新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用4導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則4.1導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則4.2導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則分層作業(yè)北師大版選擇性必修第二冊

4.1導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則~4.2導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則A級必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[2023江西高二校聯(lián)考期中]衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率,曲線的曲率定義如下:若f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),f″(x)是f'(x)的導(dǎo)函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x,f(x))處的曲率K=|f″(x)|(1+(f'(x))2)32.A.31000 B.3100 C.302.函數(shù)f(x)=xcosx-sinx的導(dǎo)函數(shù)是()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù),又不是偶函數(shù)3.(多選題)[2023安徽合肥工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)聯(lián)考期中]下列選項(xiàng)正確的是()A.y=ln2,則y'=1B.f(x)=1x2,則f'(3)C.(x3ex)'=3x2ex+x3exD.2sinxx4.(多選題)[2023河南南陽高二統(tǒng)考期中]若f(x)=cosx+2xf'π6,則(A.f'π6=-12 B.C.f'π3=1-32 D.f'π3=5.已知函數(shù)f(x)=f'π4cosx+sinx,則fπ4的值為.

6.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)f(x)=(1+sinx)(1-4x);(2)f(x)=xx+1-2x(x≠(3)y=x·tanx.B級關(guān)鍵能力提升練7.設(shè)曲線f(x)=x+1x-1在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax+y+1=0垂直,則aA.2 B.12 C.-12 D.8.(多選題)[2023廣東廣州花都圓玄中學(xué)?？计谥衇已知函數(shù)f(x)=x+4x+2,則(A.f(x)的值域?yàn)閇6,+∞)B.直線3x+y+6=0是曲線y=f(x)的一條切線C.f(x-1)圖象的對稱中心為(1,2)D.方程f2(x)-5f(x)-14=0有三個(gè)實(shí)數(shù)根9.如圖,y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù),直線l:y=kx+2是曲線y=f(x)在x=3處的切線,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù),則g'(3)-3f'(3)=()A.1 B.0 C.2 D.410.(多選題)若存在過點(diǎn)O(0,0)的直線l與曲線f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,則a的值可以是()A.1 B.164 C.132 D.11.(多選題)[2023江蘇連云港高二?？计谀關(guān)于切線,下列結(jié)論正確的是()A.過點(diǎn)-12,32且與圓x2+y2=1相切的直線方程為x-B.過點(diǎn)(1,2)且與拋物線y2=4x相切的直線方程為x-y+1=0C.過點(diǎn)(0,-1)且與曲線f(x)=xlnx相切的直線l的方程為x-y+1=0D.曲線y=2x-1x+2在點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程為12.曲線y=lnx+1在點(diǎn)(1,1)處的切線也為y=ex+a的切線,則a=.

13.如圖所示的圖象中,有一個(gè)是函數(shù)f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象,則這個(gè)圖象的序號是,f(-1)=14.已知函數(shù)y=x2lnx.(1)求這個(gè)函數(shù)的圖象在x=1處的切線方程;(2)若過點(diǎn)(0,0)的直線l與這個(gè)函數(shù)圖象相切,求l的方程.15.偶函數(shù)f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的圖象過點(diǎn)P(0,1),且在x=1處的切線方程為y=x-2,求f(x)的解析式.C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.(1)若函數(shù)f(x)=(x-2019)(x-2020)(x-2021)(x-2022),則f'(2021)=()A.-2 B.-1C.0 D.1(2)設(shè)函數(shù)y=f″(x)是y=f'(x)的導(dǎo)數(shù),經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn),任意一個(gè)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖象都有對稱中心(x0,f(x0)),其中x0滿足f″(x0)=0,已知函數(shù)f(x)=2x3-3x2+9x-72,則f12022+f22022+f32022+…+f2021A.2021 B.2021C.2022 D.4021

參考答案§4導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則4.1導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則~4.2導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則1.D因?yàn)閒(x)=3lnx,所以f'(x)=3x,f″(x)=-3所以f'(1)=3,f″(1)=-3,所以K=|f″(1)|故選D.2.Bf'(x)=(xcosx)'-(sinx)'=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.令F(x)=-xsinx,x∈R,則F(-x)=xsin(-x)=-xsinx=F(x),∴f'(x)是偶函數(shù).3.BC對于A,y=ln2,則y'=0,故A錯(cuò)誤;對于B,f(x)=1x2=x-2,則f'(x)=-2x3,f'(3)=-227對于C,(x3ex)'=(x3)'·ex+x3·(ex)'=3x2ex+x3ex,故C正確;對于D,2sinxx2'=(2sinx故選BC.4.BC由f(x)=cosx+2xf'π6可得f'(x)=-sinx+2f'π令x=π6,則f'π6=-sinπ6+2解得f'π6=sinπ6=12,故所以f'(x)=-sinx+1,令x=π3,則f'π3=-sinπ3+1=-32+1,故C正確,D不正確5.1∵f'(x)=-f'π4sinx+cosx,∴f'π4=-f'π4×22+2解得f'π4=2-1,∴f(x)=(2-1)cosx+sinx,∴fπ4=1.6.解(1)f'(x)=(1+sinx)'(1-4x)+(1+sinx)(1-4x)'=cosx(1-4x)-4(1+sinx)=cosx-4xcosx-4-4sinx.(2)f(x)=xx+1-2x=1-1x+1則f'(x)=1(x+1)2-2xln2((3)y'=(x·tanx)'=xsin=(=(=sinx7.D∵f(x)=x+1x-1=∴f'(x)=-2(x-1)2(x≠1),∴-a×-12=-1,即a=-2.8.BCD對A,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x+4x+2≥2x·4x+2=4+2=6,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號成立,當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x+4x+2≤-2-x·4-x+2=-4+2=-對B,令f'(x)=1-4x2=-3,得x=±1,當(dāng)x=1時(shí),f(1)=7,所以圖象在點(diǎn)(1,7)處的切線方程是y-7=-3(x-1),得3x+y-10=0,當(dāng)x=-1時(shí),f(-1)=-3,所以圖象在點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程是y+3=-3(x+1),得3x+y+6=0,故B對C,y=x+4x的對稱中心是(0,0),所以f(x)=x+4x+2的對稱中心是(0,2),向右平移1個(gè)單位得f(x-1),對稱中心是(1,2),故C對D,f2(x)-5f(x)-14=0,解得f(x)=-2或f(x)=7,若x+4x+2=-2,則(x+2)2=0,解得x=-2,有1個(gè)實(shí)數(shù)根,若x+4x+2=7,解得x=1或x=4,有2個(gè)實(shí)數(shù)根,所以共有3個(gè)實(shí)數(shù)根,故D正確.故選9.A將點(diǎn)(3,1)代入直線y=kx+2的方程,可得3k+2=1,解得k=-13,所以f'(3)=k=-13,由于點(diǎn)(3,1)在函數(shù)y=f(x)的圖象上,則f(3)=1,對函數(shù)g(x)=xf(x)求導(dǎo)可得g'(x)=f(x)+xf'(x),∴g'(3)-3f'(3)=f(3)=1.故選10.AB因?yàn)辄c(diǎn)(0,0)在直線l上,當(dāng)O(0,0)為f(x)的切點(diǎn)時(shí),因?yàn)閒'(x)=3x2-6x+2,則f'(0)=2,所以直線l的方程為y=2x,又直線l與y=x2+a相切,所以x2+a-2x=0滿足Δ=4-4a=0,解得a=1;當(dāng)O(0,0)不是f(x)的切點(diǎn)時(shí),設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x02+2x0則f'(x0)=3x02-6x0所以x03-3x02+2x解得x0=32,所以f'32=-14所以直線l的方程為y=-14由y=-14x,y由題意得Δ=116-4a=0,所以a=1綜上得a=1或a=16411.ABD對于A,點(diǎn)-12,32在圓x2+y2=1上,設(shè)切線斜率為k,則32-0-12-0×k=-1,所以k=33對于B,設(shè)切線斜率為k(k≠0),切線方程為y-2=k(x-1),與y2=4x聯(lián)立,得k4y2-y+2-k=0,則Δ=1-4×k4×(2-k)=0,解得k=1,所以切線方程為y-2=1×(x-1),即x-y+1=0,B對于C,對f(x)=xlnx求導(dǎo)得f'(x)=lnx+1,設(shè)切點(diǎn)為(x0,x0lnx0),切線斜率k=lnx0+1,則lnx0+1=x0lnx0+1x0-0,解得x0=1,切點(diǎn)為(1,0),斜率k=1,所以切線方程為對于D,對y=2x-1x+2求導(dǎo)得y'=5(x+2)2,點(diǎn)(-1,-3)處的切線的斜率k=5(-1+2)2=5,切線方程為y+3=12.-1由y=lnx+1求導(dǎo)可得y'=1x,則曲線y=lnx+1在(1,1)處的切線斜率為1,切線方程為y=x設(shè)直線y=x與曲線y=ex+a相切于點(diǎn)(t,et+a),由y=ex+a求導(dǎo)得y'=ex,于是得et=1,et+13.③-13∵f'(x)=x2+2ax+a2-∴f'(x)的圖象開口向上,排除圖象②④;又a≠0,∴f'(x)不是偶函數(shù),其圖象不關(guān)于y軸對稱,故f'(x)的圖象的序號為③.由圖象特征可知,f'(0)=0,∴a2-1=0,且圖象的對稱軸x=-a>0,∴a=-1,∴f(x)=13x3-x2+則f(-1)=-1314.解(1)令y=f(x),則f(x)=x2lnx,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=2xlnx+x,所以f'(1)=2ln1+1=1.又因?yàn)閒(1)=0,所以函數(shù)在x=1處的切線方程為y=x-1.(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,x02lnx由(1)知,f'(x0)=2x0lnx0+x0,又因?yàn)橹本€l的斜率為kl=x02lnx0x有2x0lnx0+x0=x0lnx0,解得x0=e-1,所以kl=x0lnx0=-e-1,所以直線l的方程為y=-1e15.解∵f(x)的圖象過點(diǎn)P(0,1),∴e=1.又f(x)為偶函數(shù),∴f(x)=f(-x).故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.∴b=0,d=0.∴f(x)=ax4+cx2+1.∵函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程為y=x-2,∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1).∴a+c+1=-1.∵f'(1)=4a+2c,∴4a+2c=1.∴a=52,c=-9∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=52x4-92x2+16.(1)A(2)B(1)令g(x)=(x-2019)(x-2020)(x-2022),則f(x)=(x-2021)·g(x),f'(x)=1·