2022-2023學(xué)年黑龍江省大慶一中高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
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2022-2023學(xué)年黑龍江省大慶一中高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸為直線,且,則的最小值為()A. B.0 C. D.2.執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入,,則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)是()A. B. C. D.3.設(shè)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)若雙曲線上存在點(diǎn),使,且,則雙曲線的離心率為()A. B.2 C. D.4.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M,若.則該雙曲線的離心率為A.2 B.3 C. D.5.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.6.用1,2,3,4,5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位,數(shù)字1,3,5中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰,則滿足條件的不同五位數(shù)的個(gè)數(shù)是()A.48 B.60 C.72 D.1207.已知函數(shù)f(x)=,若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.8.已知函數(shù),將的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)保持不變;再把所得圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,若,則的值可能為()A. B. C. D.9.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.10.已知菱形的邊長(zhǎng)為2,,則()A.4 B.6 C. D.11.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就,哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個(gè)大于的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”(注:如果一個(gè)大于的整數(shù)除了和自身外無其他正因數(shù),則稱這個(gè)整數(shù)為素?cái)?shù)),在不超過的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù)、,則的概率是()A. B. C. D.12.已知雙曲線的一條漸近線為,圓與相切于點(diǎn),若的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知兩個(gè)單位向量滿足,則向量與的夾角為_____________.14.的展開式中,若的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則________.15.已知向量=(1,2),=(-3,1),則=______.16.用數(shù)字、、、、、組成無重復(fù)數(shù)字的位自然數(shù),其中相鄰兩個(gè)數(shù)字奇偶性不同的有_____個(gè).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且向量與向量共線.(1)求B;(2)若,,且,求BD的長(zhǎng)度.18.(12分)已知向量,函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在中,三內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn),成等差數(shù)列,且,求a的值.19.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求在點(diǎn)處的切線方程;(Ⅱ)已知在上恒成立,求的值.(Ⅲ)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且,證明:.20.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù).(1)設(shè),求不等式的解集;(2)已知,且的最小值等于,求實(shí)數(shù)的值.21.(12分)如圖,在四邊形ABCD中,AB//CD,∠ABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF.(Ⅰ)求證:平面ADE⊥平面BDEF;(Ⅱ)若二面角CBFD的大小為60°,求CF與平面ABCD所成角的正弦值.22.(10分)在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別是,滿足條件.(1)求角;(2)若邊上的高為,求的長(zhǎng).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

運(yùn)用輔助角公式,化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,由對(duì)稱軸的方程,求得的值,得出函數(shù)的解析式,集合正弦函數(shù)的最值,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)為輔助角,由于函數(shù)的對(duì)稱軸的方程為,且,即,解得,所以,又由,所以函數(shù)必須取得最大值和最小值,所以可設(shè),,所以,當(dāng)時(shí),的最小值,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中利用三角恒等變換的公式,化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,合理利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.2、B【解析】

先明確該程序框圖的功能是計(jì)算兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),再利用輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算即可.【詳解】本程序框圖的功能是計(jì)算,中的最大公約數(shù),所以,,,故當(dāng)輸入,,則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)是57.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的功能,做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么,本題是一道基礎(chǔ)題.3、A【解析】

由及雙曲線定義得和(用表示),然后由余弦定理得出的齊次等式后可得離心率.【詳解】由題意∵,∴由雙曲線定義得,從而得,,在中,由余弦定理得,化簡(jiǎn)得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線定義用表示出到兩焦點(diǎn)的距離,再由余弦定理得出的齊次式.4、D【解析】

本題首先可以通過題意畫出圖像并過點(diǎn)作垂線交于點(diǎn),然后通過圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)判斷出三角形的形狀并求出高的長(zhǎng)度,的長(zhǎng)度即點(diǎn)縱坐標(biāo),然后將點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程即可得出點(diǎn)坐標(biāo),最后將點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線方程即可得出結(jié)果?!驹斀狻扛鶕?jù)題意可畫出以上圖像,過點(diǎn)作垂線并交于點(diǎn),因?yàn)椋陔p曲線上,所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知,,即,,因?yàn)閳A的半徑為,是圓的半徑,所以,因?yàn)?,,,,所以,三角形是直角三角形,因?yàn)?,所以,,即點(diǎn)縱坐標(biāo)為,將點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程中可得,解得,,將點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線中可得,化簡(jiǎn)得,,,,故選D。【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì),主要考察了圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì),考查了圓與雙曲線的綜合應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想,體現(xiàn)了綜合性,提高了學(xué)生的邏輯思維能力,是難題。5、C【解析】

函數(shù)的定義域應(yīng)滿足故選C.6、A【解析】

對(duì)數(shù)字分類討論,結(jié)合數(shù)字中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰,利用分類計(jì)數(shù)原理,即可得到結(jié)論【詳解】數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí),數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí),同理也有個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí),數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個(gè)故滿足條件的不同的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是個(gè)故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列,組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題,解題的關(guān)鍵是對(duì)數(shù)字分類討論,屬于基礎(chǔ)題。7、D【解析】

由已知可將問題轉(zhuǎn)化為:y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個(gè)交點(diǎn),作出圖象,由圖可得:點(diǎn)(1,0)必須在直線y=kx-的下方,即可求得:k>;再求得直線y=kx-和y=lnx相切時(shí),k=;結(jié)合圖象即可得解.【詳解】若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個(gè)交點(diǎn).作出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖,故點(diǎn)(1,0)在直線y=kx-的下方.∴k×1->0,解得k>.當(dāng)直線y=kx-和y=lnx相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,則k==,∴m=.此時(shí),k==,f(x)的圖象和直線y=kx-有3個(gè)交點(diǎn),不滿足條件,故所求k的取值范圍是,故選D..【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力,還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計(jì)算能力、觀察能力,屬于難題.8、C【解析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn),然后利用圖象變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式為,可得函數(shù)的值域?yàn)?,結(jié)合條件,可得出、均為函數(shù)的最大值,于是得出為函數(shù)最小正周期的整數(shù)倍,由此可得出正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù),將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,得的圖象;再把所得圖象向上平移個(gè)單位,得函數(shù)的圖象,易知函數(shù)的值域?yàn)?若,則且,均為函數(shù)的最大值,由,解得;其中、是三角函數(shù)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo),的值為函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍,且.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換,同時(shí)也考查了正弦型函數(shù)與周期相關(guān)的問題,解題的關(guān)鍵在于確定、均為函數(shù)的最大值,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.9、A【解析】

觀察可知,這個(gè)幾何體由兩部分構(gòu)成,:一個(gè)半圓柱體,底面圓的半徑為1,高為2;一個(gè)半球體,半徑為1,按公式計(jì)算可得體積?!驹斀狻吭O(shè)半圓柱體體積為,半球體體積為,由題得幾何體體積為,故選A?!军c(diǎn)睛】本題通過三視圖考察空間識(shí)圖的能力,屬于基礎(chǔ)題。10、B【解析】

根據(jù)菱形中的邊角關(guān)系,利用余弦定理和數(shù)量積公式,即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示,菱形形的邊長(zhǎng)為2,,∴,∴,∴,且,∴,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題..11、B【解析】

先列舉出不超過的素?cái)?shù),并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù)、,滿足”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】不超過的素?cái)?shù)有:、、、、、,在不超過的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù),所有的基本事件有:、、、、、、、、、、、、、、,共種情況,其中,事件“在不超過的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù)、,且”包含的基本事件有:、、、,共種情況,因此,所求事件的概率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的計(jì)算,一般利用列舉法列舉出基本事件,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

由圓與相切可知,圓心到的距離為2,即.又,由此求出的值,利用離心率公式,求出e.【詳解】由題意得,,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),直線與圓相切的性質(zhì),離心率的求法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由得,即得解.【詳解】由題意可知,則.解得,所以,向量與的夾角為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算和夾角的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14、【解析】試題分析:由已知得,故的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為,,,,,其系數(shù)之和為,解得.考點(diǎn):二項(xiàng)式定理.15、-6【解析】

由可求,然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求.【詳解】∵=(1,2),=(-3,1),∴=(-4,-1),則=1×(-4)+2×(-1)=-6故答案為-6【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)試題.16、【解析】

對(duì)首位數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】①若首位為奇數(shù),則第一、三、五個(gè)數(shù)位上的數(shù)都是奇數(shù),其余三個(gè)數(shù)位上的數(shù)為偶數(shù),此時(shí),符號(hào)條件的位自然數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè);②若首位數(shù)為偶數(shù),則首位數(shù)不能為,可排在第三或第五個(gè)數(shù)位上,第二、四、六個(gè)數(shù)位上的數(shù)為奇數(shù),此時(shí),符合條件的位自然數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè).綜上所述,符合條件的位自然數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的排列問題,要注意首位數(shù)字的分類討論,考查分步乘法計(jì)數(shù)和分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)共線得到,利用正弦定理化簡(jiǎn)得到答案.(2)根據(jù)余弦定理得到,,再利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】(1)∵與共線,∴.即,∴即,∵,∴,∵,∴.(2),,,在中,由余弦定理得:,∴.則或(舍去).∴,∵∴.在中,由余弦定理得:,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線,正弦定理,余弦定理,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.18、(1),(2)【解析】

(1)利用向量的數(shù)量積和二倍角公式化簡(jiǎn)得,故可求其周期與單調(diào)性;(2)根據(jù)圖像過得到,故可求得的大小,再根據(jù)數(shù)量積得到的乘積,最后結(jié)合余弦定理和構(gòu)建關(guān)于的方程即可.【詳解】(1),最小正周期:,由得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由可得:,所以.又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列,所以而,.19、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析【解析】

(Ⅰ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.(Ⅱ)求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,并構(gòu)造函數(shù)根據(jù)單調(diào)性分析可得只能在處取得最小值求解即可.(Ⅲ)根據(jù)(Ⅰ)(Ⅱ)的結(jié)論可知,在上恒成立,再分別設(shè)的解為、.再根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可.【詳解】(Ⅰ)由題,故.且.故在點(diǎn)處的切線方程為.(Ⅱ)設(shè)恒成立,故.設(shè)函數(shù)則,故在上單調(diào)遞減且,又在上單調(diào)遞增.又,即且,故只能在處取得最小值,當(dāng)時(shí),此時(shí),且在上,單調(diào)遞減.在上,單調(diào)遞增.故,滿足題意;當(dāng)時(shí),此時(shí)有解,且在上單調(diào)遞減,與矛盾;當(dāng)時(shí),此時(shí)有解,且在上單調(diào)遞減,與矛盾;故(Ⅲ).由(Ⅰ),在上單調(diào)遞減且,又在上單調(diào)遞增,故最多一根.又因?yàn)?,故設(shè)的解為,因?yàn)?故.所以在遞減,在遞增.因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根,故.結(jié)合(Ⅰ)(Ⅱ)有,在上恒成立.設(shè)的解為,則;設(shè)的解為,則.故,.故,得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值求解參數(shù)值的問題.同時(shí)也考查了構(gòu)造函數(shù)結(jié)合前問的結(jié)論證明不等式的方法.屬于難題.20、(1)(2)【解析】

(1)把f(x)去絕對(duì)值寫成分段函數(shù)的形式,分類討論,分別求得解集,綜合可得結(jié)論.(2)把f(x)去絕對(duì)值寫成分段函數(shù),畫出f(x)的圖像,找出利用條件求得a的值.【詳解】(1)時(shí),.當(dāng)時(shí),即為,解得.當(dāng)時(shí),,解得.當(dāng)時(shí),,解得.綜上,的解集為.(2).,由的圖象知,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對(duì)值不等式的解法及含絕對(duì)值的函數(shù)的最值問題,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題21、(1)見解析(2)【解析】分析:(1)根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ADE⊥平面BDEF;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法即可求CF與平面ABCD所成角的正弦值;也可以應(yīng)用常規(guī)法,作出線面角,放在三角形當(dāng)中來求解.詳解:(Ⅰ)在△ABD中,∠ABD=30°,由AO2=AB2+BD2-2AB·BDcos30°,解得BD=,所以AB2+BD2=AB2,根據(jù)勾股定理得∠ADB=90°∴AD⊥BD.又因?yàn)镈E⊥平面ABCD,AD平面ABCD,∴AD⊥DE.又因?yàn)锽DDE=D,所以AD⊥平面BDEF,又AD平面ABCD,∴平面ADE⊥平面BDEF,

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