2024屆四川省廣元川師大萬(wàn)達(dá)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2024屆四川省廣元川師大萬(wàn)達(dá)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，設(shè)異面直線與所成角為，則的最大值為（）A. B.C. D.2．若，都是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3．設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是4，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是（）A.6 B.8C.9 D.104．命題“，”的否定是A.， B.，C.， D.，5．若雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.6．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去找老師詢問成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī).老師說(shuō)：你們四人中有位優(yōu)秀，位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)以上信息，則（）A.乙、丁可以知道自己的成績(jī) B.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)C.乙可以知道四人的成績(jī) D.丁可以知道四人的成績(jī)7．4位同學(xué)報(bào)名參加四個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有（）A.24種 B.81種C.64種 D.256種8．若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則的極大值為（）A. B.C. D.9．下列命題中，結(jié)論為真命題的組合是（）①“”是“直線與直線相互垂直”的充分而不必要條件②若命題“”為假命題，則命題一定是假命題③是的必要不充分條件④雙曲線被點(diǎn)平分的弦所在的直線方程為⑤已知過點(diǎn)的直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè).A.①③④ B.②③④C.①③⑤ D.①②⑤10．的展開式中的系數(shù)是（）A.1792 B.C.448 D.11．運(yùn)行如圖所示程序后，輸出的結(jié)果為（）A.15 B.17C.19 D.2112．已知圓過點(diǎn)，，且圓心在軸上，則圓的方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.14．已知不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的范圍為___________15．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，現(xiàn)日益成為老百姓了解國(guó)家動(dòng)態(tài)，緊跟時(shí)代脈搏的熱門APP，某市宣傳部門為了解全民利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”了解國(guó)家動(dòng)態(tài)的情況，從全市抽取2000名人員進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)他們每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的時(shí)長(zhǎng)，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖（1）根據(jù)上圖，求所有被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的平均時(shí)長(zhǎng)和中位數(shù)；（2）宣傳部為了了解大家利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從和組中抽取50人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50入中選5人參加一個(gè)座談會(huì),現(xiàn)從參加座談會(huì)的5人中隨機(jī)抽取兩人發(fā)言，求小組中至少有1人發(fā)言的概率？16．定義在上的函數(shù)滿足，且對(duì)任意都有，則不等式的解集為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求18．（12分）在中，，，請(qǐng)?jiān)購(gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，然后解答下列問題.（1）求角的大??；（2）求的面積.條件①：；條件②：.19．（12分）已知橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)與y軸垂直的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，△的面積為，橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓C交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求m的取值范圍20．（12分）如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，四棱錐中，底面為梯形，底面，，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)為上一點(diǎn)，滿足，若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.22．（10分）在下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在后面問題中的橫線上，并完成解答.條件①：展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于37；條件②：第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；問題：在二項(xiàng)式的展開式中，已知__________.（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）設(shè)，求的值；（3）求的展開式中的系數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，證明出平面，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，且，求出的最大值，利用空間向量法可求得的最大值.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，，為的中點(diǎn)，則，，則，，同理可得，，，平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)?，所以，為等邊三角形，故為的中點(diǎn)，平面，平面，則，，，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，則、、、，由于點(diǎn)在平面內(nèi)，可設(shè)，其中，且，從而，因?yàn)椋瑒t，所以，，故當(dāng)時(shí)，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.2、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可得正確選項(xiàng).【詳解】若，則，可得，所以，可得，故充分性成立，取，，滿足，但，無(wú)意義得不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.3、A【解析】計(jì)算拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)距離結(jié)合拋物線的定義得到答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，到軸的距離是4，故到準(zhǔn)線的距離是，故點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是.故選：A.4、C【解析】特稱命題的否定是全稱命題，改量詞，且否定結(jié)論，故命題的否定是“”.本題選擇C選項(xiàng).5、A【解析】首先求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)可得雙曲線方程中的的值，然后可得答案.【詳解】橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，因?yàn)?，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：A6、A【解析】分析可知乙、丙的成績(jī)中必有位優(yōu)秀、位良好，結(jié)合題意進(jìn)行推導(dǎo)，可得出結(jié)論.【詳解】由于個(gè)人中的成績(jī)中有位優(yōu)秀，位良好，甲知道乙、丙的成績(jī)，還是不知道自己的成績(jī)，則乙、丙的成績(jī)必有位優(yōu)秀、位良好，甲、丁的成績(jī)中必有位優(yōu)秀、位良好，因?yàn)榻o乙看丙的成績(jī)，則乙必然知道自己的成績(jī)，丁知道甲的成績(jī)后，必然知道自己的成績(jī).故選：A.7、D【解析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.【詳解】每位同學(xué)均有四種選擇，故不同的報(bào)名方法有種.故選：D8、D【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由已知，先求出，再令，并判斷函數(shù)在其左右兩邊的單調(diào)性，從而確定極大值點(diǎn)，然后帶入原函數(shù)即可完成求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，令，解得或，所以?dāng)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以的極大值為故選：D9、C【解析】求出兩直線垂直時(shí)m值判斷①；由復(fù)合命題真值表可判斷②；化簡(jiǎn)不等式結(jié)合充分條件、必要條件定義判斷③；聯(lián)立直線與雙曲線的方程組成的方程組驗(yàn)證判斷④；判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷⑤作答.【詳解】若直線與直線相互垂直，則，解得或，則“”是“直線與直線相互垂直”的充分而不必要條件，①正確；命題“”為假命題，則與至少一個(gè)是假命題，不能推出一定是假命題，②不正確；，，則是的必要不充分條件，③正確；由消去y并整理得：，，即直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，④不正確；點(diǎn)在圓上，則直線與圓至少有一個(gè)公共點(diǎn)，而過點(diǎn)與圓相切的直線為，直線不包含，因此，直線與圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，⑤正確，所以所有真命題的序號(hào)是①③⑤.故選：C10、D【解析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算出正確答案.【詳解】的展開式中，含的項(xiàng)為.所以的系數(shù)是.故選：D11、D【解析】根據(jù)給出的循環(huán)程序進(jìn)行求解，直到滿足，輸出.【詳解】，，，，，，，，，，，，所以.故選：D12、B【解析】根據(jù)圓心在軸上，設(shè)出圓的方程，把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入圓的方程即可求出答案.【詳解】因?yàn)閳A的圓心在軸上，所以設(shè)圓的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，在圓上，所以，解得，所以圓的方程是.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意可得在R上單調(diào)遞增，再由，利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式求解【詳解】定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，由，得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：14、【解析】參變分離后研究函數(shù)單調(diào)性及極值，結(jié)合與相鄰的整數(shù)點(diǎn)的函數(shù)值大小關(guān)系求出實(shí)數(shù)a的范圍.【詳解】整理為：，即函數(shù)在上方及線上存在兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)，，故顯然在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且與相鄰的整數(shù)點(diǎn)的函數(shù)值為：，，，，顯然有，要恰有兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)，則為0和1，此時(shí)，解得：，如圖故答案為：15、（1）平均時(shí)長(zhǎng)為，中位數(shù)為（2）在和兩組中分別抽取30人和20人，概率【解析】（1）由頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)，中位數(shù)的公式即可求解；（2）先根據(jù)分層抽樣求出每一組抽取的人數(shù)，再列舉抽取總事件個(gè)數(shù)，從而利用古典概型概率計(jì)算公式即可求解【小問1詳解】解：（1）設(shè)被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的平均時(shí)長(zhǎng)為，中位數(shù)為，，被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的時(shí)長(zhǎng)中位數(shù)滿足，解得，即抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的平均時(shí)長(zhǎng)為6.8，中位數(shù)為【小問2詳解】解：組的人數(shù)為人，設(shè)抽取的人數(shù)為，組的人數(shù)為人，設(shè)抽取的人數(shù)為，則，解得，，所以在和兩組中分別抽取30人和20人，再利用分層抽樣從抽取的50入中抽取5人，兩組分別抽取3人和2人，將組中被抽取的工作人員標(biāo)記為，，，將中的標(biāo)記為，，則抽取的情況如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10種情況，其中在中至少抽取1人有7種，故所求概率16、【解析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞減，由，得，即，所以，即等式的解集為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）9【解析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于等比數(shù)列首項(xiàng)、公比的方程組即可解決；（2）利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式，解方程即可解決.【小問1詳解】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為則有，解之得則等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問2詳解】由，可得18、（1）條件選擇見解析，（2）【解析】（1）選①，利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍，即可求得角的值；選②，利用余弦定理可求出的值，并利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍，即可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的面積.【小問1詳解】解：選①，，由余弦定理可得，，所以，.選②，，整理可得，，解得，由余弦定理可得，，所以，.【小問2詳解】解：由三角形的面積公式可得.19、（1）；（2）或或.【解析】（1）根據(jù)已知條件，求得的方程組，解得，即可求得橢圓的方程；（2）對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，當(dāng)時(shí)，根據(jù)三點(diǎn)共線求得，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線交橢圓兩點(diǎn)，代值計(jì)算即可求得結(jié)果.【小問1詳解】對(duì)橢圓，令，故可得，則，故，則，又，，故可得，則橢圓的方程為：.【小問2詳解】直線與y軸交于點(diǎn)P，故可得的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，則，由橢圓的對(duì)稱性可知：，故滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，若存在實(shí)數(shù)，使得，即，則，故可得.又直線與橢圓交于兩點(diǎn)，故聯(lián)立直線方程，與橢圓方程，可得：，則，即；設(shè)坐標(biāo)為，則，又，即，故可得：，即，也即，代入韋達(dá)定理整理得：，即，當(dāng)時(shí)，上式不成立，故可得，又，則，整理得：，解得，即或.綜上所述：的取值范圍是或或.【點(diǎn)睛】本題考察橢圓方程的求解，以及橢圓中范圍問題的處理；解決本題的關(guān)鍵一是要求得的取值，二是充分利用韋達(dá)定理以及直線和曲線相交，則聯(lián)立方程組后得到的一元二次方程的，屬綜合中檔題.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用面面垂直和線面垂直的性質(zhì)定理可證得；由菱形邊長(zhǎng)和角度的關(guān)系可證得；利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立起空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.詳解】（1）平面平面，平面平面，且平面，平面，平面，，四邊形為菱形且為中點(diǎn)，，又，，又，，平面，，平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，，，二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面垂直關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問題；涉及到面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的判定與性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于?？碱}型.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由三角形的邊角關(guān)系可證，再由底面，可得.即可證明底面，由面面垂直的判定定理得證.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值.【詳解】解析：（1）證明：由，，，，，所以，又，∴，∴，∴，因?yàn)榈酌?，底面，?因?yàn)?，底面，底面，底面，底面，所以面?（2）由（1）可知為與平面所成的角，∴，∴，，由及，可得，，以點(diǎn)為坐