廣東省廣州市番禺區(qū)廣東第二師范學(xué)院番禺附中2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析

廣東省廣州市番禺區(qū)廣東第二師范學(xué)院番禺附中2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．中國(guó)古代有一道數(shù)學(xué)題：“今有七人差等均錢(qián)，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，問(wèn)戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七個(gè)人分錢(qián)，所分得的錢(qián)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，甲、乙兩人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，則戊、己兩人各分得多少文錢(qián)？則下列說(shuō)法正確的是（）A.戊分得34文，己分得31文 B.戊分得31文，己分得34文C.戊分得28文，己分得25文 D.戊分得25文，己分得28文2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A. B.C. D.3．一個(gè)袋中裝有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球，3個(gè)綠色球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，下列結(jié)論正確的是（）A.第一次摸到綠球的概率是 B.第二次摸到綠球的概率是C.兩次都摸到綠球的概率是 D.兩次都摸到紅球的概率是4．在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，若，，，則（）A. B.C. D.5．在如圖所示的棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P在側(cè)面所在的平面上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①若點(diǎn)P總滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線②若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)周長(zhǎng)為的圓③若點(diǎn)P到直線AB的距離與到點(diǎn)C的距離之和為1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓④若點(diǎn)P到平面的距離與到直線CD的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線A.1 B.2C.3 D.46．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.0C.?1 D.?37．若（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．直線過(guò)點(diǎn)且與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條9．如圖，已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)、在橢圓上，四邊形是梯形，，且，則的面積為（）A. B.C. D.10．在中，若，則（）A.150° B.120°C.60° D.30°11．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則MN的中點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)О的距離為（）A. B.C.2 D.312．已知圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知方程，若此方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________；若此方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.14．長(zhǎng)方體中，，已知點(diǎn)與三點(diǎn)共線且，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_______15．已知正方體的棱長(zhǎng)為6，E為棱的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱上的點(diǎn)，且，則___________.16．一條直線經(jīng)過(guò)，并且傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則直線的方程為_(kāi)_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）如圖，在幾何體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面，，且是的中點(diǎn).（1）求證:平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知函數(shù)（1）求在點(diǎn)處的切線方程（2）求直線與曲線圍成的封閉圖形的面積21．（12分）如圖所示，圓錐的高，底面圓的半徑為，延長(zhǎng)直徑到點(diǎn)，使得，分別過(guò)點(diǎn)、作底面圓的切線，兩切線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是切線與圓的切點(diǎn)（1）證明：平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求該圓錐的體積22．（10分）已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，若右焦點(diǎn)為且離心率為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，是上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切且，，三點(diǎn)共線，求線段的長(zhǎng)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢(qián)數(shù)分別為，，，，，，，再根據(jù)題意列方程組可解得結(jié)果.【詳解】依題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢(qián)數(shù)分別為，，，，，，，則，解得，所以戊分得（文），己分得（文），故選：C.2、C【解析】由題意確定流程圖的功能，然后計(jì)算其輸出值即可.【詳解】運(yùn)行程序，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，滿足，利用裂項(xiàng)求和可得：.故選：C.【點(diǎn)睛】識(shí)別、運(yùn)行程序框圖和完善程序框圖的思路：(1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)(2)要識(shí)別、運(yùn)行程序框圖，理解框圖所解決的實(shí)際問(wèn)題(3)按照題目的要求完成解答并驗(yàn)證3、C【解析】對(duì)選項(xiàng)A，直接求出第一次摸球且摸到綠球的概率；對(duì)選項(xiàng)B，第二次摸到綠球分兩種情況，第一次摸到綠球且第二也摸到綠球和第一次摸到紅球且第二次摸到綠球；對(duì)選項(xiàng)C，直接求出第一次摸到綠球且第二也摸到綠球的概率；對(duì)選項(xiàng)D，直接求出第一次摸到紅球且第二也摸到紅球的概率【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，第一次摸到綠球的概率為：，故錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，第二次摸到綠球的概率為：，故錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，兩次都摸到綠球的概率為：，故正確；對(duì)選項(xiàng)D，兩次都摸到紅球的概率為：，故錯(cuò)誤故選：C4、B【解析】利用正弦定理，以及大邊對(duì)大角，結(jié)合正弦定理，即可求得.【詳解】根據(jù)題意，由正弦定理，可得：，解得，故可得或，由，可得，故故選：B.5、C【解析】根據(jù)線面關(guān)系、距離關(guān)系可分別對(duì)每一個(gè)命題判斷.【詳解】若點(diǎn)P總滿足，又，，，可得對(duì)角面，因此點(diǎn)P的軌跡是直線，故①正確若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)B為圓心，以1為半徑的圓（在平面內(nèi)），因此圓的周長(zhǎng)為，故②正確點(diǎn)P到直線AB的距離PB與到點(diǎn)C的距離PC之和為1，又，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段BC，因此③不正確點(diǎn)P到平面的距離（即到直線的距離）與到直線CD的距離（即到點(diǎn)C的距離）相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以線段BC的中點(diǎn)為頂點(diǎn)，直線BC為對(duì)稱軸的拋物線（在平面內(nèi)），因此④正確故有①②④三個(gè)故選:C6、B【解析】先畫(huà)出可行域，由，得，作出直線，過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中可得答案【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示，由，得，作出直線，過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故選：B7、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求出z＝a＋bi形式，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故選：A8、C【解析】根據(jù)直線的斜率存在與不存在，分類(lèi)討論，結(jié)合雙曲線的漸近線的性質(zhì)，即可求解.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)，方程為，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，若直線與兩漸近線平行，也能滿足與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).綜上可得，滿足條件的直線共有3條.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，以及雙曲線的漸近線的性質(zhì)，其中解答中忽視斜率不存在的情況是解答的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，分析可知、、三點(diǎn)共線，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，分析可知，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出的值，可得出的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，如下圖所示：因?yàn)闉椤⒌闹悬c(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，可得且，因?yàn)椋?、、三點(diǎn)共線，設(shè)、，易知點(diǎn)，，，由題意可知，，可得，若直線與軸重合，設(shè)，，則，不合乎題意；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，得，，則，可得，故，因此，.故選：A.10、C【解析】根據(jù)正弦定理將化為邊之間的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】若,則根據(jù)正弦定理得：，即,而，故，故選：C.11、A【解析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及空間中兩點(diǎn)之間的距離公式可得解.【詳解】，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，所以.故選：A12、A【解析】判斷圓與的位置并求出直線AB方程，再求圓心C到直線AB距離即可計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，，即圓與相交，直線AB方程為：，圓的圓心，半徑，點(diǎn)C到直線AB距離的距離，所以圓C上的動(dòng)點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】分別根據(jù)橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征建立不等式即可求解.【詳解】當(dāng)方程表示橢圓時(shí)，則有且，所以的取值范圍是；當(dāng)方程表示雙曲線時(shí)，則有或，所以的取值范圍是.故答案為：；14、【解析】利用坐標(biāo)法，利用向量共線及垂直的坐標(biāo)表示可求，即求.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)辄c(diǎn)與三點(diǎn)共線且，，設(shè)，即，∴，∴，∴，即，∴點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.15、18【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，所以，故答案為：1816、【解析】先求出直線傾斜角，從而可求得直線的傾斜角，則可求出直線的斜率，進(jìn)而可求出直線的方程【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的傾斜角為，所以直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)，所以直線的方程為，即，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設(shè)是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，運(yùn)用通項(xiàng)公式可得，，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；（2）求得，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和.【小問(wèn)1詳解】解：（1）設(shè)是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，由，，可得，；即有，，則，則；【小問(wèn)2詳解】解：，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為.18、（1），.（2）.【解析】（1）由已知得，，兩式相除得，由已知得，求得數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求得.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)積，所以，所以，兩式相除得，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，，所以，即，所以數(shù)列的公差為，所以，所以，【小問(wèn)2詳解】解：由（1）得，所以，，所以，所以.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)F，連接EF，，由四邊形是平行四邊形即可求解；（2）采用建系法，以為軸，為軸，垂直底面方向?yàn)檩S，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)F，連接EF，，∵，∴，且，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；【小問(wèn)2詳解】取AC的中點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，.設(shè)平面的法向量是，則，即，令，得，易知平面的一個(gè)法向量是，∴，又二面角是鈍二面角，∴二面角的余弦值為.20、（1）（2）2【解析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出切線方程；（2）首先求出兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用定積分及微積分基本定理計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋?，所以切線的斜率，切線過(guò)點(diǎn)，切線的方程為，即【小問(wèn)2詳解】解：由題知，即解得或，即或或，直線與曲線于則所求圖形的面積21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由線面垂直、切線的性質(zhì)可得、，再根據(jù)線面垂直的判定即可證結(jié)論.（2）若，構(gòu)建為原點(diǎn)，、、為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，求面、面的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示及其對(duì)應(yīng)的余弦值求R，最后由圓錐的體積公式求體積.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，底面圓，又是切線與圓的切點(diǎn)，∴底面圓，則，且，而，∴平面.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，若，可構(gòu)建為原點(diǎn)，、、為x、y、z軸