2024屆新教材一輪復習人教A版 　等比數(shù)列及其前n項和 課件（46張）

第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和1．等比數(shù)列的有關概念(1)定義：①文字語言：從______起，每一項與它的前一項的__都等于___一個常數(shù)．②符號語言：__________(n∈N*，q為非零常數(shù)).(2)等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么__叫做a與b的等比中項．即：G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝____(a，G，b不為零).第2項比同G

ab

2．等比數(shù)列的有關公式(1)通項公式：an＝_________(2)前n項和公式：a1qn－1

3．等比數(shù)列的性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(m，n∈N*).(2)對任意的正整數(shù)m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，則___________＝_________．特別地，若m＋n＝2p，則_______________．(3)若等比數(shù)列前n項和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比數(shù)列，即(S2m－Sm)2＝__________________(m∈N*，公比q≠－1).am·an

ap·aq

Sm(S3m－S2m)(4)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則數(shù)列{pan}(p≠0，p是常數(shù))也是____數(shù)列．(5)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為___．等比qk

1．(基礎知識：等比中項)等比數(shù)列{an}中，a4＝4，則a2·a6等于(

)A．4

B．8

C．16

D．32C2．(基本能力：等比數(shù)列的前n項和)設{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1＝1，a5＝16，則數(shù)列{an}前7項的和為(

)A．63 B．64C．127 D．128CA4．(基本能力：求等比數(shù)列的項)在3與192中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為________________.答案：12，485．(基本應用：等比數(shù)列的通項)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若Sn＝2an＋1，則an＝________________．答案：－2n－1B(2)(2020·高考全國卷Ⅲ)設等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.①求{an}的通項公式；②記Sn為數(shù)列{log3an}的前n項和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.方法總結(jié)解決等比數(shù)列有關基本能力問題的常用思想方法(1)方程思想：等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解．

[對點訓練]等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通項公式；(2)記Sn為{an}的前n項和．若Sm＝63，求m.[典例剖析]類型1定義法證明等比數(shù)列[例1]

(2019·高考全國卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.(1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}和{bn}的通項公式．類型2等比中項法判定等比數(shù)列[例2]

(1)對任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是(

)A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列 B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列 D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列DD方法總結(jié)等比數(shù)列的判斷與證明的常用方法續(xù)表續(xù)表2．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設bn＝an＋1－2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．[典例剖析]類型1等比數(shù)列項的性質(zhì)[例1]

(2021·黑龍江哈爾濱模擬)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a5a6＋a4a7＝18，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(

)A．12 B．10C．8 D．2＋log3a5B解析：因為a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·…·a10)＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.類型2等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)[例2]已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為－240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比q＝________________．答案：2類型3等比數(shù)列綜合問題[例3]

(2020·高考山東卷)已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{an}的通項公式；(2)記bm為{an}在區(qū)間(0，m](m∈N*)中的項的個數(shù)，求數(shù)列{bm}的前100項和S100.解析：(1)設{an}的公比為q.由題設得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8.解得q＝(舍去)或q＝2.由題設得a1＝2，所以{an}的通項公式為an＝2n.(2)由題設及(1)知b1＝0，且當2n≤m＜2n＋1時，bm＝n，所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480.方法總結(jié)1．在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.2．在一個無窮等比數(shù)列中，其中任何一項都是和這項項數(shù)距離相等的兩項的等比中項，即a2m＝am－k·am＋k(m，k為正整數(shù)，且m＞k).3．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，這個性質(zhì)成立的前提條件是公比不為－1.

D2．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n＝________________．解析：第一步利用等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比數(shù)列．第二步應用等比中項列出方程求解．(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，即(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6或S2n＝－4(舍去)，同理可得S4n＝30.答案：301．(2020·高考全國卷Ⅰ)設{an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋