高中數(shù)學(xué) 全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)

高考資源網(wǎng)（）您身邊的高考專家II）是否存在，使得？并說明理由．解：(Ⅰ)由，得，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為．………5分（Ⅱ）由，得，又由(Ⅰ)知，二者矛盾，所以不存在，使得成立．……………10分2013年24．(10分)選修4—5：不等式選講已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3．(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)設(shè)a＞－1，且當(dāng)x∈時(shí)，f(x)≤g(x)，求a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，不等式f(x)＜g(x)化為|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0．設(shè)函數(shù)y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，則y＝其圖像如圖所示．從圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，y＜0．所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝1＋a．不等式f(x)≤g(x)化為1＋a≤x＋3．所以x≥a－2對(duì)x∈都成立．故≥a－2，即a≤．從而a的取值范圍是．2012年24．（10分）選修4—5：不等式選講已知函數(shù)．（1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若的解集包含[1，2]，求的取值范圍．解:（1）當(dāng)時(shí)，．所以不等式可化為，或，或．解得，或．因此不等式的解集為或．（2）由已知即為，也即．若的解集包含[1，2]，則，，也就是，，所以，，從而，2011年24．（10分）選修4-5：不等式選講 設(shè)函數(shù)，其中． （I）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式的解集． （II）若不等式的解集為｛x|，求a的值．解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，可化為． 由此可得或．故不等式的解集為或． (Ⅱ)由得 此不等式化為不等式組或 即或 因?yàn)?，所以不等式組的解集為 由題設(shè)可得=，故．參考資料一：不等式恒成立問題中的參數(shù)求法已知含參數(shù)不等式恒成立求其中參數(shù)取值范圍問題是高考熱點(diǎn)，這里匯集了這類問題的通法和巧法，包括直接求導(dǎo)法、二次求導(dǎo)法、特值壓縮法、分離法、重構(gòu)函數(shù)法、解不等式法、設(shè)而不求法等，都是高考?jí)狠S題最常用到的方法.一、直接求導(dǎo)法 題目：當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.分析：注意型函數(shù)不分離最好,這里是有理函數(shù),它的導(dǎo)數(shù)為，這里是有理函數(shù)，容易討論其性質(zhì).解：，由可知，我們可以按照二次函數(shù)的討論要求處理，比較復(fù)雜，于是可以考慮分離參數(shù)，即，注意到當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，可解得，即當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，所以，不合題意.綜上，的取值范圍.二、二次求導(dǎo)法題目：當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.分析：型函數(shù)一般用到二次求導(dǎo)法.解:，，因?yàn)?，所以，?dāng)即時(shí)，，是增函數(shù)，所以，所以是增函數(shù)，所以；當(dāng)即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，所以，所以是減函數(shù)，所以.所以的取值范圍.三、特值壓縮法題目：當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.分析：特值法先壓縮參數(shù)范圍，可以大大減少討論步驟，但是這是一個(gè)特殊方法，不被重視.解：由得得，，當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，顯然當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，從而，當(dāng)時(shí)，則，所以當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以的最小值為，所以求的取值范圍是.四、分離法題目：當(dāng)且時(shí)，恒成立，求的取值范圍.分析：把分離出來可以使導(dǎo)數(shù)非常簡單.解：（這一步的目的是提取因式，分離出，由于的符號(hào)不確定，所以分類討論如下）令設(shè)，于是原題等價(jià)于，若是通分，分子是一個(gè)關(guān)于的二次函數(shù)，討論比較復(fù)雜，不如再次提取，分離參數(shù)，這樣會(huì)轉(zhuǎn)化為對(duì)號(hào)函數(shù)，可謂一舉兩得：于是令，由對(duì)號(hào)函數(shù)的單調(diào)性，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，從而，所以當(dāng)，即時(shí)，恒成立，從而為增函數(shù)，所以恒成立；當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得當(dāng)時(shí)，，從而為減函數(shù)，所以，不合題意.同理可討論當(dāng)時(shí)，仍然是時(shí)，恒成立，從而為增函數(shù)，所以恒成立；當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得當(dāng)時(shí)，，從而為減函數(shù)，所以，不合題意.綜上，五、重構(gòu)函數(shù)法題目：恒成立,求的最大值.分析：構(gòu)造以參數(shù)為自變量的函數(shù)是經(jīng)?？嫉某Ｒ?guī)題型.解:令,則（1）當(dāng)時(shí),,在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不合題意.（2）當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以，其中，令，則，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以的最大值是.六、解不等式法題目：設(shè)函數(shù)．（1）證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）若對(duì)于任意，都有，求m的取值范圍．分析：求參數(shù)范圍時(shí)，把參數(shù)看成未知數(shù)，解不等式．解：（1），，因?yàn)?，所以在上是增函?shù)，注意到，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，在上的最小值為，的最大值是和，所以的最大值為或，所以只要或，令，則，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，而，，且，所以存在，使得，所以由即可得，其中=1\*GB3①而即，所以，即，其中，=2\*GB3②由=1\*GB3①、=2\*GB3②得.七、設(shè)而不求法已知函數(shù)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，求的最大值，（2）已知，估計(jì)ln2的近似值（精確到0.001）分析：設(shè)而不求那些不容易求出的極值點(diǎn).解：（1），，令，則，所以，注意到，所以當(dāng)即時(shí)，，為增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，存在，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，不合題意，所以的最大值2.（2）考慮，由（1）知道，當(dāng)時(shí)，，所以，那么，下一步如何再取的值呢？這是不可以隨意取的，我們不得不考慮第二問中的這個(gè)分界點(diǎn)滿足的條件，可以考慮滿足，考慮到滿足等號(hào)成立的的值，，解得，則由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以.參考資料二：“一定二動(dòng)斜率定值”問題的高等背景與初等解法以下四個(gè)例題，都有類似條件：是圓錐曲線上的定點(diǎn)，是圓錐曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求證直線的斜率為定值.我們把這類問題簡稱“一定二動(dòng)斜率定值”問題，筆者經(jīng)過仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)，這類問題的命題者利用了導(dǎo)數(shù)法研究曲線的切線斜率，也就是利用了導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的幾何背景，本文利用極限與導(dǎo)數(shù)這一高等數(shù)學(xué)的方法先探求這個(gè)定值，然后利用初等方法給出證明.例1、如圖1，已知是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是橢圓上的定點(diǎn)，如果直線與關(guān)于直線對(duì)稱，證明直線的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.高等背景：當(dāng)與的傾斜角都趨近于時(shí)，直線的斜率就趨向于過的切線斜率.在中，兩邊對(duì)求導(dǎo)有，把代入有：解得.因此，可以確定所求的定值為.初等解法：因?yàn)橹本€與關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線的斜率與的斜率互為相反數(shù).設(shè)直線的方程為，則直線的方程為.把代入得：，設(shè)，注意到是方程的一個(gè)根，由根與系數(shù)關(guān)系得，，同理可求，，把，代入上式得例2、如圖2，已知是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是橢圓上的定點(diǎn)，如果直線與關(guān)于直線對(duì)稱，證明直線的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.高等背景：當(dāng)與的傾斜角一個(gè)趨近于時(shí)，另一個(gè)趨近于時(shí)，直線的斜率就趨向于過的切線斜率.在中，兩邊對(duì)求導(dǎo)有，把代入有：解得.因此，可以確定所求的定值為.初等解法：設(shè)直線的方程為，代入得：，設(shè)，注意到是方程的一個(gè)根，所以，同理可求，，把，代入得例3、如圖3，已知是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是拋物線上的定點(diǎn)，如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.高等背景：當(dāng)與的傾斜角一個(gè)趨近于時(shí)，另一個(gè)趨近于時(shí)，直線的斜率就趨向于過的切線斜率.而，所以，因此，可以確定所求的定值為.初等解法：設(shè)直線的方程為，代入得：，設(shè)，注意到是方程的一個(gè)根，所以，同理可求，所以，把，代入上式得例4、如圖4，已知是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是拋物線上的定點(diǎn)，如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.高等背景：當(dāng)與的傾斜角都趨近于時(shí)，直線的斜率就趨向于過的切線斜率.由解得，而在附近導(dǎo)數(shù)，所以，因此，可以確定所求的定值為.初等解法：設(shè)直線的方程為，顯然，，代入得：，設(shè)，注意到是方程的一個(gè)根，所以，同理可求而，把，代入得解題規(guī)律總結(jié)：1、注意利用導(dǎo)數(shù)法探求定值，作為選擇題或者填空題時(shí)要利用導(dǎo)數(shù)法，作為解答題時(shí)注意利用導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行檢驗(yàn)；2、題目條件的變化：“直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)”，等價(jià)于“直線與的傾斜角互補(bǔ)”，或者“直線與關(guān)于直線對(duì)稱”，或者“直線與關(guān)于直線對(duì)稱”.3、直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組的一個(gè)解為，消元后所得方程有一個(gè)根為或，此時(shí)一定要利用根與系數(shù)的關(guān)系求另一個(gè)根.4、注意以替換由點(diǎn)坐標(biāo)直接求得點(diǎn)坐標(biāo).5、對(duì)于直線與橢圓或者雙曲線，的進(jìn)一步化簡要利用直線方程，對(duì)于直線與拋物線，的進(jìn)一步化簡利用拋