數(shù)學(xué)分析知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（定積分）

本文格式為Word版，下載可任意編輯——數(shù)學(xué)分析知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（定積分）第一篇分析基礎(chǔ)1.1收斂序列

（收斂序列的定義）

定義：設(shè){xn}是實(shí)數(shù)序列，a是實(shí)數(shù)，假使對(duì)任意??0都存在自然數(shù)N，使得只要n?N，就有

xn?a??

那么{xn}收斂，且以a為極限，稱(chēng)為序列{xn}收斂收斂于a，記為

limxn?a或者xn?a(n???)

定理1：假使序列{xn}有極限，那么它的極限是唯一的。

定理2（夾逼原理）：設(shè){xn}，{yn}和{zn}都是實(shí)數(shù)序列，滿(mǎn)足條件

xn?yn?zn,?n?N

假使limxn?limzn?a，那么{yn}也是收斂序列，且有

limyn?a

定理3：設(shè){xn}是實(shí)數(shù)序列，a是實(shí)數(shù)，則以下三陳述等價(jià)

（1）序列{xn}以a為極限；（2）{xn?a}是無(wú)窮小序列；（3）存在無(wú)窮小序列{an}使得

xn?a?an,（收斂序列性質(zhì)）

定理4：收斂序列{xn}是有界的。定理5：

n?1,2,?.

（1）設(shè)limxn?a，則limxn?a。

（2）設(shè)limxn?a，limyn?b，則lim(xn?yn)?a?b。（3）設(shè)limxn?a，limyn?b，則lim(xnyn)?ab。

（4）設(shè)xn?0，limxn?a?0，則lim11?。xnaynlimynb??。xnlimxna（5）設(shè)xn?0，limxn?a?0，limyn?b，則lim（收斂序列與不等式）

定理6：假使limxn?limyn，那么存在N0?N，使得n?N0時(shí)有

xn?yn

定理7：假使{xn}和{yn}都是收斂序列，且滿(mǎn)足

xn?yn,那么

?n?N0,

limxn?limyn

1.2收斂原理

（單調(diào)序列定義）

定義：（１）若實(shí)數(shù)序列{xn}滿(mǎn)足

xn?xn?1,?n?N,

則稱(chēng){xn}是遞增的或者單調(diào)上升的，記為

{xn}?.

（２）若實(shí)數(shù)序列{yn}滿(mǎn)足

yn?yn?1,?n?N,

則稱(chēng){yn}是遞減的或者單調(diào)下降的，記為

{yn}?

（３）單調(diào)上升的序列和單調(diào)下降的序列統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)序列。

定理１：遞增序列{xn}收斂的充分必要條件是它有上界，其上確界記為sup{xn}。定理1推論：遞減序列{yn}收斂的充分必要條件是它有下界，其下確界記為inf{xn}。擴(kuò)展：由于一個(gè)序列的收斂性及其極限值都只與這序列的尾部（即從某一項(xiàng)之后的項(xiàng)）有關(guān)，所以定理1和它的推論中單調(diào)性條件可以虛弱為“從某一項(xiàng)之后單調(diào)〞，即為

xn?xn?1,及

?n?N0,

yn?yn?1,（自然對(duì)數(shù)的底e）

自然對(duì)數(shù)的底e通過(guò)下面這個(gè)式子求得

?n?N0,

?1?e?lim?1??

n????n??1?我們先來(lái)證明序列xn??1??是收斂的。

?n??1?（1）序列xn??1??是單調(diào)上升的。

?n?nnn11112?1?xn??1???1?1?(1?)?(1?)(1?)2!n3!nn?n?112k?1???(1?)(1?)?(1?)

k!nnn112n?1???(1?)(1?)?(1?)n!nnn1??xn?1??1???n?1?11112(1?)?(1?)(1?)2!n?13!n?1n?1112k?1???(1?)(1?)?(1?)k!n?1n?1n?1112n?1???(1?)(1?)?(1?)n!n?1n?1n?1112n?(1?)(1?)?(1?)(n?1)!n?1n?1n?1?1?1?n?1n對(duì)比xn和xn?1的展開(kāi)式，xn?1前面n?1項(xiàng)的每一項(xiàng)都比xn中相應(yīng)項(xiàng)要大，即

112k?1112k?1(1?)(1?)?(1?)?(1?)(1?)?(1?)k!n?1n?1n?1k!nnn除此之外xn?1還比xn在最終多一個(gè)正項(xiàng)。因此我們得出xn是單調(diào)上升的，即

xn?xn?1,?n?N,

?1?（2）序列xn??1??是有上界的。

?n?n11112n?1?1?xn??1???1?1?(1?)???(1?)(1?)?(1?)n2!nn!nnn??111?1?1??2???n

222?1?1???12?1????1??3111?1?22?1?序列xn??1??是單調(diào)上升且有上界，因此必是收斂的，此收斂值用e表示。通過(guò)計(jì)算機(jī)

?n?模擬，我們可以得到e的近似值，前幾位是2.718281828459045…

在數(shù)學(xué)中，以e為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為自然對(duì)數(shù)，e稱(chēng)為自然對(duì)數(shù)的底，正實(shí)數(shù)x的自然對(duì)數(shù)尋常記為lnx，logx或者logex。

nnn（閉區(qū)間套原理）

定理2（閉區(qū)間套原理）：假使實(shí)數(shù)序列?an?和?bn?（或閉區(qū)間序列?an,bn?）滿(mǎn)足條件（1）?an,bn???an?1,bn?1?（或者an?1?an?bn?bn?1,（2）lim?bn?an??0那么

（i）閉區(qū)間序列?an,bn?形成一個(gè)閉區(qū)間套。（ii）實(shí)數(shù)序列?an?和?bn?收斂于一致的極限值c。

???n?1）

??liman?limbn?c

（iii）c是滿(mǎn)足以下條件的唯一實(shí)數(shù)值。

an?c?bn,?n?N

證明：

（ii）由條件（1）可得

an?1?an?bn?bn?1???b1

我們可以看到?an?單調(diào)上升而有上界，?bn?單調(diào)下降而有下界，因此?an?和?bn?都是收斂序列。由條件（2）可得limbn?liman?lim?bn?an??0，因此實(shí)數(shù)序列?an?和?bn?收斂于一致的極限值。

liman?limbn?c

（iii）由于

c?sup?an??inf?bn?

所以顯然有

an?c?b