不等式的微分法和積分法的證明

不等式的微分法和積分法的證明作者：徐輝指導(dǎo)教師：廖冬摘要：不等式是數(shù)學(xué)的重要類容之一，求解不等式的方法眾多，利用微積分理論和方法，可使不等式證法思路變的簡單，本文歸納和總結(jié)了一些證明不等式的方法和技巧，突出了微積分在不等式證明中的重要作用.關(guān)鍵詞：不等式、證明、微積分、應(yīng)用不等式是數(shù)學(xué)的重要類容之一，在解各類方程、有關(guān)函數(shù)的問題、三角證明、幾何證明等許多方面都有廣泛的應(yīng)用.在不等式的許多解法中，往往需要較高的技巧.利用高等數(shù)學(xué)中微積分思想可以使不等式的證法思路變的簡單.本文著重闡述利用高等數(shù)學(xué)中的微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性定理、極值判定定理等眾多方法解不等式的證明問題.1.微分法1.1利用微分中值定理證明不等式微分中值定理：如果函數(shù)滿足下列條件(1).在區(qū)間上連續(xù)，(2).在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使.拉格朗日中值定理適合證明函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)之間的不等式，若觀查不等式出現(xiàn)在區(qū)間上的函數(shù)值之差及的表達式，則拉格朗日中值定理是我們自然的選擇，應(yīng)用中值定理證明不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和閉區(qū)間，使在上滿足條件.例1.證明其中.證明：設(shè)，則考慮在上，連續(xù)且在可導(dǎo)，由中值定理得其中又因其中原式得證，即1.2利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)遞增（遞減）的充要條件是：（或）.可利用此定理證明不等式.例2.證明：當(dāng)時，證明：先證令則由此可知當(dāng)時，是遞減的，當(dāng)時，有即再證左邊不等式，令，則且（當(dāng)看不清的正負(fù)號時重復(fù)上述思路），由于可知所以當(dāng)時，有故時，,即所以當(dāng)時，1.3用極值的方法證明不等式在不等式的證明中，我們常常構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造好后，如果無法得到或，即當(dāng)函數(shù)不具有單調(diào)性時，可以考慮用極值的方法證明.例3.為常數(shù)，且試證明，其中.證明：設(shè)則，令當(dāng)時，有當(dāng)時，有所以函數(shù)在處具有極小值.又因為故嚴(yán)格單調(diào)遞減，（）.，即原命題得證.1.4利用函數(shù)的凹凸性證明不等式利用函數(shù)的凹凸性來證明不等式就是根據(jù)函數(shù)凹凸性定義中的不等式關(guān)系，構(gòu)造一個凸函數(shù)或凹函數(shù)來證明，由定義及判別法有：在某區(qū)間上（二階可導(dǎo)）為凸（凹）函數(shù)則有下列不等式成立.,（）由此可證明一些不等式，特別是含有兩個或兩個以上變元的.例4.證明不等式其中均為正數(shù).證明：設(shè)則可知成立.所以在時為嚴(yán)格凸函數(shù)，則有從而即有因所以1.5利用泰勒公式證明不等式當(dāng)涉及到二階或更高階導(dǎo)數(shù)的命題時，可考慮用泰勒公式證明不等式.其關(guān)鍵是選擇在恰當(dāng)?shù)奶厥恻c（一階導(dǎo)數(shù)值的點、區(qū)間端點，最值點、中間點、平均值點）展開.例5.設(shè)在上二階可導(dǎo)，,求證：證明：設(shè)在處取得最小值，所以,由費馬定理可知為極值點，由泰勒公式=其中位于與之間，所以有令則由上可知若則（2），若則則由（1），（2）可知2．積分法2.1利用積分性質(zhì)證明不等式若在區(qū)間上可積,，其中例1.證明當(dāng)時，有證明：當(dāng)時，有即即由上可知當(dāng)時有2.2利用分部積分法來證明不等式若為上的連續(xù)函數(shù)，則有定積分分部積分公式：例2.設(shè)的一階導(dǎo)數(shù)在上連續(xù)，且求證：證明：由于故由上式可知則令，則即2.3利用積分中值定理證明不等式積分第一中值定理：若在上連續(xù)，則至少存在一點，使的積分第二中值定理推論：設(shè)函數(shù)在上可積，若為單調(diào)函數(shù)，則存在，使的積分中值定理多應(yīng)用于涉及與或時使用.例3.1設(shè)為上的非負(fù)單調(diào)減的連續(xù)函數(shù)，利用積分中值定理證明：對于有下面不等式成立.證明:由題設(shè)知滿足第一積分中值定理的條件，從而因此可得又因故有成立.例3.2.設(shè)為上的連續(xù)遞增函數(shù)，則成立不等式證明：要證上述不等式成立，只要證成立即可.由于單調(diào)遞增，利用積分第二中值定理，則存在使故成立.2.4二重積分性質(zhì)法證明不等式解題思路：當(dāng)命題涉及積分且與均單調(diào)增（減）時，可利用二重積分的保序性解題.例4.設(shè)均為上的單調(diào)增的連續(xù)函數(shù)，證明：分析：命題符合上述特征，可利用二重積分的保序性，且證明：由于,同為單調(diào)增函數(shù)，令且總有由二重積分保序性有，即2于是有成立.3．微分法和積分法的結(jié)合在許多實際問題上，不等式證明的問題都涉及微分和積分的結(jié)合.例.設(shè),函數(shù)在上連續(xù)可微，證明：證明：在上連續(xù)可微，所以積分存在，且微積分在實際運用中具有較高的價值.用微積分方法證明不等式是一種有效的證明方法，上面的幾種方法是在證明不等式中常用的高等數(shù)學(xué)方法.參考文獻[1].同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.《高等數(shù)學(xué)（上冊）（第五版）》[M].北京：北京高教出版社.2005.[2].劉玉璉，劉偉主編.《數(shù)學(xué)分析講義練習(xí)題選講》[M].北京：北京高教出版社.2002.[3].費定暉，周學(xué)全主編.《數(shù)學(xué)分析習(xí)題集解集》（第一冊）[M].濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社.2001.[4].天津市數(shù)學(xué)會.不等式的證明及應(yīng)用[J].天津：天津科學(xué)技術(shù)出版社，1992：43-66.[5].李世金，陳廣義.數(shù)學(xué)分析（上冊）[M].沈陽：遼寧人民教育出版社，1984：312.[6].唐鈺其.高等數(shù)學(xué)習(xí)題課指導(dǎo)書[M].重慶：重慶大學(xué)出版社，1988：57.[7].何水明.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].武漢：中國地質(zhì)大學(xué)出版社，2003：106.[8].盛祥耀.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2003：75-76.[9].華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].上海：高等教育出版社，2001.[10].王春喜.數(shù)學(xué)教學(xué)研究[J].不等式證明常用的技巧，1995（2）.DifferentialInequalitiesandintegralmethodofproofXuHuiAbstract:Inequalityisanimportantaspectofmath,oneofmanymethodsforsolvinginequalities,usingtheoriesandmethodsofcalculuscanInequalityProofsimpleideaschanged,thisarticlesummedupandtechniquesinequality,highlightingthemicro-Atinequalitiespointstotheimportantroleofproof.Keywords:inequality,provethatcalculus,applications.目錄摘要﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(1)0引言﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(1)1微分法﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(1)1.1利用微分中值定理證明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(1)1.2利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(2)1.3用極值的方法證明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(3)1.4利用函數(shù)的凹凸性證明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(3)1.5利用泰勒公式證明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(4)2積分法﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(5)2.1利用積分性質(zhì)證明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(5)2.2利用分部積分法證明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(6)2.3利用積分中值定理證明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒