河南省安陽市第三十五中學 2024屆高二數(shù)學第一學期期末達標檢測模擬試題含解析

河南省安陽市第三十五中學2024屆高二數(shù)學第一學期期末達標檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某一電子集成塊有三個元件a，b，c并聯(lián)構成，三個元件是否有故障相互獨立．已知至少1個元件正常工作，該集成塊就能正常運行．若每個元件能正常工作的概率均為，則在該集成塊能夠正常工作的情況下，有且僅有一個元件出現(xiàn)故障的概率為（）A. B.C. D.2．直線的一個方向向量為，則它的斜率為（）A. B.C. D.3．已知橢圓的右焦點和右頂點分別為F，A，離心率為，且，則n的值為（）A.4 B.3C.2 D.4．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，若，且，則的長為（）A. B.C. D.5．已知某地區(qū)7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，從中隨機選一人，則此人恰是色盲的概率是（）A.0.01245 B.0.05786C.0.02865 D.0.037456．已知，為雙曲線：的焦點，為，（其中為雙曲線半焦距），與雙曲線的交點，且有，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．已知兩條異面直線的方向向量分別是，，則這兩條異面直線所成的角滿足（）A. B.C. D.8．有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為A. B.C. D.9．數(shù)列，，，，…的一個通項公式為（）A. B.C. D.10．已知，為雙曲線的左，右頂點，點P在雙曲線C上，為等腰三角形，且頂角為，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.11．下列事件：①連續(xù)兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現(xiàn)2點；②某人買彩票中獎；③從集合中任取兩個不同元素，它們的和大于2；④在標準大氣壓下，水加熱到90℃時會沸騰.其中是隨機事件的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.412．函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正四棱錐底面邊長和高均為分別是其所在棱的中點，則棱臺的體積為___________.14．過拋物線的焦點且斜率為的直線交拋物線于A，兩點，，則的值為__________15．函數(shù)極值點的個數(shù)是______16．在等比數(shù)列中，若，，則_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓F：經過點且離心率為，直線和是分別過橢圓F的左、右焦點的兩條動直線，它們與橢圓分別相交于點A、B和C、D，O為坐標原點，直線AB和直線CD相交于M．記直線的斜率分別為，且（1）求橢圓F的標準方程（2）是否存在定點P，Q，使得為定值．若存在，請求出P、Q的坐標，若不存在，請說明理由18．（12分）在直角坐標系中，點到兩點、的距離之和等于，設點的軌跡為，直線與交于、兩點（1）求曲線的方程；（2）若，求的值19．（12分）已知數(shù)列滿足，數(shù)列為等差數(shù)列，，前4項和.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求和：.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，.（1）求證：平面PAC；（2）已知點M是線段PD上的一點，且，當三棱錐的體積為1時，求實數(shù)的值.21．（12分）已知；.（1）若為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若為假命題，為真命題，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，四棱錐中，是邊長為2的正三角形，底面為菱形，且平面平面，，為上一點，滿足.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個元件出現(xiàn)故障，進而結合對立事件的概率公式得，再根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】解：記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個元件出現(xiàn)故障，則為該集成塊不能正常工作，所以，，所以故選：A2、A【解析】根據(jù)的方向向量求得斜率.【詳解】且是直線的方向向量，.故選：A3、B【解析】根據(jù)橢圓方程及其性質有，求解即可.【詳解】由題設，，整理得，可得.故選：B4、D【解析】由向量線性運算得，利用數(shù)量積的定義和運算律可求得，由此可求得.【詳解】由題意得：，，且，又，，，，.故選：D.5、D【解析】設出事件，利用全概率公式進行求解.【詳解】用事件A，B分別表示隨機選1人為男性或女性，用事件C表示此人恰是色盲，則，且A，B互斥，故故選：D6、B【解析】根據(jù)求得的關系，結合雙曲線的定義以及勾股定理，即可求得的等量關系，再求離心率即可.【詳解】根據(jù)題意，連接，作圖如下：顯然為直角三角形，又，又點在雙曲線上，故可得，解得，由勾股定理可得：，即，即，，故雙曲線的離心率為.故選：B.7、D【解析】利用向量夾角余弦公式直接求解【詳解】解：兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角滿足：，，故選：D8、A【解析】每個同學參加的情形都有3種，故兩個同學參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A9、B【解析】根據(jù)給定數(shù)列，結合選項提供通項公式，將n代入驗證法判斷是否為通項公式.【詳解】A：時，排除；B：數(shù)列，，，，…滿足.C：時，排除；D：時，排除；故選：B10、A【解析】根據(jù)給定條件求出點P的坐標，再代入雙曲線方程計算作答.【詳解】由雙曲線對稱性不妨令點P在第一象限，過P作軸于B，如圖，因為等腰三角形，且頂角為，則有，，有，于是得，即點，因此，，解得，所以雙曲線C的離心率為.故選：A11、B【解析】因為隨機事件指的是在一定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，只需逐一判斷4個事件哪一個符合這種情況即可【詳解】解：連續(xù)兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現(xiàn)2點這一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，①是隨機事件某人買彩票中獎這一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，②是隨機事件從集合，2，中任取兩個元素，它們的和必大于2，③是必然事件在標準大氣壓下，水加熱到時才會沸騰，④是不可能事件故隨機事件有2個，故選：B12、A【解析】利用導數(shù)判斷函數(shù)單調遞增，然后進行求解.【詳解】對函數(shù)進行求導：，因為，，所以，因為，所以f(x)是奇函數(shù),所以在R上單調遞增，又因為，所以的解集為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分別計算，，作差得到答案.【詳解】分別是其所在棱的中點，則正四棱錐底面邊長和高均為，，，故.故答案為：.14、2【解析】求出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系可，，由拋物線的定義可知，，，即可得到【詳解】解：拋物線的焦點，，準線方程為，設，，，，則直線的方程為，代入可得，，，由拋物線的定義可知，，，，解得故答案為：215、0【解析】通過導數(shù)判斷函數(shù)的單調性即可得極值點的情況.【詳解】因為，，所以在上恒成立，所以在上單調遞增，所以函數(shù)的極值點的個數(shù)是0，故答案為：0.16、【解析】根據(jù)等比數(shù)列下標和性質計算可得；【詳解】解：∵在等比數(shù)列中，，∴原式故答案為：【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質的應用，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在點，使得為定值.【解析】（1）設，，，結合條件即求；（2）由題可設直線方程，利用韋達定理法可得，再結合條件可得點的軌跡方程為，然后利用橢圓的定義即得結論.【小問1詳解】設，，，橢圓方程為：，橢圓過點，，解得t=1，所以橢圓F的方程是【小問2詳解】由題可得焦點的坐標分別為，當直線AB或CD的斜率不存在時，點M的坐標為或，當直線AB和CD的斜率都存在時，設斜率分別為，點，直線AB為，聯(lián)立，得則，，同理可得，，因為，所以，化簡得由題意，知，所以設點，則，所以，化簡得，當直線或的斜率不存在時，點M的坐標為或，也滿足此方程所以點在橢圓上，根據(jù)橢圓定義可知，存在定點，使得為定值【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用韋達定理法及題設條件求出點M的軌跡方程，再結合橢圓的定義，從而問題得到解決.18、（1）；（2）.【解析】（1）本題可根據(jù)橢圓的定義求出點的軌跡；（2）本題首先可設、，然后聯(lián)立橢圓與直線方程，通過韋達定理得出、，最后通過得出，代入、的值并計算，即可得出結果.【詳解】（1）因為點到兩點、的距離之和等于，所以結合橢圓定義易知，點的軌跡是以點、為焦點且的橢圓，則，，，點的軌跡.（2）設，，聯(lián)立，整理得，則，，因為，所以，即，整理得，則，整理得，解得.【點睛】關鍵點點睛：本題考查根據(jù)橢圓定義求動點軌跡以及直線與拋物線相關問題的求解，橢圓的定義為動點到兩個定點的距離為一個固定的常數(shù)，考查韋達定理的應用，考查計算能力，是難題.19、（1），；（2）.【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，結合等差數(shù)列的基本量，即可容易求得數(shù)列，的通項公式；（2）根據(jù)（1）中所求，構造數(shù)列，證明其為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項和即可求得結果.【小問1詳解】因為數(shù)列滿足，故可得數(shù)列為等比數(shù)列，且公比，則；數(shù)列為等差數(shù)列，，前4項和，設其公差為，故可得，解得，則；綜上所述，，.【小問2詳解】由（1）可知：，，故，又，又，則是首項1，公比為的等比數(shù)列；則.20、（1）證明見解析（2）3【解析】（1）證明出，且，從而證明出線面垂直；（2）先用椎體體積公式求出，利用體積之比得到線段之比，從而得到的值.【小問1詳解】證明：∵平面ABCD，且平面ABCD，∴.又因為，且，∴四邊形ABCD為直角梯形.又因為，，易得，，∴，∴.又因為AC，PA是平面PAC的兩條相交直線，∴平面PAC.【小問2詳解】由（1）知且，∴.又∵平面ABCD，.又∵，∴，∴點M到平面ABC的距離為，∴，∴.21、（1）；（2）.【解析】解不等式求得為真、為真分別對應的解集；（1）由為真可得全真，兩解集取交集可得結果；（2）由和的真假性可得一真一假，則分為真假和假真兩種情況求得解集.【小問1詳解】若為真，則，即，即，所以或，若為真，則，所以，因為為真命題，所以均為真命題.所以實數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】若為假命題，為真命題，則一真一假，若真假，則，解得或，若假真，則，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設為中點，連接，根據(jù)，證明平面得到答案.（2）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，計算各點坐標，計算平面和平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式計