吉林大學(xué)附屬中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

吉林大學(xué)附屬中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知正的邊長(zhǎng)為，那么的平面直觀圖的面積為（）A. B.C. D.2．某學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對(duì)他們每周使用手機(jī)的時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖.則下列說法：①；②若抽取100人，則平均用時(shí)13.75小時(shí)；③若從每周使用時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.其中正確的序號(hào)是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③3．若圓與直線相切，則（）A.3 B.或3C. D.或4．曲線與曲線的（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B.短軸長(zhǎng)相等C.離心率相等 D.焦距相等5．已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l上有兩點(diǎn)A，B，若為等腰直角三角形且面積為8，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C.或 D.6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線與交于、兩點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)且垂直于的直線與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則的斜率為（）A. B.C. D.7．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的任意一點(diǎn)，為平面上點(diǎn)，則的最小值為A.3 B.2C.4 D.8．已知過點(diǎn)的直線與圓相切，且與直線平行，則（）A.2 B.1C. D.9．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問第二天走了（）A.192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里10．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)，則滿足的的集合為A. B.C. D.11．已知向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D12．函數(shù)，的最小值為（）A.2 B.3C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是，AB，的中點(diǎn)，則直線與GF所成角的大小是______（用反三角函數(shù)表示）14．已知曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則______15．若“”是“”必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的最大值為_______16．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若數(shù)列{an}滿足an＋Sn＝An2＋Bn＋C且A＞0，則＋B－C的最小值為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列中，，___________，其中.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.從①前n項(xiàng)和，②，③且，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中并作答.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，直線，點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，也是PF的中點(diǎn)．，（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程E；（2）過點(diǎn)F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M，N．求直線MN過定點(diǎn)R的坐標(biāo)19．（12分）如圖，四棱錐中，，.（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值等于？20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，平面ABCD，，.（1）求點(diǎn)B到平面PCD的距離；（2）求二面角的平面角的余弦值.21．（12分）已知一張紙上畫有半徑為4的圓O，在圓O內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)A，且，折疊紙片，使圓上某一點(diǎn)剛好與A點(diǎn)重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當(dāng)取遍圓上所有點(diǎn)時(shí)，所有折痕與的交點(diǎn)形成的曲線記為C.（1）求曲線C的焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過曲線C的右焦點(diǎn)（左焦點(diǎn)為）的直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，記的面積為S，試求S的取值范圍.22．（10分）已知在長(zhǎng)方形ABCD中，AD=2AB=2，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，沿BE折起平面ABE，使平面ABE⊥平面BCDE.（1）求證：在四棱錐A-BCDE中，AB⊥AC.（2）在線段AC上是否存在點(diǎn)F，使二面角A-BE-F的余弦值為？若存在，找出點(diǎn)F的位置；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】作出正的實(shí)際圖形和直觀圖，計(jì)算出直觀圖的底邊上的高，由此可求得的面積.【詳解】如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖.由斜二測(cè)畫法可知，，，在圖②中作于，則.所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直觀圖面積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1可求出，再求出頻率分布直方圖的平均值，即為抽取100人的平均值的估計(jì)值，再利用分層抽樣可確定出使用時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.【詳解】，故①正確；根據(jù)頻率分布直方圖可估計(jì)出平均值為，所以估計(jì)抽取100人的平均用時(shí)13.75小時(shí)，②的說法太絕對(duì)，故②錯(cuò)誤；每周使用時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生的比例為，用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為，故③正確.故選：B.3、B【解析】根據(jù)圓與與直線相切，利用圓心到直線的距離等于半徑求解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與與直線相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或，故選：B4、D【解析】分別求出兩曲線表示的橢圓的位置，長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率和焦距，比較可得答案.【詳解】曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為6，離心率為,焦距為8,曲線焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為,焦距為,故選：D5、C【解析】分或（）兩種情況討論，由面積列方程即可求解【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)或時(shí)，，解得，所以拋物線的方程是或.故選：C.6、C【解析】設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)、、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出、，根據(jù)條件可求得的值，即可得出直線的斜率.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)、、，聯(lián)立可得，，，所以，，，，直線的斜率為，則直線的斜率為，所以，，因?yàn)?，則，因?yàn)?，解得，因此，直線的斜率為.故選：C.7、A【解析】作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義，得到，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】如圖，作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，由題意可得，顯然，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最?。灰?yàn)?，，?zhǔn)線，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，所以.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線上任一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離的和的最值問題，熟記拋物線的定義與性質(zhì)即可，屬于常考題型.8、C【解析】先根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)切線方程，再根據(jù)圓心到切線距離等于半徑列式解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榍芯€與直線平行，所以切線方程可設(shè)為因?yàn)榍芯€過點(diǎn)P(2，2)，所以因?yàn)榕c圓相切，所以故選：C9、B【解析】由題可得此人每天走的步數(shù)等比數(shù)列，根據(jù)求和公式求出首項(xiàng)可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B10、B【解析】利用2f(x)<x＋1構(gòu)造函數(shù)g(x)＝2f(x)－x－1，進(jìn)而可得g′(x)＝2f′(x)－1>0．得出g(x)的單調(diào)性結(jié)合g(1)＝0即可解出【詳解】令g(x)＝2f(x)－x－1.因?yàn)閒′(x)>，所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.所以g(x)單調(diào)增函數(shù)因?yàn)閒(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.所以當(dāng)x<1時(shí)，g(x)<0，即2f(x)<x＋1.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考察導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性解不等式．屬于中檔題11、A【解析】由已知，分別表示出選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的向量，然后利用平面向量共線定理進(jìn)行判斷即可完成求解.【詳解】因，，，選項(xiàng)A，，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則，即，解得，故該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則，即，解得不存，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，，，若B，C，D三點(diǎn)共線，則，即，解得不存在，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，，若A，C，D三點(diǎn)共線，則，即，解得不存在，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A.12、B【解析】求導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性即可求解最小值【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】連接，由得出直線與GF所成角，再由余弦定理得出直線與GF所成角的大小.【詳解】連接，因?yàn)?，所以直線與GF所成角為.設(shè)，則，，，又異面直線的夾角范圍為，所以直線與GF所成角的大小是.故答案為：14、【解析】對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)題設(shè)有且，即可得目標(biāo)式的值.【詳解】由題設(shè)，且定義域?yàn)椋瑒t，所以，整理得，又，所以，兩邊取對(duì)數(shù)有，得：，即.故答案為：.15、【解析】設(shè)的解集為集合，由題意可得是的真子集，即可求解.【詳解】由得或，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，設(shè)或，，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以是的真子集，所以故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含16、2【解析】因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由an＋Sn＝An2＋Bn＋C，得a1＋(n－1)d＋na1＋n(n－1)d＝an＋Sn＝An2＋Bn＋C，即(d－A)n2＋(a1＋－B)n＋(a1－d－C)＝0對(duì)任意正整數(shù)n都成立所以(d－A)＝0，a1＋d－B＝0，a1－d－C＝0，所以A＝d，B＝a1＋d，C＝a1－d，所以3A－B＋C＝0.＋B－C＝＋3A≥2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析（3）【解析】（1）選①，根據(jù)與的關(guān)系即可得出答案；選②，根據(jù)與的關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的定義即可得出答案；選③，利用等差中項(xiàng)法可得數(shù)列是等差數(shù)列，再求出公差，即可得解；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列的定義即可得證；（3）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法即可得出答案.【小問1詳解】解：選①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也成立，所以；選②，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以為公差的等差數(shù)列，所以；選③且，因?yàn)?，所以?shù)列是等差數(shù)列，公差，所以；【小問2詳解】解：由（1）得，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；【小問3詳解】解：，，①，②由①②得，所以.18、（1）（2）【解析】（1）由圖中的幾何關(guān)系可知,故可知?jiǎng)狱c(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，但不能和原點(diǎn)重合，即可直接寫出拋物線的方程；（2）設(shè)出直線AB的方程，把點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線方程，兩式作差后，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出直線MN的方程，最后可求出直線MN過哪一定點(diǎn).【小問1詳解】∵直線的方程為，點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)且，∴RQ是線段FP的垂直平分線,∵,∴是點(diǎn)Q到直線l的距離,∵點(diǎn)Q在線段FP的垂直平分線，∴,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，但不能和原點(diǎn)重合，即動(dòng)點(diǎn)Q軌跡的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，由題意直線AB斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為，由已知得，兩式作差可得，即，則，代入可得，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，同理設(shè)，，直線的方程為，由已知得，兩式作差可得，即，則，代入可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線MN的斜率為，即方程為，整理得，故直線MN恒過定點(diǎn).19、（1）詳解解析；（2）存在.【解析】（1）利用勾股定理證得，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證得結(jié)論；（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，，求得平面的法向量，利用已知條件建立關(guān)于的方程，進(jìn)而得解.【小問1詳解】取中點(diǎn)為，連接，在中，，，，又，，所以，又，，而，所以，又，，，又，，平面.【小問2詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)F在線段上，設(shè)，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，設(shè)直線CF與平面所成角為，，解得或（舍去），，此時(shí)點(diǎn)F是的三等分點(diǎn)，所以在線段上是存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值等于.20、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用點(diǎn)到面的距離公式即可算出答案；（2）先求出兩個(gè)面的法向量，然后用二面角公式即可.【小問1詳解】∵平面平面∴PB⊥AB,PB⊥BC,又兩兩互相垂直,所以，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，D(3,6,0),A(0,6,0)設(shè)平面的一個(gè)法向量所以n?PD令，可得記點(diǎn)到平面的距離為，則d=【小問2詳解】由(1)可知平面的一個(gè)法向量為平面的一個(gè)法向量為設(shè)二面角的平面角為由圖可知，21、（1）；（2）﹒【解析】(1)根據(jù)題意，作出圖像，可得，由此可知M的軌跡C為以O(shè)、A為焦點(diǎn)的橢圓；(2)分為l斜率存在和不存在時(shí)討論，斜率存在時(shí)，直線方程和橢圓方程聯(lián)立，用韋達(dá)定理表示的面積，根據(jù)變量范圍可求面積的最大值﹒【小問1詳解】以O(shè)A中點(diǎn)G坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：∴可知，，設(shè)折痕與和分別交于M，N兩點(diǎn)，則MN垂直平分，∴，又∵，∴，∴M的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸的橢圓．∴M的軌跡方程C為；【小問2詳解】設(shè)，，則的周長(zhǎng)為當(dāng)軸時(shí)，l的方程為，，，當(dāng)l與x軸不