安徽省池州市東至第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

安徽省池州市東至第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知四面體中，，若該四面體的外接球的球心為，則的面積為（）A. B.C. D.2．已知橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是3，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A.9 B.7C.5 D.33．直線的傾斜角的大小為A. B.C. D.4．過橢圓+=1左焦點(diǎn)F1引直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓的右焦點(diǎn)，則△ABF2的周長(zhǎng)是（）A.20 B.18C.10 D.165．已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的兩點(diǎn)，均在第一象限，且，，，則直線的斜率為（）A.1 B.C. D.6．“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn).如圖所示的楊輝三角中，第8行，第3個(gè)數(shù)是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641……A.21 B.28C.36 D.567．有這樣一道題目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五兩，今三十日屠訖，向共屠幾何？”其意思為：“有一個(gè)姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問一共屠了多少兩肉？"在這個(gè)問題中，該屠夫前5天所屠肉的總兩數(shù)為（）A.35 B.75C.155 D.3158．雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.5C. D.9．如圖所示，已知三棱錐，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.10．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則的軌跡方程是（）A. B.C. D.11．如圖，已知直線AO垂直于平面，垂足為O，BC在平面內(nèi)，AB與平面所成角的大小為，，，則異面直線AB與OC所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．在等比數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)實(shí)根，則（）A.-1 B.1C.-3 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線和平面，且；①若異面，則至少有一個(gè)與相交；②若垂直，則至少有一個(gè)與垂直；對(duì)于以上命題中，所有正確的序號(hào)是___________.14．用1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中個(gè)位小于百位且百位小于萬位的五位數(shù)有n個(gè)，則的展開式中，的系數(shù)是___________.（用數(shù)字作答）15．已知直線與直線垂直，則__________16．某校對(duì)全校共1800名學(xué)生進(jìn)行健康調(diào)查，選用分層抽樣法抽取一個(gè)容量為200的樣本，已知女生比男生少抽了20人，則該校的女生人數(shù)應(yīng)是__________人.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求，并證明：.18．（12分）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線C上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為1（1）求拋物線C的方程；（2）過點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線l1，l2，l1與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，l2與拋物線C交于C，D兩點(diǎn)，M，N分別為弦AB，CD的中點(diǎn)，求|MF|·|NF|的最小值19．（12分）設(shè)集合（1）若，求；（2）設(shè)，若是成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍20．（12分）已知橢圓上的點(diǎn)到左、右焦點(diǎn)、的距離之和為4，且右頂點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離為1.（1）求橢圓的方程;（2）直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，，記的面積為，當(dāng)時(shí)求的值.21．（12分）已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)且動(dòng)圓內(nèi)切于定圓：記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線方程；（2）若、是曲線上兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足求直線的方程.22．（10分）書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日.某研究機(jī)構(gòu)為了解當(dāng)?shù)啬贻p人的閱讀情況，通過隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕人，對(duì)這些人每天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：（1）求的值；（2）為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于，和的年輕人中抽取5人，再?gòu)闹腥芜x2人進(jìn)行調(diào)查，求其中至少有1人每天閱讀時(shí)間位于的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)四面體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、球的性質(zhì)、正弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】由圖設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，由，所以，面，則面，且，所以球心面，所以平面與球面的截面為大圓，延長(zhǎng)線與此大圓交于點(diǎn).在三角形中，由，所以，由正弦定理知：三角形的外接圓半徑為，設(shè)三角形的外接圓圓心為點(diǎn)，則面，有，則，設(shè)的外接圓圓心為點(diǎn)，則面，由正弦定理知：三角形PAB的外接圓半徑為，所以，又三角形中，，所以為的角平分線，則，在直角三角形OMD中，，在直角三角形OED中，，在三角形中，取中點(diǎn)，由，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用正弦定理、勾股定理、線面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵.2、A【解析】根據(jù)橢圓定義求得即可.【詳解】由橢圓定義知，點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2×6-3=9.故選：A3、A【解析】考點(diǎn)：直線的傾斜角專題：計(jì)算題分析：因?yàn)橹本€的斜率是傾斜角的正切值，所以欲求直線的傾斜角，只需求出直線的斜率即可，把直線化為斜截式，可得斜率，問題得解解答：解：∵x-y+1=0可化為y=x+，∴斜率k=設(shè)傾斜角為θ，則tanθ=k=，θ∈[0，π）∴θ=故選A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系，屬于直線方程的基礎(chǔ)題型，需要學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)熟練掌握4、A【解析】根據(jù)橢圓的定義求得正確選項(xiàng).【詳解】依題意，根據(jù)橢圓的定義可知，三角形的周長(zhǎng)為.故選：A5、C【解析】作垂直準(zhǔn)線于，垂直準(zhǔn)線于，作于，結(jié)合拋物線定義得出斜率為可求.【詳解】如圖：作垂直準(zhǔn)線于，垂直準(zhǔn)線于，作于，因?yàn)椋?，，由拋物線的定義可知：，，，所以，直線斜率為：.故選：C.6、B【解析】由題意知第8行的數(shù)就是二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，可得第8行，第3個(gè)數(shù)是為，即可求解【詳解】解：由題意知第8行的數(shù)就是二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，故第8行，第3個(gè)數(shù)是為故選：B7、C【解析】構(gòu)造等比數(shù)列模型，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意可得該屠夫每天屠的肉成等比數(shù)列，記首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)和為，所以，，因此前5天所屠肉的總兩數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列模型，考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】根據(jù)漸近線方程求得關(guān)系，結(jié)合離心率的計(jì)算公式，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，則；又雙曲線離心率.故選：D.9、A【解析】連接，先根據(jù)已知條件表示出，再根據(jù)求得結(jié)果.【詳解】連接，如下圖所示：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，故選：A.10、C【解析】此方程表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之差為8，而這正好符合雙曲線的定義，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支，，的軌跡方程是，故選C.11、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式計(jì)算即可.【詳解】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O作OB的垂線為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，，，，設(shè)的夾角為，則，所以異面直線AB與OC所成角的余弦值為，故選：B.12、B【解析】由韋達(dá)定理可知，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求出.【詳解】解：在等比數(shù)列中，由題意知：，，所以，，所以且，即.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②【解析】假設(shè)與都不相交得到，得到①正確，若不垂直，上取一點(diǎn)，作交于，得到，得到②正確，得到答案.【詳解】若與都不相交，，，則，同理，故，與異面矛盾，①正確；若不垂直，上取一點(diǎn)，作交于，，，故，，故，，，故，，，故，②正確.故答案為：①②.14、2022【解析】根據(jù)排列和組合計(jì)數(shù)公式求出，然后利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行求解即可【詳解】解：用1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，滿足個(gè)位小于百位且百位小于萬位的五位數(shù)有個(gè)，即，當(dāng)時(shí)，，則系數(shù)是，故答案為：202215、-3【解析】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以考點(diǎn)：本題考查兩直線垂直的充要條件點(diǎn)評(píng)：若兩直線方程分別為,則他們垂直的充要條件是16、810【解析】分析：首先確定抽取的女生人數(shù)，然后由分層抽樣比即可確定女生的人數(shù).詳解：設(shè)抽取的女生人數(shù)為，則：，解得：，則抽取的女生人數(shù)為人，抽取的男生人數(shù)為人，據(jù)此可知該校女生人數(shù)應(yīng)是人.點(diǎn)睛：進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常利用以下關(guān)系式巧解：(1)；(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2），證明見解析【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明；（2）由錯(cuò)位相減法求得和，再由的單調(diào)性可證得不等式成立【小問1詳解】由得又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）的結(jié)論有①②①②得：又為遞增數(shù)列，18、（1）（2）8【解析】（1）由拋物線C上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為1，所以，即可求得拋物線的方程；（2）設(shè)直線AB的斜率為k，則直線CD的斜率為，得到直線AB的方程為，聯(lián)立方程，求得，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，得到的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)閽佄锞€C上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為1，所以，解得，所以拋物線C的方程為【小問2詳解】解：由（1）可知焦點(diǎn)為F(1，0)，由已知可得ABCD，所以直線AB，CD的斜率都存在且均不為0，設(shè)直線AB斜率為k，則直線CD的斜率為，所以直線AB的方程為，聯(lián)立方程，消去x得，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，因?yàn)镸(xM，yM)為弦AB的中點(diǎn)，所以，由，得，所以點(diǎn)，同理可得，所以，＝，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)不等式的解答求得，當(dāng)時(shí)，求得，結(jié)合集合并集的運(yùn)算，即可求解；（2）由題意得到是的真子集，根據(jù)集合間的包含關(guān)系，列出不等式組，即可求解.【小問1詳解】解：由，解得，即，當(dāng)時(shí)，可得，所以.【小問2詳解】解：由集合，因?yàn)?，且是成立的必要不充分條件，是的真子集，所以且等號(hào)不能同時(shí)成立，解得，其中當(dāng)和是滿足題意，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意得到，，再根據(jù)求解即可.（2）首先設(shè)，，再根據(jù)求解即可.【小問1詳解】由題意，，因?yàn)橛翼旤c(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，即，所以，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)，，且根據(jù)橢圓的對(duì)稱性得，聯(lián)立方程組，整理得，解得，因?yàn)榈拿娣e為3，可得，解得.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切，以及圓過定點(diǎn)列式求軌跡方程；（2）利用重心坐標(biāo)公式可知，，再設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解直線方程.【詳解】（1）由已知可得，兩式相加可得則點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，則因此曲線的方程是(2)因?yàn)?，則點(diǎn)是的重心，易得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消得：且①②由①②解得則直線的方程為即【點(diǎn)睛】本題