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文檔簡介
河北省涉縣一中2024屆高二數(shù)學第一學期期末調(diào)研模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,在棱長為1的正方體中,點B到直線的距離為()A. B.C. D.2.已知不等式解集為,下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.3.已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是().A.函數(shù)在上是增函數(shù)B.C.D.是函數(shù)的極小值點4.已知m是2與8的等比中項,則圓錐曲線x2﹣=1的離心率是()A.或 B.C. D.或5.《九章算術(shù)》中,將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑(nào).如圖所示的三棱錐為一鱉臑,且平面,平面,若,,,則()A. B.C. D.6.下列雙曲線中,焦點在軸上且漸近線方程為的是A. B.C. D.7.對任意實數(shù),在以下命題中,正確的個數(shù)有()①若,則;②若,則;③若,則;④若,則A. B.C. D.8.將一枚均勻的骰子先后拋擲3次,至少出現(xiàn)兩次點數(shù)為3的概率為()A. B.C. D.9.如圖1所示,拋物面天線是指由拋物面(拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面)反射器和位于其焦點上的照射器(饋源,通常采用喇叭天線)組成的單反射面型天線,廣泛應用于微波和衛(wèi)星通訊等,具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強、工作頻帶寬等特點.圖2是圖1的軸截面,,兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,是拋物線的焦點,是饋源的方向角,記為.焦點到頂點的距離與口徑的比為拋物面天線的焦徑比,它直接影響天線的效率與信噪比等.若饋源方向角滿足,則該拋物面天線的焦徑比為()A. B.C. D.210.若,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.11.已知雙曲線的左、右焦點分別為,,過作圓的切線分別交雙曲線的左、右兩支于,,且,則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.12.某學習小組研究一種衛(wèi)星接收天線(如圖①所示),發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線,在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線,經(jīng)反射聚焦到焦點處(如圖②所示).已知接收天線的口徑(直徑)為3.6m,深度為0.6m,則該拋物線的焦點到頂點的距離為()A.1.35m B.2.05mC.2.7m D.5.4m二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列滿足(),設(shè)數(shù)列滿足:,數(shù)列的前項和為,若()恒成立,則的取值范圍是________14.過點作斜率為的直線與橢圓相交于、兩個不同點,若是的中點,則該橢圓的離心率___________.15.曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為__________.16.在等比數(shù)列中,若,,則_____三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的上下兩個焦點分別為,,過點與y軸垂直的直線交橢圓C于M,N兩點,△的面積為,橢圓C的離心率為(1)求橢圓C的標準方程;(2)已知O為坐標原點,直線與y軸交于點P,與橢圓C交于A,B兩個不同的點,若存在實數(shù),使得,求m的取值范圍18.(12分)已知點,點B為直線上的動點,過B作直線的垂線,線段AB的中垂線與交于點P(1)求點P的軌跡C的方程;(2)若過點的直線l與曲線C交于M,N兩點,求面積的最小值.(O為坐標原點)19.(12分)如圖1,在邊長為4的等邊三角形ABC中,D,E,F(xiàn)分別是AB,AC,BC的中點,沿DE把折起,得到如圖2所示的四棱錐.(1)證明:平面.(2)若二面角的大小為60°,求平面與平面的夾角的大小.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面ABCD是矩形,M是PA的中點,N是BC的中點,平面ABCD,且,(1)求證:∥平面PCD;(2)求平面MBC與平面ABCD夾角的余弦值21.(12分)在△中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,,.(1)求的大小及△的面積;(2)求的值.22.(10分)某公司舉辦捐步公益活動,參與者通過捐贈每天運動步數(shù)獲得公司提供的牛奶,再將牛奶捐贈給留守兒童.此活動不但為公益事業(yè)作出了較大的貢獻,還為公司獲得了相應的廣告效益,據(jù)測算,首日參與活動人數(shù)為5000人,以后每天人數(shù)比前一天都增加15%,30天后捐步人數(shù)穩(wěn)定在第30天的水平,假設(shè)此項活動的啟動資金為20萬元,每位捐步者每天可以使公司收益0.05元(以下人數(shù)精確到1人,收益精確到1元)(1)求活動開始后第5天的捐步人數(shù),及前5天公司的捐步總收益;(2)活動開始第幾天以后公司的捐步總收益可以收回啟動資金并有盈余?
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】以為坐標原點,以為單位正交基底,建立空間直角坐標系,取,,利用向量法,根據(jù)公式即可求出答案.【詳解】以為坐標原點,以為單位正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,取,,則,,則點B到直線AC1的距離為.故選:A2、C【解析】根據(jù)不等式解集為,得方程的解為或,且,利用韋達定理即可將用表示,即可判斷各選項的正誤.【詳解】解:因為不等式解集為,所以方程的解為或,且,所以,所以,所以,故ABD錯誤;,故C正確.故選:C.3、B【解析】根據(jù)導函數(shù)的圖像,可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再根據(jù)極值點的定義逐一判斷各個選項即可得出答案.【詳解】解:根據(jù)函數(shù)的導函數(shù)的圖象,可得或時,,當或時,,所以函數(shù)在和上遞減,在和上遞增,故A錯誤;,故B正確;,故C錯誤;是函數(shù)的極大值點,故D錯誤.故選:B.4、A【解析】利用等比數(shù)列求出m,然后求解圓錐曲線的離心率即可【詳解】解:m是2與8的等比中項,可得m=±4,當m=4時,圓錐曲線為雙曲線x2﹣=1,它的離心率為:,當m=-4時,圓錐曲線x2﹣=1為橢圓,離心率:,故選:A5、A【解析】根據(jù)平面,平面求解.【詳解】因為平面,平面,所以,又,,,所以,所以,故選:A6、C【解析】焦點在軸上的是C和D,漸近線方程為,故選C考點:1.雙曲線的標準方程;2.雙曲線的簡單幾何性質(zhì)7、B【解析】直接利用不等式的基本性質(zhì)判斷.【詳解】①因為,則,根據(jù)不等式性質(zhì)得,故正確;②當時,,而,故錯誤;③因為,所以,即,故正確;④當時,,故錯誤;故選:B8、D【解析】利用次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生次的概率計算公式直接求解.【詳解】解:將一枚均勻的篩子先后拋擲3次,每次出現(xiàn)點數(shù)為3的概率都是至少出現(xiàn)兩次點數(shù)為3的概率為:故選:D9、B【解析】建立平面直角坐標系,利用題設(shè)條件得到得點坐標,代入拋物線方程化簡即可求解【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系,設(shè)拋物線的方程為()在中,則所以則所以,所以將代入拋物線方程中得所以或即或(舍)當時,故選:B10、B【解析】由題意可知且,構(gòu)造函數(shù),可得出,由函數(shù)的單調(diào)性可得出,利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值,可得出關(guān)于的不等式,由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為,則且,由已知可得,構(gòu)造函數(shù),其中,,所以,函數(shù)為上的增函數(shù),由已知,所以,,可得,構(gòu)造函數(shù),其中,則.當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減,當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增,則,所以,,解得.故選:B.11、D【解析】直線的斜率為,計算,,利用余弦定理得到,化簡知,得到答案【詳解】由題意知直線的斜率為,,又,由雙曲線定義知,,.由余弦定理:,,即,即,解得.故雙曲線漸近線的方程為.故答案選D【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線,與圓的關(guān)系,意在考查學生的綜合應用能力和計算能力.12、A【解析】根據(jù)題意先建立恰當?shù)淖鴺讼?,可設(shè)出拋物線方程,利用已知條件得出點在拋物線上,代入方程求得p值,進而求得焦點到頂點的距離.【詳解】如圖所示,在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標系xOy,使接收天線的頂點(即拋物線的頂點)與原點O重合,焦點F在x軸上設(shè)拋物線的標準方程為,由已知條件可得,點在拋物線上,所以,解得,因此,該拋物線的焦點到頂點的距離為1.35m,故選:A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】先由條件求出的通項公式,得到,由裂項相消法再求出,根據(jù)不等式恒成立求出參數(shù)的范圍即可.【詳解】當時,有當時,由①有②由①-②得:所以,當時也成立.所以,故則由,即,所以所以,由所以故答案為:【點睛】本題考查求數(shù)列的通項公式,考查裂項相消法求和以及數(shù)列不等式問題,屬于中檔題.14、【解析】利用點差法可求得的值,利用離心率公式的值.【詳解】設(shè)點、,則,由已知可得,由題意可得,將兩個等式相減得,所以,,因此,.故答案為:.15、【解析】運用導數(shù)的幾何意義進行求解即可.【詳解】由,所以,而,所以切線方程為:,令,得,令,得,所以三角形的面積為:,故答案為:16、【解析】根據(jù)等比數(shù)列下標和性質(zhì)計算可得;【詳解】解:∵在等比數(shù)列中,,∴原式故答案為:【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)或或.【解析】(1)根據(jù)已知條件,求得的方程組,解得,即可求得橢圓的方程;(2)對的取值進行分類討論,當時,根據(jù)三點共線求得,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,利用韋達定理,結(jié)合直線交橢圓兩點,代值計算即可求得結(jié)果.【小問1詳解】對橢圓,令,故可得,則,故,則,又,,故可得,則橢圓的方程為:.【小問2詳解】直線與y軸交于點P,故可得的坐標為,當時,則,由橢圓的對稱性可知:,故滿足題意;當時,因為三點共線,若存在實數(shù),使得,即,則,故可得.又直線與橢圓交于兩點,故聯(lián)立直線方程,與橢圓方程,可得:,則,即;設(shè)坐標為,則,又,即,故可得:,即,也即,代入韋達定理整理得:,即,當時,上式不成立,故可得,又,則,整理得:,解得,即或.綜上所述:的取值范圍是或或.【點睛】本題考察橢圓方程的求解,以及橢圓中范圍問題的處理;解決本題的關(guān)鍵一是要求得的取值,二是充分利用韋達定理以及直線和曲線相交,則聯(lián)立方程組后得到的一元二次方程的,屬綜合中檔題.18、(1)(2)【解析】(1)由已知可得,根據(jù)拋物線的定義可知點的軌跡是以為焦點,為準線的拋物線,即可得到軌跡方程;(2)設(shè)直線方程為,,,,,聯(lián)立直線與拋物線方程,消元、列出韋達定理,則,代入韋達定理,即可求出面積最小值;【小問1詳解】解:由已知可得,,即點到定點的距離等于到直線的距離,故點的軌跡是以為焦點,為準線的拋物線,所以點的軌跡方程為【小問2詳解】解:當直線的傾斜角為時,與曲線只有一個交點,不符合題意;當直線的傾斜角不為時,設(shè)直線方程為,,,,,由,可得,,所以,,,,所以當且僅當時取等號,即面積的最小值為;19、(1)證明見解析;(2).【解析】(1)由結(jié)合線面平行的判定即可推理作答.(2)取DE的中點M,連接,F(xiàn)M,證明平面平面,再建立空間直角坐標系,借助空間向量推理、計算作答.【小問1詳解】在中,因為E,F(xiàn)分別是AC,BC的中點,所以,則圖2中,,而平面,平面,所以平面.【小問2詳解】依題意,是正三角形,四邊形是菱形,取DE的中點M,連接,F(xiàn)M,如圖,則,,即是二面角的平面角,,取中點N,連接,則有,在中,由余弦定理得:,于是有,,即,而,,,平面,則平面,又平面,從而有平面平面,因平面平面,平面,因此,平面,過點N作,則兩兩垂直,以點N為原點,射線分別為x,y,z軸非負半軸建立空間直角坐標系,則,,,,,,,設(shè)平面的法向量,則,令,得,設(shè)平面的法向量,則,令,得,顯然有,即,所以平面與平面的夾角為.【點睛】方法點睛:利用向量法求二面角:(1)找法向量,分別求出兩個半平面所在平面的法向量,然后求得法向量的夾角,結(jié)合圖形得到二面角的大小;(2)找與交線垂直的直線的方向向量,分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與交線垂直且以垂足為起點的直線的方向向量,則這兩個向量的夾角就是二面角的平面角20、(1)詳見解析;(2)【解析】(1)取PD的中點E,連接ME,CE,易證四邊形是平行四邊形,得到,再利用線面平行的判定定理證明;(2)建立空間直角坐標系,求得平面MBC的一個法向量,易知平面ABCD的一個法向量為:,由求解.【小問1詳解】證明:如圖所示:取PD的中點E,連接ME,CE,因為底面ABCD是矩形,M是PA的中點,N是BC的中點,所以,所以四邊形是平行四邊形,所以,又平面PCD,平面PCD,所以∥平面PCD;【小問2詳解】建立如圖所示空間直角坐標系:則,所以,設(shè)平面MBC的一個法向量為,則,即,令,得,易知平面ABCD的一個法向量為:,所以,所以平面MBC與平面ABCD的夾角的余弦值為.21、(1),△的面積為;(2).【解析】(1)應用余弦定理求的大小,由三角形面積公式求△的面積;(2)由(1)及正弦定理的邊角關(guān)系可得,即可求目標式的
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