河北省涉縣一 中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

河北省涉縣一中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)B到直線的距離為（）A. B.C. D.2．已知不等式解集為，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）.A.函數(shù)在上是增函數(shù)B.C.D.是函數(shù)的極小值點(diǎn)4．已知m是2與8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線x2﹣＝1的離心率是（）A.或 B.C. D.或5．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑（nào）．如圖所示的三棱錐為一鱉臑，且平面，平面，若，，，則（）A. B.C. D.6．下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是A. B.C. D.7．對任意實(shí)數(shù)，在以下命題中，正確的個(gè)數(shù)有（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A. B.C. D.8．將一枚均勻的骰子先后拋擲3次，至少出現(xiàn)兩次點(diǎn)數(shù)為3的概率為（）A. B.C. D.9．如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于其焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn).圖2是圖1的軸截面，，兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，是拋物線的焦點(diǎn)，是饋源的方向角，記為.焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離與口徑的比為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等.若饋源方向角滿足，則該拋物面天線的焦徑比為（）A. B.C. D.210．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作圓的切線分別交雙曲線的左、右兩支于，，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.12．某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（）A.1.35m B.2.05mC.2.7m D.5.4m二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足（），設(shè)數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若（）恒成立，則的取值范圍是________14．過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于、兩個(gè)不同點(diǎn)，若是的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率___________.15．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為__________.16．在等比數(shù)列中，若，，則_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)與y軸垂直的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，△的面積為，橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓C交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求m的取值范圍18．（12分）已知點(diǎn)，點(diǎn)B為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過B作直線的垂線，線段AB的中垂線與交于點(diǎn)P（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）若過點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求面積的最小值．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）19．（12分）如圖1，在邊長為4的等邊三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，沿DE把折起，得到如圖2所示的四棱錐.（1）證明：平面.（2）若二面角的大小為60°，求平面與平面的夾角的大小.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，M是PA的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，平面ABCD，且，（1）求證：∥平面PCD；（2）求平面MBC與平面ABCD夾角的余弦值21．（12分）在△中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，.（1）求的大小及△的面積；（2）求的值.22．（10分）某公司舉辦捐步公益活動(dòng)，參與者通過捐贈(zèng)每天運(yùn)動(dòng)步數(shù)獲得公司提供的牛奶，再將牛奶捐贈(zèng)給留守兒童．此活動(dòng)不但為公益事業(yè)作出了較大的貢獻(xiàn)，還為公司獲得了相應(yīng)的廣告效益，據(jù)測算，首日參與活動(dòng)人數(shù)為5000人，以后每天人數(shù)比前一天都增加15%，30天后捐步人數(shù)穩(wěn)定在第30天的水平，假設(shè)此項(xiàng)活動(dòng)的啟動(dòng)資金為20萬元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人數(shù)精確到1人，收益精確到1元）（1）求活動(dòng)開始后第5天的捐步人數(shù)，及前5天公司的捐步總收益；（2）活動(dòng)開始第幾天以后公司的捐步總收益可以收回啟動(dòng)資金并有盈余？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，取，，利用向量法，根據(jù)公式即可求出答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，取，，則，，則點(diǎn)B到直線AC1的距離為.故選：A2、C【解析】根據(jù)不等式解集為，得方程的解為或，且，利用韋達(dá)定理即可將用表示，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】解：因?yàn)椴坏仁浇饧癁?，所以方程的解為或，且，所以，所以，所以，故ABD錯(cuò)誤；，故C正確.故選：C.3、B【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖像，可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值點(diǎn)的定義逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，可得或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以函數(shù)在和上遞減，在和上遞增，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：B.4、A【解析】利用等比數(shù)列求出m，然后求解圓錐曲線的離心率即可【詳解】解：m是2與8的等比中項(xiàng)，可得m＝±4，當(dāng)m=4時(shí),圓錐曲線為雙曲線x2﹣＝1,它的離心率為：,當(dāng)m=-4時(shí)，圓錐曲線x2﹣＝1為橢圓，離心率：，故選：A5、A【解析】根據(jù)平面，平面求解.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，，所?所以，故選：A6、C【解析】焦點(diǎn)在軸上的是C和D，漸近線方程為，故選C考點(diǎn)：1．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)7、B【解析】直接利用不等式的基本性質(zhì)判斷.【詳解】①因?yàn)椋瑒t，根據(jù)不等式性質(zhì)得，故正確；②當(dāng)時(shí)，，而，故錯(cuò)誤；③因?yàn)?，所以，即，故正確；④當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；故選：B8、D【解析】利用次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生次的概率計(jì)算公式直接求解.【詳解】解：將一枚均勻的篩子先后拋擲3次，每次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3的概率都是至少出現(xiàn)兩次點(diǎn)數(shù)為3的概率為：故選：D9、B【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用題設(shè)條件得到得點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程化簡即可求解【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為（）在中，則所以則所以，所以將代入拋物線方程中得所以或即或（舍）當(dāng)時(shí)，故選：B10、B【解析】由題意可知且，構(gòu)造函數(shù)，可得出，由函數(shù)的單調(diào)性可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，可得出關(guān)于的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則且，由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由已知，所以，，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，所以，，解得.故選：B.11、D【解析】直線的斜率為，計(jì)算，，利用余弦定理得到，化簡知，得到答案【詳解】由題意知直線的斜率為，，又，由雙曲線定義知，，.由余弦定理：，，即，即，解得.故雙曲線漸近線的方程為.故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線，與圓的關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.12、A【解析】根據(jù)題意先建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，可設(shè)出拋物線方程，利用已知條件得出點(diǎn)在拋物線上，代入方程求得p值，進(jìn)而求得焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離.【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標(biāo)系xOy，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)O重合，焦點(diǎn)F在x軸上設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知條件可得，點(diǎn)在拋物線上，所以，解得，因此，該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為1.35m，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先由條件求出的通項(xiàng)公式，得到，由裂項(xiàng)相消法再求出，根據(jù)不等式恒成立求出參數(shù)的范圍即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，由①有②由①－②得：所以，當(dāng)時(shí)也成立.所以,故則由，即，所以所以，由所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求和以及數(shù)列不等式問題，屬于中檔題.14、【解析】利用點(diǎn)差法可求得的值，利用離心率公式的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)、，則，由已知可得，由題意可得，將兩個(gè)等式相減得，所以，，因此，.故答案為：.15、【解析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以，而，所以切線方程為：，令，得，令，得，所以三角形的面積為：，故答案為：16、【解析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：∵在等比數(shù)列中，，∴原式故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或或.【解析】（1）根據(jù)已知條件，求得的方程組，解得，即可求得橢圓的方程；（2）對的取值進(jìn)行分類討論，當(dāng)時(shí)，根據(jù)三點(diǎn)共線求得，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線交橢圓兩點(diǎn)，代值計(jì)算即可求得結(jié)果.【小問1詳解】對橢圓，令，故可得，則，故，則，又，，故可得，則橢圓的方程為：.【小問2詳解】直線與y軸交于點(diǎn)P，故可得的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，則，由橢圓的對稱性可知：，故滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，若存在實(shí)數(shù)，使得，即，則，故可得.又直線與橢圓交于兩點(diǎn)，故聯(lián)立直線方程，與橢圓方程，可得：，則，即；設(shè)坐標(biāo)為，則，又，即，故可得：，即，也即，代入韋達(dá)定理整理得：，即，當(dāng)時(shí)，上式不成立，故可得，又，則，整理得：，解得，即或.綜上所述：的取值范圍是或或.【點(diǎn)睛】本題考察橢圓方程的求解，以及橢圓中范圍問題的處理；解決本題的關(guān)鍵一是要求得的取值，二是充分利用韋達(dá)定理以及直線和曲線相交，則聯(lián)立方程組后得到的一元二次方程的，屬綜合中檔題.18、（1）（2）【解析】（1）由已知可得，根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，即可得到軌跡方程；（2）設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，則，代入韋達(dá)定理，即可求出面積最小值；【小問1詳解】解：由已知可得，，即點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到直線的距離，故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以點(diǎn)的軌跡方程為【小問2詳解】解：當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)直線的傾斜角不為時(shí)，設(shè)直線方程為，，，，，由，可得，，所以，，，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即面積的最小值為；19、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)由結(jié)合線面平行的判定即可推理作答.(2)取DE的中點(diǎn)M，連接，F(xiàn)M，證明平面平面，再建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量推理、計(jì)算作答.【小問1詳解】在中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以，則圖2中，，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】依題意，是正三角形，四邊形是菱形，取DE的中點(diǎn)M，連接，F(xiàn)M，如圖，則，，即是二面角的平面角，，取中點(diǎn)N，連接，則有，在中，由余弦定理得：，于是有，，即，而，，，平面，則平面，又平面，從而有平面平面，因平面平面，平面，因此，平面，過點(diǎn)N作，則兩兩垂直，以點(diǎn)N為原點(diǎn)，射線分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，顯然有，即，所以平面與平面的夾角為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用向量法求二面角：(1)找法向量，分別求出兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夾角，結(jié)合圖形得到二面角的大?。?2)找與交線垂直的直線的方向向量，分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與交線垂直且以垂足為起點(diǎn)的直線的方向向量，則這兩個(gè)向量的夾角就是二面角的平面角20、（1）詳見解析；（2）【解析】（1）取PD的中點(diǎn)E，連接ME，CE，易證四邊形是平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面MBC的一個(gè)法向量，易知平面ABCD的一個(gè)法向量為：，由求解.【小問1詳解】證明：如圖所示：取PD的中點(diǎn)E，連接ME，CE，因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，M是PA的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面PCD，平面PCD，所以∥平面PCD；【小問2詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)平面MBC的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，易知平面ABCD的一個(gè)法向量為：，所以，所以平面MBC與平面ABCD的夾角的余弦值為.21、（1），△的面積為；（2）.【解析】（1）應(yīng)用余弦定理求的大小，由三角形面積公式求△的面積；（2）由（1）及正弦定理的邊角關(guān)系可得，即可求目標(biāo)式的