河南省花洲實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

河南省花洲實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線l經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且平行于直線，則直線l的方程為（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列滿足，且，那么（）A. B.C. D.3．已知A，B，C，D是同一球面上的四個(gè)點(diǎn)，其中是正三角形，平面，，則該球的表面積為（）A. B.C. D.4．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去找老師詢問成語競(jìng)賽的成績(jī).老師說：你們四人中有位優(yōu)秀，位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說：我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)以上信息，則（）A.乙、丁可以知道自己的成績(jī) B.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)C.乙可以知道四人的成績(jī) D.丁可以知道四人的成績(jī)5．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用（萬元）4235銷售額（萬元）49263954根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為A.63.6萬元 B.65.5萬元C.67.7萬元 D.72.0萬元6．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于點(diǎn)M，N，若四邊形的面積為且，則C的離心率為（）A. B.C. D.7．已知直線與平行，則的值為（）A. B.C. D.8．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A. B.C. D.9．已知向量為平面的法向量，點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B.C. D.10．將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，則直線到原點(diǎn)的距離不超過1的概率是（）A. B.C. D.11．已知直線，若圓C的圓心在軸上，且圓C與直線都相切，求圓C的半徑（）A. B.C.或 D.12．若橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是__________.14．已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回，在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為________.15．設(shè)變量x，y滿足約束條件則的最大值為___________.16．在正方體中，則直線與平面所成角的正弦值為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，，平面，，分別為棱，的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，，二面角的大小為，求三棱錐的體積.18．（12分）在①，；②，；③，.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中.問題：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在橢圓上.過點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn).（1）求該橢圓的方程；（2）若點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，記直線PA，PM，PB的斜率分別為，，.求證：，，成等差數(shù)列.20．（12分）已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，求的面積21．（12分）如圖長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值.22．（10分）已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知曲線上一點(diǎn)，動(dòng)圓，且點(diǎn)在圓外，過點(diǎn)作圓的兩條切線分別交曲線于點(diǎn)，.（i）求證：直線的斜率為定值；（ii）若直線與交于點(diǎn)，且時(shí)，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】聯(lián)立已知兩條直線方程求出交點(diǎn)，再根據(jù)兩直線平行則斜率相同求出斜率即可.【詳解】由得兩直線交點(diǎn)為(－1，0)，直線l斜率與相同，為，則直線l方程為y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.故選：B.2、D【解析】由遞推公式得到，，，再結(jié)合已知即可求解.【詳解】解：由，得，，又，那么故選：D3、C【解析】由題意畫出幾何體的圖形，把、、、擴(kuò)展為三棱柱，上下底面中心連線的中點(diǎn)與的距離為球的半徑，由此能求出球的表面積【詳解】把、、、擴(kuò)展為三棱柱，上下底面中心連線的中點(diǎn)與的距離為球的半徑，，，是正三角形，，，球的表面積為故選：C4、A【解析】分析可知乙、丙的成績(jī)中必有位優(yōu)秀、位良好，結(jié)合題意進(jìn)行推導(dǎo)，可得出結(jié)論.【詳解】由于個(gè)人中的成績(jī)中有位優(yōu)秀，位良好，甲知道乙、丙的成績(jī)，還是不知道自己的成績(jī)，則乙、丙的成績(jī)必有位優(yōu)秀、位良好，甲、丁的成績(jī)中必有位優(yōu)秀、位良好，因?yàn)榻o乙看丙的成績(jī)，則乙必然知道自己的成績(jī)，丁知道甲的成績(jī)后，必然知道自己的成績(jī).故選：A.5、B【解析】，∵數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上，回歸方程中的為9.4，∴42=9．4×3．5+a，∴=9．1，∴線性回歸方程是y=9．4x+9．1，∴廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為9．4×6+9．1=65．5考點(diǎn)：線性回歸方程6、A【解析】根據(jù)題意可知四邊形為平行四邊形，設(shè)，進(jìn)而得，根據(jù)四邊形面積求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再代入橢圓方程得出關(guān)于e的方程，解方程即可.【詳解】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由橢圓的對(duì)稱性得四邊形為平行四邊形，設(shè)點(diǎn)，由，得，因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e為，所以，得，由，得，解得，所以，即點(diǎn)，代入橢圓方程，得，整理得，由，得，解得，由，得.故選：A7、C【解析】由兩直線平行可得，即可求出答案.【詳解】直線與平行故選：C.8、A【解析】根據(jù)離心率求出的值，再根據(jù)漸近線方程求解即可.【詳解】因雙曲線焦點(diǎn)在軸上，所以漸近線方程為：，又因?yàn)殡p曲線離心率為，且，所以，解得，即漸近線方程為：.故選：A.9、A【解析】先求出向量，再利用空間向量中點(diǎn)到平面的距離公式即可求解.【詳解】解：由題知，點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外，所以又向量為平面的法向量所以點(diǎn)到平面的距離為：故選：A.10、C【解析】先由條件得出a，b滿足，得出滿足的基本事件數(shù)，再求出總的基本事件數(shù)，從而可得答案.【詳解】直線到原點(diǎn)的距離不超過1，則所以當(dāng)時(shí)，可以為5，6當(dāng)時(shí)，可以為4，5，6當(dāng)時(shí)，可以為4，5，6當(dāng)時(shí)，可以為2，3，4，5，6當(dāng)時(shí)，可以為1，2，3，4，5，6當(dāng)時(shí)，可以為1，2，3，4，5，6滿足的共有25種結(jié)果.將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，共有種結(jié)果所以滿足條件的概率為故選：C11、C【解析】設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓心到直線的距離相等列方程，求得圓心坐標(biāo)并求得圓的半徑.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，則或，所以圓的半徑為或.故選：C12、B【解析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得出的值，進(jìn)而可求得橢圓的離心率.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由已知可得，可得，因此，該橢圓的離心率為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】利用拋物線的定義結(jié)合圖形即得.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線的方程為，過點(diǎn)作，垂足為，則，所以的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.14、.【解析】設(shè)事件：第1次抽到代數(shù)題，事件：第2次抽到幾何題，求得,結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，從5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出不再放回，設(shè)事件：第1次抽到代數(shù)題，事件：第2次抽到幾何題，則，，所以在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為:.故答案為：.15、【解析】根據(jù)線性約束條件畫出可行域，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)直線在軸上截距最大時(shí)即可求出答案.【詳解】畫出可行域，如圖，由，得，由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，有最大值，且最大值為.故答案為：.16、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為1，所以，，，，因此，，，設(shè)平面的法向量為：，所以有：，令，所以，因此，設(shè)與的夾角為，直線與平面所成角為，所以有，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)即證；（2）利用坐標(biāo)法，結(jié)合條件可求，然后利用體積公式即求.【小問1詳解】，是的中點(diǎn)，，平面，平面，，又，平面，平面，；【小問2詳解】，，，取的中點(diǎn)，連接，則，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得，∵二面角的大小為，，解得，，則三棱錐的體積.18、（1）（2）【解析】（1）選①，利用化已知等式為，得是等差數(shù)列，公差，求出其通項(xiàng)公式后，再由求得通項(xiàng)公式，注意；選②，由可變形已知條件得是等差數(shù)列，從而求得通項(xiàng)公式；選③，已知式兩邊同除以，得出，以下同選①；（2）由錯(cuò)位相減法求和【小問1詳解】選①，由得，，所以，即，所以是等差數(shù)列，公差，又，，，所以，，時(shí)，也適合所以；選②，由得，所以等差數(shù)列，公差為，又，所以；選③，由得，以下同選①，【小問2詳解】由（1），，，兩式相減得，所以19、（1）;（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓上的點(diǎn)，利用橢圓的定義求出a，再由關(guān)系求b，即可得解；（2）分直線斜率存在與不存在兩種情況討論，利用斜率公式計(jì)算出，根據(jù)等差中項(xiàng)計(jì)算，即可證明成等差數(shù)列.【小問1詳解】∵橢圓的焦距，橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，又點(diǎn)在橢圓上，，即.該橢圓方程為.【小問2詳解】設(shè).當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，其方程為，代入，可得.不妨取，則，成等差數(shù)列.當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)其方程為，由，消去x得.即，成等差數(shù)列，綜上可得，，成等差數(shù)列.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)焦半徑公式可求，從而可求拋物線的方程.（2）求出的長(zhǎng)度后可求的面積.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，故拋物線方程為：.【小問2詳解】設(shè)，且，由可得，故或，故，故，故，而到直線的距離為，故的面積為21、（1）見解析（2）見解析（3）【解析】（1）作輔助線，由中位線定理證明，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）連接，由勾股定理證明，，再結(jié)合線面垂直的判定定理證明即可；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求面面角的余弦值即可.【詳解】（1）連接交與點(diǎn)，連接四邊形為正方形，點(diǎn)為的中點(diǎn)又點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面，平面平面（2）連接由勾股定理可知，，則同理可證，平面平面（3）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系顯然平面的法向量即為平面的法向量，不妨設(shè)為由（2）可知平面，即平面的法向量為又二面角是鈍角二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在第一問中，關(guān)鍵是利用中位線定理找到線線平行，再由定義證明線面平行；在第二問中，關(guān)鍵是利用勾股定理證明線線垂直，從而得出線面垂直；在第三問中，關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，利用向量法求面面角的余弦值.22、（1）（2）（i）答案見解析（ii）或【解析】（1）通過幾何關(guān)系可知，且,由此可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線，通過雙曲線的定義即可求解；（2）（i）設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理及求出，即得到直線的斜率為定值；（ii）由（i）可知，由已知可得，聯(lián)立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得