北師大版數(shù)學(xué)七年級下冊期末復(fù)習(xí)考點(diǎn)串講+題型專訓(xùn)專題05 全等三角形證明方法：倍長中線（原卷版）

專題05全等三角形證明方法——倍長中線基本模型：（1）條件：如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中線，作法：延長SKIPIF1<0至點(diǎn)E，使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.（2）條件：如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中線，作法：過點(diǎn)C作SKIPIF1<0于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點(diǎn)D，結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.（3）條件：如圖，在SKIPIF1<0中，D為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，M為SKIPIF1<0邊上任意一點(diǎn)，作法：延長SKIPIF1<0至點(diǎn)N，使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.

例題精講：例1．如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0的取值范圍為．例2．證明：直角三角形斜邊中線的長度等于斜邊的一半．如圖，D是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．例3．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中線，求證：SKIPIF1<0．例4．如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中線，E、F分別在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0求證：SKIPIF1<0．

例5．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第69頁的部分內(nèi)容：（1）【方法應(yīng)用】如圖①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0邊上的中線SKIPIF1<0長度的取值范圍是．（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)E是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分線，試猜想線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）【拓展延伸】如圖③，已知SKIPIF1<0，點(diǎn)E是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直接寫出線段SKIPIF1<0的長．

例6．SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為邊，在SKIPIF1<0右側(cè)作等邊SKIPIF1<0．如圖，E為SKIPIF1<0延長線上一點(diǎn)，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，G為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．專練過關(guān)：1．（1）如圖1，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中線，延長SKIPIF1<0至點(diǎn)E，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．①證明SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，可得x的取值范圍是；（2）如圖2，在SKIPIF1<0中，D是SKIPIF1<0邊上的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)E，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)F，連接SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．2．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點(diǎn)M，點(diǎn)D在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，F(xiàn)是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0并延長，在SKIPIF1<0的延長線上有一點(diǎn)E，連接SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數(shù)．

3．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)A在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證SKIPIF1<0，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長SKIPIF1<0到點(diǎn)F，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分別為點(diǎn)F，G．（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進(jìn)行證明．

4．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求SKIPIF1<0邊上的中線SKIPIF1<0的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長SKIPIF1<0到E，使SKIPIF1<0，請補(bǔ)充完整證明“SKIPIF1<0”的推理過程．（1）求證：SKIPIF1<0證明：∵延長SKIPIF1<0到點(diǎn)E，使SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0（已作）SKIPIF1<0（）SKIPIF1<0（中點(diǎn)定義）∴SKIPIF1<0（）（2）探究得出SKIPIF1<0的取值范圍是；【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問題解決】（3）如圖2，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．

5．（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問題：如圖1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0邊上的中線SKIPIF1<0的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長SKIPIF1<0到M，使得SKIPIF1<0；②連接SKIPIF1<0，通過三角形全等把SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化在SKIPIF1<0中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請你寫出圖2中SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，請直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

6．如圖，在SKIPIF1<0中，F(xiàn)為SKIPIF1<0中點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為底邊向外作等腰三角形SKIPIF1<0和等腰三角形SKIPIF1<0，記SKIPIF