北京師范大學(xué)附中2024屆高二上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析

北京師范大學(xué)附中2024屆高二上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若命題“對(duì)任意，使得成立”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.2．設(shè)，，，則，，大小關(guān)系是A. B.C. D.3．若存在過(guò)點(diǎn)（0，－2）的直線(xiàn)與曲線(xiàn)和曲線(xiàn)都相切，則實(shí)數(shù)a的值是（）A.2 B.1C.0 D.－24．經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，－3)且斜率為2的直線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則（）A. B.C. D.6．，，，，設(shè)，則下列判斷中正確的是（）A. B.C. D.7．已知圓，圓相交于P，Q兩點(diǎn)，其中，分別為圓和圓的圓心.則四邊形的面積為（）A.3 B.4C.6 D.8．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作圓的切線(xiàn)分別交雙曲線(xiàn)的左、右兩支于，，且，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.9．在正方體中，與直線(xiàn)和都垂直，則直線(xiàn)與的關(guān)系是（）A.異面 B.平行C.垂直不相交 D.垂直且相交10．已知圓柱的底面半徑是1，高是2，那么該圓柱的側(cè)面積是（）A.2 B.C. D.11．在中，已知點(diǎn)在線(xiàn)段上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，則的最小值為（）A. B.4C. D.12．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若已知圖象如圖，則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在極大值點(diǎn) B.在單調(diào)遞增C.一定有最小值 D.不等式一定有解二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)__________14．已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為cm，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為_(kāi)___cm.15．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)____________.16．設(shè)拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)為M，P是C上一點(diǎn)，若|PF|＝5，則|PM|＝__.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，點(diǎn)在棱上，且直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（1）求點(diǎn)的位置；（2）求點(diǎn)到平面的距離18．（12分）已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，.（1）求數(shù)列的前8項(xiàng)和；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)積.19．（12分）某高校自主招生考試分筆試與面試兩部分，每部分考試成績(jī)只記“通過(guò)”與“不通過(guò)”，兩部分考試都“通過(guò)”者，則考試“通過(guò)”，并給予錄取.甲、乙兩人在筆試中“通過(guò)”的概率依次為，在面試中“通過(guò)”的概率依次為，筆試和面試是否“通過(guò)”是獨(dú)立的，那么（1）甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，誰(shuí)獲得錄取的可能性大？（2）甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，求恰有一人獲得錄取的概率.20．（12分）已知圓C的方程為.（1）直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)P(3，1)，傾斜角為45°，且與圓C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)；（2）求過(guò)點(diǎn)P(3，1)且與圓C相切的直線(xiàn)l2的方程.21．（12分）已知空間中三點(diǎn)，，，設(shè)，（1）求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值22．（10分）設(shè)四邊形為矩形，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，且平面，若，.（1）求與平面所成角的大小；（2）在邊上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，在內(nèi)確定一點(diǎn)，使的值最小，并求此時(shí)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題得對(duì)任意恒成立，求出的最大值即可.【詳解】解：由題得對(duì)任意恒成立，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)所以故選：A2、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性可得（3），從而得到，，的大小關(guān)系【詳解】考查函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，，（3），即，，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查了構(gòu)造法和轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題3、A【解析】在兩曲線(xiàn)上設(shè)切點(diǎn)，得到切線(xiàn)，又因?yàn)椋?，－2）在兩條切線(xiàn)上,列方程即可.【詳解】的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，若直線(xiàn)與和的切點(diǎn)分別為（，），，∴過(guò)（0，－2）的直線(xiàn)為、，則有，可得故選：A.4、A【解析】直接代入點(diǎn)斜式方程求解即可詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為2，所以直線(xiàn)的方程為，即，故選：5、D【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得的值.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可得.故選：D.6、D【解析】通過(guò)湊配構(gòu)造的方式，構(gòu)造出新式子，且可以化簡(jiǎn)為整數(shù)，然后利用放縮思想得到S的范圍.【詳解】解：，，，，，；，.故選：D7、A【解析】求得，由此求得四邊形的面積.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，所以，由、兩式相減并化簡(jiǎn)得，即直線(xiàn)的方程為，到直線(xiàn)的距離為，所以，所以四邊形的面積為.故選：A8、D【解析】直線(xiàn)的斜率為，計(jì)算，，利用余弦定理得到，化簡(jiǎn)知，得到答案【詳解】由題意知直線(xiàn)的斜率為，，又，由雙曲線(xiàn)定義知，，.由余弦定理：，，即，即，解得.故雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的方程為.故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，與圓的關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.9、B【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求出，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，根據(jù)共線(xiàn)定理即可判斷.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，則，取.，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量垂直的坐標(biāo)表示、空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量共線(xiàn)定理，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】由圓柱的側(cè)面積公式直接可得.【詳解】故選：D11、C【解析】利用三點(diǎn)共線(xiàn)可得，由，利用基本不等式即可求解.【詳解】由點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，又因?yàn)辄c(diǎn)在線(xiàn)段上，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式求最值、平面向量共線(xiàn)的推論，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】根據(jù)圖象可得的符號(hào)，從而可得的單調(diào)區(qū)間，再對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析判斷正誤得出答案.【詳解】由所給的圖象，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得在遞減，遞增；在遞減，在遞增，B錯(cuò)誤，且知，所以存在極小值和，無(wú)極大值，A錯(cuò)誤，同時(shí)無(wú)論是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定為負(fù)數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)斜式求切線(xiàn)方程.【詳解】解：因，所以，又故切線(xiàn)方程為，整理為，故答案為：14、【解析】根據(jù)題意可知圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的半圓的半徑為cm，再根據(jù)底面圓的周長(zhǎng)等于側(cè)面的弧長(zhǎng)，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)底面圓的半徑為，由于側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，又圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為cm，所以該半圓的半徑為cm，所以，所以（cm）.故答案為：.15、【解析】求導(dǎo)，求出切線(xiàn)斜率，進(jìn)而寫(xiě)出切線(xiàn)方程.【詳解】，則，故切斜方程為：，即故答案為：16、【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)及拋物線(xiàn)方程可求坐標(biāo)，進(jìn)而得解.【詳解】由拋物線(xiàn)的方程可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)，由題意可得，設(shè)，有拋物線(xiàn)的性質(zhì)可得：，解得x＝4，代入拋物線(xiàn)的方程可得，所以，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）為棱中點(diǎn)（2）【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，結(jié)合求出的值，即可得出點(diǎn)的位置；（2）利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)槠矫?，底面為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)，其中，則，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，由題意可得，整理可得，因?yàn)?，解得，因此，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知為棱中點(diǎn)，即，則，又，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，因?yàn)椋?，點(diǎn)到平面的距離為.18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，求出公比，然后由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得答案.（2）先得出通項(xiàng)公式，然后可得，由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得答案.小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，解得所以所以【小問(wèn)2詳解】19、（1）甲獲得錄取的可能性大；（2）【解析】（1）利用獨(dú)立事件的乘法公式求出甲、乙兩人被錄取的概率并比較大小，即得結(jié)果.（2）應(yīng)用對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率求法，結(jié)合互斥事件的加法公式求恰有一人獲得錄取的概率.【小問(wèn)1詳解】記“甲通過(guò)筆試”為事件，“甲通過(guò)面試”為事件，“甲獲得錄取”為事件A，“乙通過(guò)筆試”為事件，“乙通過(guò)面試”為事件，“乙獲得錄取”為事件B，則，，即，所以甲獲得錄取的可能性大.【小問(wèn)2詳解】記“甲乙兩人恰有一人獲得錄取”為事件C，則.20、（1）（2）x=3或【解析】（1）首先利用點(diǎn)斜式求出直線(xiàn)的方程，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到直線(xiàn)的距離，最后利用垂直定理、勾股定理計(jì)算可得；（2）依題意可得點(diǎn)在圓外，分直線(xiàn)的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在直線(xiàn)得到直線(xiàn)方程，但直線(xiàn)的斜率存在時(shí)設(shè)直線(xiàn)方程為，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得到方程，解得，即可得解；【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意，直線(xiàn)的方程為，即，則圓心到直線(xiàn)的距離為故；【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)在圓外，分兩種情況討論：當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程是，此時(shí)與圓C：相切，滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，即，直線(xiàn)與圓相切時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離為解得此時(shí)，直線(xiàn)的方程為，所以滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)的方程是或.21、（1）；（2）或.【解析】（1）坐標(biāo)表示出、，利用向量夾角的坐標(biāo)表示求夾角余弦值；（2）坐標(biāo)表示出k＋、k－2，利用向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求的值.【詳解】由題設(shè)，＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)（1）cosθ＝，所以和的夾角余弦值為.（2）k＋＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1,k,2)，k－2＝(k＋2,k,－4)，又(k＋)⊥(k－2)，則(k－1,k,2)·(k＋2,k,－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，解得k＝－或2.22、（1）（2）存在，距離為（3）位置答案見(jiàn)解析，【解析】（1）利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明平面，然后由線(xiàn)面角的定義得到PC與平面PAD所成的角為，在中，由邊角關(guān)系求解即可.（2）假設(shè)BC邊上存在一點(diǎn)G滿(mǎn)足題設(shè)條件，不放設(shè)，則，再根據(jù)得，進(jìn)而得答案.（3）延長(zhǎng)CB到C'，使得C'B=CB，連結(jié)C'E，過(guò)E作于E'，利用三點(diǎn)共線(xiàn)，兩線(xiàn)段和最小，得到，過(guò)H作于H'，連結(jié)HB，在中，求解HB即可.【小問(wèn)1