高考復(fù)習(xí)2數(shù)學(xué)課件

第二節(jié)一元二次不等式及其解法

（1）不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集為R的充要條件是什么？提示:（2）不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)對一切x∈R恒成立的充要條件是什么？提示:（3）不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集為

的充要條件是什么？提示:1.不等式x2>x的解集是（）(A)(-∞,0)(B)(0,1)(C)(1,+∞)(D)(-∞,0)∪(1,+∞)【解析】選D.由x2>x得x（x-1）>0，所以解集為(-∞,0)∪(1,+∞).2.若a＜0,則關(guān)于x的不等式x2-4ax-5a2＞0的解集是（）（A）（-∞,-a)∪（5a,+∞)（B）（-∞,5a)∪（-a,+∞)（C）(5a,-a)（D）(a,-5a)【解析】選B.由x2-4ax-5a2＞0得（x-5a）(x+a)＞0，∵a＜0,∴x＜5a或x＞-a.3.已知函數(shù)則不等式f(x)≥x2的解集是（）（A）［-1,1］（B）［-2,2］（C）［-2,1］（D）［-1,2］【解析】選A.因?yàn)閒(x)≥x2，所以或則或則或即-1≤x≤0或0<x≤1，所以-1≤x≤1.4.不等式ax2+4x+a>1-2x2對一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____．【解析】不等式ax2+4x+a>1-2x2對一切x∈R恒成立,即(a+2)x2+4x+a-1>0對一切x∈R恒成立.若a+2=0,顯然不成立；若a+2≠0，則或a>2a>2答案:（2，+∞）5.若關(guān)于x的不等式的解集是{x|0＜x＜2}，則實(shí)數(shù)m的值是______.【解析】由得x2-4x+2mx＜0即x［x-(4-2m)］＜0,∵不等式的解集為{x|0＜x＜2},∴4-2m=2,∴m=1.答案:1解一元二次不等式注意的問題：（1）在解一元二次不等式時，一般要先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；（2）二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時，參數(shù)的符號影響不等式的解集；不要忘了二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的情況.（3）一元二次不等式恒成立問題要注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號；（4）一元二次不等式的解集的端點(diǎn)與相應(yīng)的一元二次方程的根及相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；（5）解含參數(shù)的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對根的大小進(jìn)行分類討論；若不能因式分解，則可對判別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏.

一元二次不等式的解法【例1】已知函數(shù)解不等式f(x)>3．【審題指導(dǎo)】對x分x≥0、x<0進(jìn)行討論，從而把f(x)>3變成兩個不等式組.【自主解答】因?yàn)樗詅(x)>3或或或x>1所以原不等式的解集為{x|x>1}.【規(guī)律方法】解一元二次不等式的一般步驟（1）對不等式變形，使一端為0且二次項(xiàng)系數(shù)大于0；（2）計(jì)算相應(yīng)的判別式；（3）當(dāng)Δ≥0時，求出相應(yīng)的一元二次方程的根；（4）根據(jù)對應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集.提醒：也可以這樣解一元二次不等式，首先將二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再看能否因式分解，若能，則可得方程的兩根，且大于號取兩邊，小于號取中間；若不能，當(dāng)Δ≥0時，利用求根公式求解方程的根，而后寫出解集.【互動探究】若題中函數(shù)解析式不變，不等式變?yōu)閒(x)<3x+2，又該如何求解？【解析】【變式訓(xùn)練】解下列不等式：(1)2x2-2x+3<0;(2)-3x2-2x+8≤0;(3)10x-1≥25x2.【解析】（1）∵Δ=(-2)2-4×2×3=-20<0,∴方程2x2-2x+3=0沒有實(shí)根，∴2x2-2x+3<0的解集為；（2）原不等式等價(jià)于3x2+2x-8≥0(x+2)(3x-4)≥0x≤-2或故不等式的解集為{x|x≤-2或}.（3）原不等式等價(jià)于25x2-10x+1≤0(5x-1)2≤0,∴只有當(dāng)5x-1=0，即時，不等式成立.故不等式的解集為{x|}.

含參數(shù)的不等式的解法【例2】解關(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a≤0.【審題指導(dǎo)】x2-(a+1)x+a≤0可化為(x-a)(x-1)≤0,要對a與1的大小進(jìn)行分類討論.【自主解答】原不等式可化為(x-a)(x-1)≤0.(1)當(dāng)a＞1時，1≤x≤a，(2)當(dāng)a=1時，x=1，(3)當(dāng)a＜1時，a≤x≤1.【規(guī)律方法】解答分類討論問題的方法和步驟：（1）確定討論對象；（2）確定分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類，不重不漏；（3）對所分類逐步進(jìn)行討論，分級進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；（4）歸納總結(jié)，綜合得出結(jié)論.【變式訓(xùn)練】解關(guān)于x的不等式(1-ax)2<1【解析】由(1-ax)2<1得a2x2-2ax+1<1,即ax(ax-2)<0.（1）當(dāng)a=0時，不等式轉(zhuǎn)化為0<0，故x無解.（2）當(dāng)a<0時，不等式轉(zhuǎn)化為x(ax-2)>0,即x()<0.∴不等式的解集為{x|<x<0}.(3)當(dāng)a>0時，原不等式可化為x(ax-2)<0,又>0,∴原不等式的解集為{x|0<x<}.綜上所述，當(dāng)a=0時，原不等式的解集為；當(dāng)a<0時，原不等式的解集為{x|<x<0};當(dāng)a>0時，原不等式的解集為{x|0<x<}.

一元二次不等式恒成立問題【例】已知函數(shù)f(x)=mx2-mx-1,（1）若對于x∈R,f(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若對于x∈［1,3］,f(x)<5-m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；【審題指導(dǎo)】（1）需對m的取值分m=0、m≠0進(jìn)行討論；（2）轉(zhuǎn)化為最值問題，分離參數(shù).【規(guī)范解答】（1）由題意可得m=0或m=0或-4<m<0-4<m≤0.故m的取值范圍為（-4,0].(2)∵f(x)<-m+5m(x2-x+1)<6,∵x2-x+1>0,

對于x∈［1,3］恒成立，記x∈［1,3］,則g(x)在［1,3］上為減函數(shù)，∴［g(x)］min=g(3)=∴m<所以m的取值范圍為（-∞,）.【規(guī)律方法】1.解決恒成立問題,一定要分清誰是自變量，誰是參數(shù).一般地，知道誰的范圍，誰就是自變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)；2.對于二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.【變式備選】已知函數(shù)f(x)=mx2-mx-1,若對于m∈［1,3］,f(x)<5-m恒成立，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍.【解析】∵f(x)<-m+5(x2-x+1)m-6<0,∴(x2-x+1)m-6<0對于m∈［1,3］恒成立，記g(m)=(x2-x+1)m-6,m∈［1,3］,因?yàn)閤2-x+1>0,則g(m)在［1，3］上為增函數(shù)，∴［g(m)］max=g(3)=3(x2-x+1)-6<0,∴x2-x-1<0,所以x的取值范圍為().

一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用【例3】國家原計(jì)劃以2400元/噸的價(jià)格收購某種農(nóng)產(chǎn)品m噸，按規(guī)定，農(nóng)戶向國家納稅為：每銷售收入100元納稅8元（稱稅率為8個百分點(diǎn)，即8%）.為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，決定降低稅率.根據(jù)市場規(guī)律，稅率降低x（x>0)個百分點(diǎn)，收購量能增加2x個百分點(diǎn).試確定x的范圍，使稅率調(diào)低后，國家此項(xiàng)稅收總收入不低于原計(jì)劃的78%.【審題指導(dǎo)】先表示稅率調(diào)低后的稅收收入，再列出不等關(guān)系式，其中稅收收入=銷售總額×稅率.【自主解答】設(shè)稅率調(diào)低后的稅收總收入為y元，則y=2400m(1+2x%)×(8-x)%由題意知，0<x≤8,要使稅收總收入不低于原計(jì)劃的78%，有y≥2400m×8%×78%,整理得x2+42x-88≤0,解得-44≤x≤2,又0<x≤8,∴0<x≤2,所以x的取值范圍是（0,2］.【規(guī)律方法】解不等式應(yīng)用題的步驟【變式訓(xùn)練】某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺），其總成本為G（x）萬元，其中固定成本為2萬元，并且每生產(chǎn)100臺的生產(chǎn)成本為1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），銷售收入R(x)滿足假定該產(chǎn)品銷售平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律:（1）要使工廠有盈利，產(chǎn)品數(shù)量x應(yīng)控制在什么范圍？（2）工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時盈利最大？求此時每臺產(chǎn)品的售價(jià)為多少？【解析】依題意得G（x)=x+2,設(shè)利潤函數(shù)為f(x),則f(x)=R(x)-G(x)，所以(1)要使工廠有盈利，則有f(x)>0,因?yàn)閒(x)>0或或5<x<8.2或5<x<8.21<x≤5或5<x<8.21<x<8.2.所以要使工廠盈利，產(chǎn)品數(shù)量應(yīng)控制在大于100臺小于820臺的范圍內(nèi).（2）0≤x≤5時，f(x)=-0.4(x-4)2+3.6故當(dāng)x=4時，f(x)有最大值3.6.而當(dāng)x>5時f(x)<8.2-5=3.2所以當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺產(chǎn)品時，盈利最大，此時只需求x=4時，（萬元/百臺）=240（元/臺）.

恒成立問題的命題新背景【典例】（2010·天津高考）設(shè)函數(shù),對任意x∈［1,+∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______.【審題指導(dǎo)】將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.【規(guī)范解答】因?yàn)閒(mx)+mf(x)=x∈［1,+∞),顯然m≠0,（1）當(dāng)m>0時，∵x≥1,因?yàn)楫?dāng)x∈［1,+∞)時,2x2-1∈［1,+∞)，故此式對于任意x∈［1,+∞)不恒成立.（2）當(dāng)m<0時，因?yàn)?x2-1的最小值為1，故<1m<-1或m>1,∴m<-1.綜上m的取值范圍是(-∞,-1).答案:(-∞,-1)【創(chuàng)新點(diǎn)撥】本題創(chuàng)新點(diǎn)在于把恒成立問題與函數(shù)問題巧妙地結(jié)合起來，解決本題先把參數(shù)分離，從而把恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，中間用了分類討論的思想方法.一般的恒成立問題若是一元二次不等式對x∈R恒成立問題，可直接用Δ法；若是可構(gòu)造我們熟悉的函數(shù)，通過變量分離的方法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，應(yīng)用這一方法的關(guān)鍵是分清參數(shù)與變量.【變式訓(xùn)練】不等式-x2+2x+3≤a2-3a對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）(A)(-∞,-1］∪［4,+∞)(B)(-∞,-2］∪［5,+∞)(C)［1,2］(D)(-∞,1］∪［2,+∞)【解析】選A.因?yàn)?x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4,不等式-x2+2x+3≤a2-3a對任意x恒成立，所以a2-3a≥4即a2-3a-4≥0,解得a≥4或a≤-1.1.(2011·泉州模擬)下列不等式中與lg(x-2)≤0同解的是()(A)(x-3)(2-x)≥0(B)(C)(D)(x-3)(2-x)>0【解析】選B.因?yàn)閘g(x-2)≤0的解是2<x≤3；對于A：(x-3)(2-x)≥0的解是2≤x≤3;對于B：的解是2<x≤3；對于C：的解是2≤x<3；對于D：(x-3)(2-x)>0的解是2<x<3.2.（2010·浙江高考）某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3860萬元，預(yù)測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月至十月份銷售總額至少達(dá)7000萬元，則x的最小值是____．【解題提示】把一到十月份的銷售總額求和，列出不等式，求解．【解析】七月份：500(1+x%)，八月份：500(1+x%)2．所以一至十月份的銷售總額為：3860+500+2［500(1+x%)+500(1+x%)2］≥7000，解得1+x%≤-2.2（舍）或1+x%≥1.2,∴xmin=20.答案:203.(2011·蘇州模擬)設(shè)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若f(1)>1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.【解析】∵f(x+3)=f(x),∴f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)<-1.(3a-2)(a+1)<0，答案:(-1,)一、選擇題（每小題4分，共20分）1.（2010·浙江高考）設(shè)P={x|x<1},Q={x|x2<4},則P∩Q=（）(A){x|-1<x<2}(B){x|-3<x<-1}(C){x|1<x<2}(D){x|-2<x<1}【解析】選D.∵Q={x|-2<x<2}，∴P∩Q={x|-2<x<1}.2．設(shè)M={x|x2-x≤0},N={x|≤1},則M∩N=()(A)

(B){1}(C){x|0＜x≤1}(D){x|x≥1}【解析】選B.∵M(jìn)={x|0≤x≤1},N={x|≥0}={x|x＜0或x≥1},∴M∩N={1}.

3．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?A)(-4,-1)(B)(-4,1)(C)(-1,1)(D)(-1,1］【解析】選C.由

故選C.4.（2011·長春模擬）不等式組有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）(A)(-1,3)(B)(-∞,-1)∪(3,+∞)(C)(-3,1)(D)(-∞,-3)∪(1,+∞)【解析】選A.由題意得a2+1<2a+4,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.5．設(shè)函數(shù)則不等式f(x)>3的解集是（）（A）(-3,1)∪(3,+∞)（B）(-3,1)∪(2,+∞)（C）(-1,1)∪(3,+∞)（D）(-∞,-3)∪(1,3)【解題提示】轉(zhuǎn)化為不等式組求解.【解析】選A.因?yàn)榛?/p>

0≤x<1或x>3或-3<x<0-3<x<1或x>3.故選A.二、填空題（每小題4分，共12分）6.（2011·漳州模擬）不等式（1-x）（x+3）＜0的解集為______.【解析】(1-x)(x+3)＜0(x-1)(x+3)＞0x＜-3或x＞1.答案:{x|x＜-3或x＞1}7．若關(guān)于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,m)，則m=____【解題提示】由ax2-6x+a2<0的解集是(1,m)可得1，m是方程ax2-6x+a2=0的根，且m＞1，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求m.【解析】因?yàn)閍x2-6x+a2<0的解集是(1,m)，所以1，m是方程ax2-6x+a2=0的根，且m＞1，所以答案:28．函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.【解析】由題意得(1-m)x2+(m-1)x+1＞0的解集為R，則m滿足1-m=0或∴m=1或-3＜m＜1,∴-3＜m≤1.答案:（-3，1]三、解答題（每小題9分，共18分）9.某商品在最近30天內(nèi)的銷售價(jià)格f(t)與時間t（單位：天）的函數(shù)關(guān)系是f(t)=t+10(0＜t≤30,t∈N)；銷售量g(t)與時間t的函數(shù)關(guān)系是g(t)=-t+35(0＜t≤30,t∈N),記日銷售金額為Φ(t)（單位：元）,若使該種商品日銷售金額不少于450元，求時間t滿足的條件.【解題提示】通過日銷售金額=銷售量×銷售價(jià)格，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式和二次函數(shù)的最值問題來求解.【解析】由題意知Φ(t)=f(t)g(t)=(t+10)(-t+35)=-t2+25t+350(0＜t≤30,t∈N),由Φ(t)≥450得-t2+25t+350≥450t2-25t+100≤05≤t≤20.所以若使該種商品日銷售金額不少于450元，則時間t滿足t∈［5,20］(t∈N).10.(2011·莆田模擬)解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.【解題提示】ax2-(a+1)x+1<0(ax-1)(x-1)<0,需對a進(jìn)行分類討論.【解析】因?yàn)閍x2-(a+1)x+1<0(ax-1)(x-1)<0……(▲)(1)當(dāng)a=0時，(▲)

-x+1<0

x>1;(2)當(dāng)a<0時，(▲)(x-)(x-1)>0

x<或x>1；(3)當(dāng)a>0時，(▲)(x-)(x-1)<0.因?yàn)棰佼?dāng)即a>1時，<1,(▲)

<x