遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)模擬卷C（含解析）

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解析版

本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘

一、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1．已知集合、集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）。

A、B、C、D、

【答案】B

【解析】由題意可得，若，則，故選B。

2．若復(fù)數(shù)z滿足、，則的實(shí)部為（）。

A、B、C、D、

【答案】C

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)（），則，則由、可得且，

解得、，∴，其實(shí)部為，故選C。

3．已知命題：，，則為（）。

A、，B、，C、，D、，

【答案】A

【解析】∵命題：，，∴命題：，，故選A。

4．已知函數(shù)（）在內(nèi)恰有個(gè)極值點(diǎn)和個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）。

A、B、C、D、

【答案】A

【解析】，∵，∴，

又∵在內(nèi)恰有個(gè)極值點(diǎn)和個(gè)零點(diǎn)，

∴由圖像得，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A。

5．設(shè)數(shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項(xiàng)之積為，則（）。

A、B、C、D、

【答案】C

【解析】由、得：、、、……，

則數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，又，且，

∴，故選C。

6．已知點(diǎn)是平面上的任意一點(diǎn)，、、是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)滿足：

，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（）。

A、重心B、外心C、垂心D、內(nèi)心

【答案】C

【解析】由題意可知，

即，

∴，動(dòng)點(diǎn)在的高線上，動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的垂心，故選C。

7．在信息傳遞中多數(shù)是以波的形式進(jìn)行傳遞，其中必然會(huì)存在干擾信號(hào)（形如，其中，，），某種“信號(hào)凈化器”可產(chǎn)生形如的波，只需要調(diào)整參數(shù)，就可以產(chǎn)生特定的波（與干擾波波峰相同，方向相反的波）來(lái)“對(duì)抗”干擾?，F(xiàn)有波形信號(hào)的部分圖像，想要通過(guò)“信號(hào)凈化器”過(guò)濾得到標(biāo)準(zhǔn)的正弦波（標(biāo)準(zhǔn)正弦函數(shù)圖像），應(yīng)將波形凈化器的參數(shù)分別調(diào)整為（）。

A、、、

B、、、

C、、、

D、、、

【答案】B

【解析】設(shè)干擾信號(hào)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（，，），

由題圖得（為干擾信號(hào)的周期），解得，∴，

∵函數(shù)的最大值為，∴，將代入，解得，，

∵，∴，∴，

∴欲消除的波需要選擇相反的波，即，

∴、、，故選B。

8．若，其中、，則下列結(jié)論一定成立的是（）。

A、B、C、D、

【答案】D

【解析】∵，其中、，

∴，其中、，

令，定義域?yàn)?，，令，解得?/p>

當(dāng)時(shí)，，∴在內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，∴在內(nèi)單調(diào)遞增，

∴在處取得極小值，也是最小值，∴，

即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

∴（），∴（、），

令，定義域?yàn)椋?，令，解得?/p>

當(dāng)時(shí)，，∴在內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，∴在內(nèi)單調(diào)遞增，

則（、）等價(jià)于（、），

∴，即，∴，即，故選D。

二、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得分，有選錯(cuò)的得分，部分選對(duì)的得分。

9．已知向量，將向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)角得到向量（），則下列說(shuō)法正確的是（）。

A、B、

C、D、

【答案】BCD

【解析】以、為鄰邊作平行四邊形，則，即，

∴，∴A選項(xiàng)錯(cuò)，B選項(xiàng)對(duì)，

∵，∴，又∵，∴由余弦定理得：

，∴C選項(xiàng)對(duì)，

∵，∴為菱形，又∵、，∴，∴D選項(xiàng)對(duì)，

故選BCD。

10．已知數(shù)列滿足：，（），則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）。

A、數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列B、數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列

C、數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列D、數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列

【答案】BCD

【解析】當(dāng)時(shí)，∵，∴，

當(dāng)時(shí)，，

驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，符合，∴當(dāng)時(shí)，，

A選項(xiàng)，，由性質(zhì)可知是單調(diào)遞增數(shù)列，對(duì)，

B選項(xiàng)，，由性質(zhì)可知是單調(diào)遞減數(shù)列，錯(cuò)，

C選項(xiàng)，，則數(shù)列是常數(shù)列，錯(cuò)，

D選項(xiàng)，，由性質(zhì)可知是單調(diào)遞減數(shù)列，錯(cuò)，

故選BCD。

11．如圖所示，矩形所在平面與正方形所在平面互相垂直，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則

（）。

A、

B、多面體的體積為

C、若為線段的中點(diǎn)，則平面

D、點(diǎn)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，則的最小值是

【答案】ACD

【解析】如圖所示，將幾何體補(bǔ)全成棱長(zhǎng)為的正方體，在該正方體中，

∵、，∴，A選項(xiàng)對(duì)，

∵，B選項(xiàng)錯(cuò)，

當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，∵，平面，平面，∴平面，

同理平面，又，平面，平面，

∴平面平面，平面，∴平面，C選項(xiàng)對(duì)，

設(shè)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則在線段上，

記為直線與之間的距離，

∵，且平面，平面，∴平面，

即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，即長(zhǎng)度的三分之二，，

則，

經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)、都分別在線段、上，D選項(xiàng)對(duì)，

附證：平面，

∵平面，平面，∴，

又∵，，∴平面，

∵平面，∴，同理，且，

∴平面，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)等體積可知，

∴，解得，∴點(diǎn)到平面的距離為。

故選ACD。

12．對(duì)，下列命題正確的是（）。

A、B、C、D、

【答案】AB

【解析】A選項(xiàng)，令，，

∵，∴，∴，即函數(shù)單調(diào)遞增，又，∴，

∴，即，故A正確，

B選項(xiàng)，，，

，，

∵，∴，，則，在遞增，

即有，即，在遞增，即有，故B正確，

C選項(xiàng)，令，，，由，故C錯(cuò)誤，

D選項(xiàng)，令，，，，故D錯(cuò)誤，故選AB。

三、填空題：本題共小題，每小題分，共分。

13．已知平面向量、，且，則。

【答案】

【解析】由題意得，由得，

∴，∴。

14．已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)，，且關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。設(shè)方程的正數(shù)解為、、…、、…，且任意的，總存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的最小值為。

【答案】

【解析】∵為定義在上的奇函數(shù)，∴且，

又關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴，∴，

則，∴函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，

作出函數(shù)和的圖像如圖所示，

由的正數(shù)解依次為、、…、、…，

則的幾何意義為函數(shù)兩條漸近線之間的距離為，

∴，∴對(duì)于任意的，，∴，即的最小值為。

15．在銳角的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，則的取值范圍為。

【答案】

【解析】在中，，由題意及正弦定理得：，

∴，∴，

∴，又、，∴，

∴，∴，

又為銳角三角形，∴，∴，解得，

∴。

16．在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為。

【答案】

【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

∴、、、，∴，

設(shè)，則，

∵，∴，即，

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

取、、、，

連結(jié)、、、，則、，

∴、，∴四邊形為矩形，即、，

又和為平面中的兩條相交直線，∴平面，

又、，∴為的中點(diǎn)，則平面，

為使，必有點(diǎn)平面，

又點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)的軌跡為四邊形，

又，，∴，則點(diǎn)的軌跡不是正方形，

則矩形的周長(zhǎng)為。

四、解答題：本題共小題，共分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17．（本小題滿分分）已知函數(shù)。

（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且（為銳角），，，求、。

【解析】（1）

，2分

令，解得，

∴的單調(diào)增區(qū)間為，；4分

（2）在中，，

，，又，∴，6分

，∴，7分

由余弦定理得：，∴，即，

代入數(shù)值得：，即，即，解得，∴。10分

18．（本小題滿分分）已知數(shù)列中，，，且當(dāng)時(shí)，。

（1）設(shè)，試用表示，并求的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)（），求數(shù)列的前項(xiàng)和。

【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，1分

∴，∴，

∴當(dāng)時(shí)，，4分

又當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，；6分

（2）由（1）可知，

∴，9分

∴

。12分

19．（本小題滿分分）如圖所示，在中，，為上一點(diǎn)，。

（1）若為的中點(diǎn)，，求的面積；

（2）若，求的面積的最小值。

【解析】（1）∵為的中點(diǎn)，∴，

∴，2分

∵，，∴、，3分

∴，4分

由余弦定理得：，∴，5分

∴，∴；6分

（2）∵，∴，

∵，∴，8分

∴，

又，∴，10分

∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

∴，即，∴。12分

20．（本小題滿分分）如圖所示，在三棱柱中，，四邊形是菱形，，點(diǎn)在棱上，且。

（1）若，證明：平面平面。

（2）若，是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面所成角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、，∵四邊形是菱形，且，∴，

∵為的中點(diǎn)，∴，1分

∵，且為的中點(diǎn)，∴，

∵且、平面，∴平面，2分

∵平面，∴，

∵，且、平面，∴平面，3分

∵平面，∴平面平面；4分

（2）解：∵，∴，∴，

∵為的中點(diǎn)，∴，

∵四邊形是菱形，且，∴是等邊三角形，

∵是的中點(diǎn)，∴，

∵，∴，且、、兩兩垂直，

以為原點(diǎn)、、的方向分別為、、軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，6分

設(shè)，則、、、、，

∴、、、、，

∵，∴，∴，7分

設(shè)平面的法向量為，則，即，

令，則，，∴，9分

設(shè)平面的法向量為，則，即，

令，則，，∴，11分

設(shè)平面與平面所成的角為，

則，解得或，

又，∴均可取，

∴存在或，使得平面與平面所成角的余弦值是。12分

21．（本小題滿分分）已知函數(shù)（），曲線在點(diǎn)處的切線方程為

。

（1）求、的值；

（2）若、是兩個(gè)正數(shù)，且，證明：。

【解析】（1）的定義域?yàn)?，?分

∵曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

∴，即，解得、；3分

（2）由（1）可知，令，定義域?yàn)椋?/p>

∴，∴在上單調(diào)遞增，

∵、是兩個(gè)正數(shù)，且，∴，設(shè)，5分

當(dāng)時(shí)，命題顯然成立，得證，6分

當(dāng)時(shí)，令，定義域?yàn)椋?/p>

∴，

∴當(dāng)時(shí)，、，∴，∴在上單調(diào)遞增，8分

∴，即，∴，9分

∵，∴，∴，10分

∵在上單調(diào)遞增，∴，即，11分

綜上所述，。12分

22．（本小題滿分分）設(shè)且，函數(shù)，。

（1）證明：恒成立；

（2）若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

【解析】（1）證明：的定義域?yàn)?，，令，解得?分

當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，2分

當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，3分

∴在處取得極小值也是最小值，∴，∴恒成立；4分

（2）①當(dāng)時(shí)，取，則，即不符合題意，5分

②當(dāng)時(shí)，取，則，即不符合題意，6分

③當(dāng)時(shí)，由，∴，

即對(duì)恒成立，

令，，且，

∴對(duì)恒成立，8分

設(shè)，，

則，設(shè)，

則，

由（1）知，∴，

同理，由可推出，

∴，即在上單調(diào)遞增，又，

∴在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，∴成立，11分

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為。12分遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)模擬卷C

本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘

一、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1．已知集合、集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）。

A、B、C、D、

2．若復(fù)數(shù)z滿足、，則的實(shí)部為（）。

A、B、C、D、

3．已知命題：，，則為（）。

A、，B、，

C、，D、，

4．已知函數(shù)（）在內(nèi)恰有個(gè)極值點(diǎn)和個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）。

A、B、C、D、

5．設(shè)數(shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項(xiàng)之積為，則（）。

A、B、C、D、

6．已知點(diǎn)是平面上的任意一點(diǎn)，、、是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)滿足：

，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（）。

A、重心B、外心C、垂心D、內(nèi)心

7．在信息傳遞中多數(shù)是以波的形式進(jìn)行傳遞，其中必然會(huì)存在干擾信號(hào)（形如，其中，，），某種“信號(hào)凈化器”可產(chǎn)生形如的波，只需要調(diào)整參數(shù)，就可以產(chǎn)生特定的波（與干擾波波峰相同，方向相反的波）來(lái)“對(duì)抗”干擾。現(xiàn)有波形信號(hào)的部分圖像，想要通過(guò)“信號(hào)凈化器”過(guò)濾得到標(biāo)準(zhǔn)的正弦波（標(biāo)準(zhǔn)正弦函數(shù)圖像），應(yīng)將波形凈化器的參數(shù)分別調(diào)整為（）。

A、、、

B、、、

C、、、

D、、、

8．若，其中、，則下列結(jié)論一定成立的是（）。

A、B、C、D、

二、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得分，有選錯(cuò)的得分，部分選對(duì)的得分。

9．已知向量，將向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)角得到向量（），則下列說(shuō)法正確的是（）。

A、B、

C、D、

10．已知數(shù)列滿足：，（），則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）。

A、數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列B、數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列

C、數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列D、數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列

11．如圖所示，矩形所在平面與正方形所在平面互相垂直，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則

（）。

A、

B、多面體的