?平面A1D，∴P∈平面AC而平面AC?平面A1D=AD，∴故ED5．（1）證明：設PD中點為E，連接AE，EDABCMNPO∵EDABCMNPO又AM//DC，AM=12DC∴四邊形AMNE是平行四邊形，∴MN//AE，又MN?平面PAD，∴MN//平面PAD；（2）解：設AC的中點為O，連接OM，則ON//PA，所以∠MNO就是異面直線PA與MN所成角．又MN=BC=4，PA=43，∴ON=2易知?MNO為直角三角形，從而易得∠MNO=30°.故異面直線PA與MN所成角的大小為30°．【利用2AEDABCA'B'C'OPDABCA'B'C'OPM∴CC'⊥AD，又AD⊥DC'∴AD⊥平面BCC'，又∴AD⊥BC，又AB=AC，∴D為棱BC的中點；（2）證明：設A'C?AC∵OD是?A'BC的中位線，∴OD//A'B，又A'∴A'B//平面BCB'C'PD（3）解：當P為側棱CC'BCB'C'PD∵四邊形BCC'B'是正方形，且D，P是兩鄰邊的中點，∴∴∠PB'C∴AD⊥平面BCC'，又B'P?平面∴B'P⊥平面（4）解：過C作CM⊥DC'于點M，連接OM，∵CM//B'P，且B'P⊥平面∴CM⊥平面ADC'，又OC⊥AC'，∴OM⊥AC'，∴∠COM是二面角D-AC'-C的平面角，令三棱柱棱長為2，則OC=2，CM=257．（1）證明：∵PB=BC，M為PC的中點，∴PC⊥BM，PABCMN又MN⊥PCPABCMN又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BN，由于PA?PC=P，∴BN⊥平面（2）解：由（1）知BN⊥NM，∴∠MNC是二面角M-BN-C的平面角．令PA=AB=1，則PB=BC=2，AC=3，∴∠PCA=30°，從而∠MNC=60°，故二面角M-BN-C的平面角大小為60°.8．證明：過D作DE⊥AC于E點，連接BE，DABCE∵DE⊥AC，DABCE∴AC⊥平面DEB，∴∴∠DEB是D-AC-B的平面角.令AE=1，由于∠BAC=∠DAC=45°，則DE=BE=1，則AB=AD=2，又∠BAD=60°，∴BD=∴DE2+B故平面ACD⊥平面EFGBACDHEFGBACDH∴FG//面ABD，又FG?∴FG//BD．（2）略PABCD10．證明：過A作PABCD∵平面PAB⊥平面PBC，∴AD⊥平面∴AD⊥BC，又PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB，又∴AB⊥BC．DDABCEPFGMN11．（1）提示：當F為PB中點時，AF//平面BDE．設G為BC中點，連接AG，F(xiàn)G，分別交DB，然后證明AF//【或設PE中點為Q，再證明平面AFQ//平面BDEDDABCMPQNE（2）①提示：連接BD，然后證明AD⊥平面PQB；②提示：連接AC交QB于點G，再連接MG，利用PA//平面MQB，易得t=1③提示：利用面面平行判定定理，易證平面MQB//平面DEN．DABCEPFl12．（1DABCEPFl∴AB//平面PDC，又AB?平面PAB，且平面∴AB//l.（2）證明：∵PA=PB，PC=PD，E，∴AB⊥PE，CD⊥PF，又AB//CD，∴CD⊥PE，∴CD⊥平面PEF，又ABCDB1ABCDBCDAMFO13．（1）提示：設O為BD中點，連接OA，再證明MF//OA；（2）提示：先證明OA⊥平面BDD（3）提示：用勾股定理證明D1P⊥AP，14．（1）解：∵AD//BC，∴∠EBC就是異面直線AD與BE所成角．∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC，∴又由已知易得EC=1DABCEPFG∴∠EBC=45°DABCEPFG（2）解：∵BC⊥平面PDC，∴∠BEC就是BE與平面而由（1）易知∠BEC=45°，∴BE與平面PCD所成角為45°.（3）解：設DC的中點為F，連接EF，則EF//PD，∵PD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，過F作FG⊥DB于G點，連接EG，則由三垂線定理知EG⊥DB，∴∠EGB就是二面角E-BD-C的平面角；而EF=12PD=1，又由FG?DB=DF?BC∴tan∠EGB=EFFG=3（4）解：VP-BDEDABCEPH（DABCEPH由（3）易得EG=233∴h=1，故三棱錐P-BDE的高為1．（6）解：過D作DH⊥AC于點H，連接PH，由三垂線定理知PH⊥AC，∵DH?AC=AD?DC，∴DH=2∴PH=2故點P到直線AC的距離為4315．DABCO解：由已知易得AD=AC=AB=a，過A作DABCO連接OD，則∠ADO就是DA與平面BCD所成的角，且OD=OB=OC，又由已知可知BD⊥DC，∴O是BC邊的中點，∴OD=OA=a2，所以PABCOD故DAPABCOD16．證明：連接AO并延長交BC于點D，則AD⊥BC，又PO⊥平面ABC，∴PO⊥BC，∴BC⊥平面PAD，又所以PA⊥BC．DABCEFDABCEFODABCEFDABCEFO（2）93913.解析：DF=DE?DA∴VD-ABCEB1aaaaaa2aBaaaaaa2正視圖側視圖俯視圖ABCNCAMO然后證明MN//OC（2）提示：先證明OC1⊥19．（1）證明：∵PD=DC，E是PC的中點，∴DE⊥PC，F(xiàn)DABCEP又FDABCEP∴PD⊥BC，又CD⊥BC，∴BC⊥平面PDC，又DE?平面∴DE⊥平面PBC，∴又EF⊥PB，且DE?EF=E，∴PB⊥平面EFD；（2）解：由（1）知PB⊥FE，PB⊥FD，∴∠EFD是二面角令PD=DC=2，則DE=2，DB=22，∴sin∠EFD=DEDF∴二面角C-PB-D大小為60°.BACDHR20．（1）解：過A作AH⊥BC于點HBACDHR則∠ADH就是直線AD與平面BCD所成角，由題設易知?AHB??DHB，所以AH=DH，∴∠ADH=45°為所求.（2）解：由（1）易知DH⊥BC，則BC⊥平面∴BC⊥AD，從而異面直線AD與BC所成角為90°.（3）解：過H作HR⊥BD于點R，連接AR，則由三垂線定理知AR⊥DR，∴∠ARH是A-BD-H的平面角，令BA=BC=BD=2，則HB=1，AH=DH=∴HR=DH?BHDB=從而二面角A-BD-C的平面角的正切值為-2．DABCA'B'C'O21．（1）證明：由AC=9DABCA'B'C'O又CC'⊥∴AC⊥平面BC'，又∴AC⊥BC'；（2）證明：設BC'?則OD為?A'B'C的中位線，∴OD//A'C，又OD?平面BDC'，∴A'C/練習19直線與方程A組1．（1）經(jīng)過點P(0，-1)作直線l，若直線l與連接A1，-2，B(2（2）經(jīng)過點P(0，-1)作直線l，若直線l與連接A-3，2，2．已知實數(shù)x，y滿足2x+y=8，當（1）求y-2x+1的最大值和最小值．（23．（1）若直線l沿x軸向右平移2個單位，再沿y軸向下平移3個單位后，回到原來的位置，求直線l的斜率．（2）直線2x+y-1=0關于直線x=2對稱的直線方程是________．4．已知點A(-2，2)，B(3，5)，在直線2x+y-2=0上求一點P，使得5．求經(jīng)過點A(-2，2)并且和兩條坐標軸圍成的三角形的面積為6．求經(jīng)過點M(1，2)且與點A27．已知點M(a，b)在直線3x+4y-15=0上，則a28．點P(2，4)在直線ax+y+b=0上的射影是Q(4，3)，則9．點P，Q分別在直線x+3y-4=0，2x+6y-9=0上，則B組1．已知直線l過點A(-2，3)，且點B(1，-1)到直線l的距離為2．已知?ABC的頂點B2，1，C