專(zhuān)題02-數(shù)的整除性(含答案)

專(zhuān)題02 數(shù)的整除性閱讀與思考設(shè)，是整數(shù)，≠0，如果一個(gè)整數(shù)使得等式=成立，那么稱(chēng)能被整除，或稱(chēng)整除，記作|，又稱(chēng)為的約數(shù)，而稱(chēng)為的倍數(shù)．解與整數(shù)的整除相關(guān)問(wèn)題常用到以下知識(shí)：1．?dāng)?shù)的整除性常見(jiàn)特征：①若整數(shù)的個(gè)位數(shù)是偶數(shù)，則2|；②若整數(shù)的個(gè)位數(shù)是0或5，則5|；③若整數(shù)的各位數(shù)字之和是3(或9)的倍數(shù)，則3|(或9|)；④若整數(shù)的末二位數(shù)是4(或25)的倍數(shù)，則4|(或25|)；⑤若整數(shù)的末三位數(shù)是8(或125)的倍數(shù)，則8|(或125|)；⑥若整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差是11的倍數(shù)，則11|．2．整除的基本性質(zhì)設(shè)，，都是整數(shù)，有：①若|，|，則|；②若|，|，則|(±)；③若|，|，則[，]|；④若|，|，且與互質(zhì)，則|；⑤若|，且與互質(zhì)，則|．特別地，若質(zhì)數(shù)|，則必有|或|．例題與求解【例1】在1，2，3，…，2000這2000個(gè)自然數(shù)中，有_______個(gè)自然數(shù)能同時(shí)被2和3整除，而且不能被5整除．(“五羊杯”競(jìng)賽試題)解題思想：自然數(shù)能同時(shí)被2和3整除，則能被6整除，從中剔除能被5整除的數(shù)，即為所求．【例2】已知，是正整數(shù)(＞)，對(duì)于以下兩個(gè)結(jié)論：①在＋，，－這三個(gè)數(shù)中必有2的倍數(shù)；②在＋，，－這三個(gè)數(shù)中必有3的倍數(shù)．其中( )A．只有①正確 B．只有②正確 C．①，②都正確 D．①，②都不正確(江蘇省競(jìng)賽試題)解題思想：舉例驗(yàn)證，或按剩余類(lèi)深入討論證明．【例3】已知整數(shù)能被198整除，求，的值．(江蘇省競(jìng)賽試題)解題思想：198=2×9×11，整數(shù)能被9，11整除，運(yùn)用整除的相關(guān)特性建立，的等式，求出，的值．【例4】已知，，都是整數(shù)，當(dāng)代數(shù)式7＋2＋3的值能被13整除時(shí)，那么代數(shù)式5＋7－22的值是否一定能被13整除，為什么？(“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽試題)解題思想：先把5＋7－22構(gòu)造成均能被13整除的兩個(gè)代數(shù)式的和，再進(jìn)行判斷．【例5】如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱(chēng)M為的“魔術(shù)數(shù)”(例如：把86放在415左側(cè)，得到86415能被7整除，所以稱(chēng)86為415的魔術(shù)數(shù))，求正整數(shù)的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)，，…，，滿(mǎn)足對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)，在，，…，中都至少有一個(gè)為的“魔術(shù)數(shù)”．(2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)解題思想：不妨設(shè)(=1，2，3，…，；=0，1，2，3，4，5，6)至少有一個(gè)為的“魔術(shù)數(shù)”．根據(jù)題中條件，利用(是的位數(shù))被7除所得余數(shù)，分析的取值．【例6】一只青蛙，位于數(shù)軸上的點(diǎn)，跳動(dòng)一次后到達(dá)，已知，滿(mǎn)足|－|=1，我們把青蛙從開(kāi)始，經(jīng)－1次跳動(dòng)的位置依次記作：，，，…，．⑴寫(xiě)出一個(gè)，使其，且＋＋＋＋>0；⑵若=13，=2012，求的值；⑶對(duì)于整數(shù)(≥2)，如果存在一個(gè)能同時(shí)滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件：①=0；②＋＋＋…＋=0．求整數(shù)(≥2)被4除的余數(shù)，并說(shuō)理理由．(2013年“創(chuàng)新杯”邀請(qǐng)賽試題)解題思想：⑴．即從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)4次跳動(dòng)后回到原點(diǎn)，這就只能兩次向右，兩次向左．為保證＋＋＋＋>0．只需將“向右”安排在前即可．⑵若=13，=2012，從經(jīng)過(guò)1999步到．不妨設(shè)向右跳了步，向左跳了步，則，解得可見(jiàn)，它一直向右跳，沒(méi)有向左跳．⑶設(shè)同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①=0；②＋＋＋…＋=0．由于=0，故從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)(－1)步到達(dá)，假定這(－1)步中，向右跳了步，向左跳了步，于是=－，＋=－1，則＋＋＋…＋=0＋()＋()＋…()=2(＋＋…＋)－[()＋()＋…＋()]=2(＋＋…＋)－．由于＋＋＋…＋=0，所以(－1)=4(＋＋…＋)．即4|(－1)．能力訓(xùn)練A級(jí)1．某班學(xué)生不到50人，在一次測(cè)驗(yàn)中，有的學(xué)生得優(yōu)，的學(xué)生得良，的學(xué)生得及格，則有________人不及格．2．從1到10000這1萬(wàn)個(gè)自然數(shù)中，有_______個(gè)數(shù)能被5或能被7整除．(上海市競(jìng)賽試題)3．一個(gè)五位數(shù)能被11與9整除，這個(gè)五位數(shù)是________．4．在小于1997的自然數(shù)中，是3的倍數(shù)而不是5的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是( )A．532 B．665 C．133 D．7985．能整除任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)之和的最大整數(shù)是( )A．1 B．2 C．3 D．6(江蘇省競(jìng)賽試題)6．用數(shù)字1，2，3，4，5，6組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，是9的倍數(shù)的數(shù)有( )A．12個(gè) B．18個(gè) C．20個(gè) D．30個(gè)(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)7．五位數(shù)是9的倍數(shù)，其中是4的倍數(shù)，那么的最小值為多少？(黃岡市競(jìng)賽試題)8．1，2，3，4，5，6每個(gè)使用一次組成一個(gè)六位數(shù)字，使得三位數(shù)，，，能依次被4，5，3，11整除，求這個(gè)六位數(shù)．(上海市競(jìng)賽試題)9．173□是個(gè)四位數(shù)字，數(shù)學(xué)老師說(shuō)：“我在這個(gè)□中先后填入3個(gè)數(shù)字，所得到的3個(gè)四位數(shù)，依次可被9，11，6整除．”問(wèn)：數(shù)學(xué)老師先后填入的這3個(gè)數(shù)字的和是多少？(“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽試題)B級(jí)1．若一個(gè)正整數(shù)被2，3，…，9這八個(gè)自然數(shù)除，所得的余數(shù)都為1，則的最小值為_(kāi)________，的一般表達(dá)式為_(kāi)___________．(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)2．已知，都是正整數(shù)，若1≤≤≤30，且能被21整除，則滿(mǎn)足條件的數(shù)對(duì)(，)共有___________個(gè)．(天津市競(jìng)賽試題)3．一個(gè)六位數(shù)能被33整除，這樣的六位數(shù)中最大是__________．4．有以下兩個(gè)數(shù)串同時(shí)出現(xiàn)在這兩個(gè)數(shù)串中的數(shù)的個(gè)數(shù)共有( )個(gè)．A．333 B．334 C．335 D．3365．一個(gè)六位數(shù)能被12整除，這樣的六位數(shù)共有( )個(gè)．A．4 B．6 C．8 D．126．若1059，1417，2312分別被自然數(shù)除時(shí)，所得的余數(shù)都是，則－的值為( )．A．15 B．1 C．164 D．1747．有一種室內(nèi)游戲，魔術(shù)師要求某參賽者相好一個(gè)三位數(shù)，然后，魔術(shù)師再要求他記下五個(gè)數(shù)：，，，，，并把這五個(gè)數(shù)加起來(lái)求出和N．只要講出的大小，魔術(shù)師就能說(shuō)出原數(shù)是什么．如果N=3194，請(qǐng)你確定．(美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)8．一個(gè)正整數(shù)N的各位數(shù)字不全相等，如果將N的各位數(shù)字重新排列，必可得到一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，若最大數(shù)與最小數(shù)的差正好等于原來(lái)的數(shù)N，則稱(chēng)N為“拷貝數(shù)”，試求所有的三位“拷貝數(shù)”．(武漢市競(jìng)賽試題)9．一個(gè)六位數(shù)，如將它的前三位數(shù)字與后三位數(shù)字整體互換位置，則所得的新六位數(shù)恰為原數(shù)的6倍，求這個(gè)三位數(shù)．(“五羊杯”競(jìng)賽試題)10．一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和為1999，求這個(gè)四位數(shù)，并說(shuō)明理由．(重慶市競(jìng)賽試題)11．從1，2，…，9中任取個(gè)數(shù)，其中一定可以找到若干個(gè)數(shù)(至少一個(gè)，也可以是全部)，它們的和能被10整除，求的最小值．(2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)專(zhuān)題02數(shù)的整除性例1267提示：333－66＝267．例2C提示：關(guān)于②的證明：對(duì)于a，b若至少有一個(gè)是3的倍數(shù)，則ab是3的倍數(shù)．若a，b都不是3的倍數(shù)，則有：(1)當(dāng)a＝3m＋1，b＝3n＋1時(shí)，a－b＝3(m－n)；(2)當(dāng)a＝3m＋1，b＝3n＋2時(shí)，a＋b＝3(m＋n＋1)；(3)當(dāng)a＝3m＋2，b＝3n＋1時(shí)，a＋b＝3(m＋n＋1)；(4)當(dāng)a＝3m＋2，b＝3n＋2時(shí)，a－b＝3(m－n).例3a＝8．b＝0提示：由9｜(19＋a＋b)得a＋b＝8或17；由11|(3＋a－b)得a－b＝8或－3．例4設(shè)x，y，z，t是整數(shù)，并且假設(shè)5a＋7b－22c＝x(7a＋2b＋3c)＋13(ya＋zb＋tc).比較上式a，b，c的系數(shù)，應(yīng)當(dāng)有，取x＝－3，可以得到y(tǒng)＝2，z＝1，t＝－1，則有13(2a＋b－c)－3(7a＋2b＋3c)＝5a＋7b－22c．既然3(7a＋2b＋3c)和13(2a＋b－c)都能被13整除，則5a＋7b－22c就能被13整除．例5考慮到“魔術(shù)數(shù)”均為7的倍數(shù)，又a1，a2，…，an互不相等，不妨設(shè)a1＜a2＜…＜an，余數(shù)必為1，2，3，4，5，6，0，設(shè)ai＝ki＋t(i＝1，2，3，…，n；t＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一個(gè)為m的“魔術(shù)數(shù)”，因?yàn)閍i·10k＋m(k是m的位數(shù))，是7的倍數(shù)，當(dāng)i≤b時(shí)，而ai·t除以7的余數(shù)都是0，1，2，3，4，5，6中的6個(gè)；當(dāng)i＝7時(shí)，而ai·10k除以7的余數(shù)都是0，1，2，3，4，5，6這7個(gè)數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，當(dāng)i＝7時(shí)，依抽屜原理，ai·10k與m二者余數(shù)的和至少有一個(gè)是7，此時(shí)ai·10k＋m被7整除，即n＝7．例6(1)A5：0，1，2，1，0.(或A5：0，1，0，1，0)(2)a1000＝13＋999＝1012．(3)n被4除余數(shù)為0或1．A級(jí)1．12．31433．397984．A5．C6．B7．五位數(shù)EQ\o\ac(\S\UP7(—),abcde)＝10×EQ\o\ac(\S\UP7(—),abcd)＋e.又∵EQ\o\ac(\S\UP7(——),abcd)為4的倍數(shù)．故最值為1000，又因?yàn)镋Q\o\ac(\S\UP7(—),abcde)為9的倍數(shù)．故1＋0＋0＋0＋e能被9整除，所以e只能取8．因此EQ\o\ac(\S\UP7(—),abcde)最小值為10008.8．324561提示：d＋f－e是11的倍數(shù)，但6≤d＋f≤5＋6＝11，1≤e≤6，故0≤d＋f－e≤10，因此d＋f－e＝0，即5＋f＝e，又e≤d，f≥1，故f＝l，e＝6，9．19提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后兩個(gè)數(shù)為8，4．B級(jí)1．2521a＝2520n＋1(n∈N＋)2．573．719895提示：這個(gè)數(shù)能被33整除，故也能被3整除．于是，各位數(shù)字之和(x＋1＋9＋8＋9＋y)也能被3整除，故x＋y能被3整除．4．B5．B6．A提示：兩兩差能被n整除，n＝179，m＝164．7．由題意得EQ\o\ac(\S\UP7(—),acb)＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),bac)＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),bca)＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),cab)＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),cba)＝3194，兩邊加上EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)．得222(a＋b＋c)＝3194＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)∴222(a＋b＋c)＝222×14＋86＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)．則EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)＋86是222的倍數(shù)．且a＋b＋c＞14．設(shè)EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)＋86＝222n考慮到EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)是三位數(shù)，依次取n＝1，2，3，4.分別得出EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)的可能值為136，358，580，802，又因?yàn)閍＋b＋c＞14．故EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)＝358．8．設(shè)N為所求的三位“拷貝數(shù)”，它的各位數(shù)字分別為a，b，c(a，b，c不全相等)．將其數(shù)碼重新排列后，設(shè)其中最大數(shù)為EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)，則最小數(shù)為EQ\o\ac(\S\UP7(——),cba)．故N＝EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)－EQ\o\ac(\S\UP7(——),cba)＝(100a＋10b＋c)－(100c＋10b＋a)＝99(a－c)．可知N為99的倍數(shù)．這樣的三位數(shù)可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而這9個(gè)數(shù)中，只有954－459＝495.故495是唯一的三位“拷貝數(shù)”．9．設(shè)原六位數(shù)為EQ\o\ac(\S\UP7(———),abcdef)，則6×EQ\o\ac(\S\UP7(———),abcdef)＝EQ\o\ac(\S\UP7(———),defabc)，即6×(1000×EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)＋EQ\o\ac(\S\UP7(——),def))＝1000×EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)＋EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)，所以994×EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)－5999×EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)，即142×EQ\o\ac(\S\UP7(——),d