關于數(shù)學的教學問題

關于數(shù)學的教學問題

1數(shù)學學科知識與數(shù)學法則的理解眾所周知，教育質(zhì)量的重要性關鍵是教師能夠通過教師實現(xiàn)各種教育目標，并通過教師實施新的教育理念?？梢哉f，好教師是優(yōu)質(zhì)教育的重要保障。然而，我們不能忽視有“好教師”的說法。蜀曼將教師教育所需的專業(yè)知識分為七類：學科知識、教育內(nèi)容知識和課程知識。在這七種知識中，教師的學科知識占有重要地位。事實上，教師的學科知識是教育研究的一個非常重要的領域。在數(shù)學方面，以往的討論主要有兩個方向。其中之一是對教師在數(shù)學方面理解數(shù)學概念的研究。例如，教師對數(shù)學概念的理解，如傾斜、面積、剛度和函數(shù)等數(shù)學概念的理解，如文2.5所示。另一方面，對教師如何理解數(shù)學的規(guī)則。例如，研究教師對正直、語法和算術(shù)的理解，以及對排法和除法的理解（見文6.8）。然而，數(shù)學的概念和規(guī)則只是數(shù)學知識的一部分。讓學生理解數(shù)學的概念和規(guī)則以及教師在數(shù)學教育中的實踐知識是學校數(shù)學教育的重要組成部分。因此，在研究教師的學科知識時，不僅要研究教師對概念和概念的理解，還要探討數(shù)學教師在解決數(shù)學問題時形成的實踐知識。許多研究（如文[9.11]）指出，在解決數(shù)學問題時，不僅需要掌握數(shù)學的概念、定義和規(guī)則的清晰知識，而且需要扎實的語言和策略知識。在過去，這項研究的重點是對數(shù)學概念和規(guī)則的理解。這是一個明確的提議知識，也就是說，“知道是什么”是一種容易描述的知識，而問題解決中形成的實踐知識是“知道如何做”。這是學科知識的一個新維度。那么，什么樣的學習和解決學習中的各種問題？。2學習方法2.1不同師資合作學校我們選擇了吉林省長春市3所不同水平的學校,每所學校都選擇數(shù)學教師3名,共9名進行了訪談.用T-a-b表示不同教師,其中a代表學校,用1、2、3分別代表市較好學校、區(qū)較好學校、普通學校;b代表教師,用1、2、3分別代表第一位教師、第二位教師、第三位教師.例如,T-3-2就是表示普通學校的第3位教師.2.2研究對象的學習經(jīng)歷我們利用一道幾何題去引發(fā)研究對象的學科知識.試題如下:如圖1所示,PA是⊙O的切線,A為切點,割線PBC交⊙O于B、C兩點,D為AB的中點,連PD并延長交AC于E,請用幾種不同的方法證明AE:EC=PA2:PC2.在讀過題目之后,還未開始解題之前,研究者會問:看過這個題目之后,您有哪些想法?會考慮從哪些方面入手解決這個問題?在研究對象解決了這個問題之后,研究者會問:您以前是否見過和這道題類似的問題?這道題目中有哪些您熟悉的東西?通過這些訪談,進一步引發(fā)研究對象頭腦中已有的和解題有關的知識.此外研究者還通過訪談了解了教師與問題解決教學有關的經(jīng)驗.例如,在提高學生數(shù)學問題解決能力上您有哪些個人經(jīng)驗?您是怎樣選擇習題的?等等.3數(shù)學學科知識通過訪談和分析,我們發(fā)現(xiàn)了不同類型的數(shù)學學科知識,這其中不僅有明確的命題知識,也有使用命題知識解決問題的實踐經(jīng)驗、策略知識和問題圖式.以圖2加以描述.3.1基于切割線定理的問題數(shù)學概念、定理等明確的命題知識是理解數(shù)學問題的基礎,也是問題解決過程中的基本工具.以本研究中的問題為例,教師要理解所要解決的這個問題,首先要理解切線、割線、延長線等數(shù)學概念,這是解決這個題目所必須具備的基礎知識.除此之外,也要掌握解題所需的相關定理.在本研究中,在看到所要證明的比例式有平方項以后,被試教師都很自然地首先想到利用切割線定理,將PA2=PB﹒PC代進欲證的等式AE:EC=PA2:PC2中,將其化簡為AE:EC=PB:PC.這樣就簡化了所要證明的等式,將其轉(zhuǎn)化成了證明4條線段成比例的問題.在解決這個問題的過程中,切割線定理是解決這個問題所必須使用的基本工具,無論解題者最終使用什么方法,都必須首先利用切割線定理將欲證的等式化簡,這是解決這個問題的第一個必要環(huán)節(jié).本研究中的所有教師都具備這些明確的命題知識.特別的是,除了切割線定理,有教師(T-1-1)還知道另一個與這個題目有密切關系的命題知識——梅內(nèi)勞斯定理,而這是本研究中的其它教師所沒有的.在進一步的與教師T-1-1的訪談中發(fā)現(xiàn),它與該定理有關的知識是豐富的.教師T-1-1知道與梅內(nèi)勞斯定理有聯(lián)系的變式題,從梅內(nèi)勞斯定理的角度來看,教材中的這道習題及其變式與本研究中的問題本質(zhì)上是相同的,都是梅內(nèi)勞斯定理的一種特例,從這個角度可以更深入地了解這些題目間的本質(zhì)的聯(lián)系.3.2t-1-3時期的求解策略前面提到,利用切割線定理進行化簡后,原來的問題簡化為4條線段成比例的問題.在初中數(shù)學中,證明4條線段成比例是一類比較常見的題目.解題者在解決過與比例線段有關的問題之后,就會積累一些如何處理這類問題的知識與經(jīng)驗,歸納總結(jié)出解決這類題目的一些常用方法,為解決新問題奠定一定的基礎,從解題思路與解題方向上來看,不同的教師有不同的解題計劃,也就是策略知識.例如,受訪教師T-1-3說:“遇到線段成比例有兩種方法:一種是相似,三角形相似能出現(xiàn)比例的情況.還有平行線,利用平行線等分線段定理能夠出現(xiàn)比例的情況.”除教師T-1-3之外,其它的教師都想到要通過證明平行或兩個三角形相似兩種方式來達到證明4條線段成比例的目的,也就是說證明平行或兩個三角形相似是這些教師證明這個問題的兩個主要的策略與努力方向.此外,教師T-1-1還有利用面積法解決4條線段成比例問題的經(jīng)驗,因此,在初步確定這道題目的解題思路時,除了相似和平行,教師T-1-1還考慮到使用面積方法,反映出教師T-1-1具有更豐富的解題策略,這為問題的解決積累了更為廣闊的知識基礎.在訪談之后的正式的問題解決過程中,也只有教師T-1-1嘗試使用面積方法.另外,在證相似或平行這種宏觀解題策略的指引下,由于通過平行不能直接得到比例線段,所以教師T-2-1、教師T-3-1、教師T-1-2、教師T-2-2和教師T-2-3都考慮通過證明兩個三角形相似來達到目的,在問題解決過程中嘗試著將所要求證的4條線段放在兩個可能相似的三角形中.總之,無論是通過面積,還是通過平行或相似,這些解題策略對解題過程都具有直接的指導作用,是解題者解決問題過程中思考的方向,策略知識是數(shù)學教師所具有的一種重要的學科知識.3.3a型或x型基本圖形的基本圖形在嘗試用平行或兩個三角形相似來直接證明4條線段成比例失敗后,大部分教師的解題一度陷入了困境,很多被試教師們開始了長時間的思考.在這個過程中,被試教師大都重新回顧題目中的已知條件,慢慢將注意力集中在了“D為AB的中點”這個條件上.對于這個條件有的教師產(chǎn)生了疑惑.教師T-3-2說:“不知道怎樣才能利用上D是中點這個條件”.而有的教師則由“D為AB的中點”這個條件得到啟發(fā),從中發(fā)現(xiàn)了自己熟悉的基本圖形,并通過構(gòu)造這個基本圖形而獲得了繼續(xù)前進的新線索.有5位教師(教師T-1-1、教師T-2-1、教師T-2-2、教師T-3-2和教師T-1-3)由D是AB的中點想到要構(gòu)造X型的基本圖形來達到線段的等量代換(如圖3).還有2位教師(教師T-3-1和教師T-3-3)也能夠解決這個問題,在他們的解法中也有A型或X型的基本圖形,但這兩位教師并沒有關注過這種基本圖形,他們不是從要利用A型或X型的基本圖形的性質(zhì)這一角度來考慮這個問題的.以下便是教師T-2-2的思考過程.教師:欲證AE:EC=PB:PC,首先要充分利用D是AB中點這個條件,要得到AE:EC=PB:PC要有平行或者相似,但平行或者相似現(xiàn)在都得不到,那么想到用轉(zhuǎn)移的思想,是否AE能轉(zhuǎn)移和其它線段相等?因為給出D是中點這個條件,利用這個條件做一個過B點和AC平行的直線交PD于F點.研究者:怎么想到要這樣做呢?教師:過B點做和AC平行的這條直線(所形成的這個圖形)非常常用.在證明中這象一個大寫的英文字母X,在相似中專門有這種類型題,叫X型.上面的思路和解法是很多教師所采用的方法,對這些教師而言這是最自然的一種方法.不過,還可以通過構(gòu)造A型的基本圖形來達到換項的目的.總結(jié)起來,本研究中的被試教師有如下的構(gòu)造基本圖形的方法:這些證法主要是過A點或B點作平行線構(gòu)造A型或X型的基本圖形,利用A型或X型中的中位線或全等產(chǎn)生相等線段,由等量代換來證明4條線段成比例.復雜的幾何圖形也都是由一些簡單的基本圖形構(gòu)成的,因此,掌握了解一些基本圖形的性質(zhì)與特征對于解決復雜的幾何問題是有幫助的.在本研究中我們發(fā)現(xiàn),在解決幾何問題的過程中,當教師面對一個復雜的幾何圖形的時候,往往會從這個復雜圖形中發(fā)現(xiàn)某些自己所熟悉的基本圖形,從而將一個復雜的幾何圖形變成了幾個基本圖形的組合.這些基本圖形就是一種問題圖式.教師頭腦中的這些問題圖式對他們的問題解決有很大的影響.解題者往往從這些問題圖式出發(fā),將自己所熟悉的這些基本圖形的性質(zhì)作為另一種已知,將它與題目中原來的已知條件直接結(jié)合起來使用,對于這些問題圖式的熟悉與掌握使解題者能很快了解題目中所蘊涵的中間結(jié)論,有助于解題者尋找解題的途徑.總之,通過分析該研究中的被試教師的解題過程,我們發(fā)現(xiàn)教師具有各種不同的與解題有關的學科知識.在這個過程中,教師不僅使用切割線定理、梅內(nèi)勞斯定理這樣明確的數(shù)學知識,而且也使用與解決4條線段成比例問題有關的策略知識,如通過證相似、平行或者面積方法可以達到證明4條線段成比例的目的.除此之外,在尋找解題思路的過程中,解題者所熟悉的A型和X型基本圖形的問題圖式也起了重要的作用.總的來講,本研究中的數(shù)學教師有著豐富的學科知識.4教師首先必須具備一定的問題解決的實踐知識教師學科知識的研究由來已久,從20世紀60年代至今始終是人們所關注的一個問題,但這些研究并不全面,特別是對于數(shù)學教師的學科知識的研究,很少有人探討教師的問題解決的實踐知識這一重要維度.在數(shù)學教育中,讓學生學會解決問題是一個非常具有數(shù)學學科特色的教學目的與任務,正如Polya所說“數(shù)學中知道怎樣解題更重要,比只擁有知識重要得多”.而要達到這個目的,教師自身問題解決的實踐知識是至關重要的.我們的研究發(fā)現(xiàn),在某些情況下教師所擁有的命題知識沒有太大差別,但教師所擁有的問題解決實踐知識卻有很大差別.在研究的訪談中我們了解到,在實際的教學中,教師并不是讓學生盲目地大量解題搞題海戰(zhàn)術(shù),教師往往通過精心選擇布置彼此聯(lián)系的題組、彼此有區(qū)別的系列變式題目來突顯某類問題的特點與方法,使學生在實際的問題情境中通過問題解決的過程親身體會、總結(jié)題目的這些特點和方法,從而促進自身的實踐知識的形成.這就要求教師必須具備一定的問題解決的實踐知識,教師的問題解決的實踐知識的豐富與否直接影響學生所練習的數(shù)學問題的質(zhì)量,進而影響教學的成效.另外,在教學中教師不僅要讓學生親自參與問題解決的活動,而且教師要指導學生的解題活動.正如訪談中的教師所指出的,教師需要在與學生共同的解題活動中明確指出這道題目具有指導意義的典型特征,從而提高問題解決的實踐活動的效率,促進學生問題解決的實踐知