重復測量資料的方差分析

成組設計（單因素）方差分析例1.試比較下列各組鼠脾中DNA含量（mg/g）有無差別？

表1.不同類型白血病鼠脾中DNA含量（mg/g）（脾DNA.sav）DNA含量（mg/g）正常鼠12.3，13.2，13.7，15.2，15.4，15.8，16.9，17.3自發(fā)性白血病鼠10.8，11.6，12.3，12.7，13.5，13.5，14.8移植白血病鼠9.8，10.3，11.1，11.7，11.7，12.0，12.3，12.4，13.6模型：Yij=μ+αi+εij其中：Yij表示第i組的第j個觀察值，μ表示總體均數(shù)，αi表示第i組的效應，εij表示各個觀察值的隨機誤差。變異分解：SS總=SS組間+SS組內(nèi)或：SS總=SS處理+SS誤差配伍設計（雙因素）方差分析例2.放置不同時間的血濾液所含血糖濃度是否有區(qū)別？

表2.放置不同時間的血濾液所含血糖濃度(mmol/L)(血糖濃度1.sav)受試者編號放置時間（分）（i）j0459013515.275.274.494.6125.275.224.884.6635.885.835.385.0045.445.385.275.0055.665.445.384.8866.226.225.615.2275.835.725.384.8885.27

5.11

5.00

4.44

模型：Yij=μ+αi+βj+εij其中：Yij表示第i組的第j個觀察值，μ表示總體均數(shù)，αi表示處理因素第i組的效應，βi表示配伍因素第j組的效應，εij表示各個觀察值的隨機誤差。變異分解：SS總=SS處理組+SS配伍組+SS誤差配伍設計（雙因素）方差分析本資料用雙因素方差分析存在的問題：同一個體在不同時間點的測量值具有相關性。(血糖濃度2.sav)表5.例2中各時間點血糖濃度的相關系數(shù)時間（分）0459013501.000.980.840.86450.981.000.760.87900.840.761.000.801350.860.870.801.00重復測量資料重復測量(repeatedmeasure)是指對同一研究對象的同一觀察指標在不同時間（或地點、實驗條件等）進行的多次測量。同一個體在不同時間的測量常常具有相關性，不滿足一元方差分析對獨立性的要求，需要對結(jié)果進行校正。如果重復測量數(shù)據(jù)之間實際上不存在相關性，則一元和多元方差分析的結(jié)果是一致的，這時稱數(shù)據(jù)符合Huynh-Feldt條件。第一節(jié)重復測量資料方差分析

對協(xié)方差陣的要求重復測量資料方差分析的條件：

1.正態(tài)性處理因素的各處理水平的總體均數(shù)服從正態(tài)分布；2.方差齊性相互比較的各處理水平的總體方差相等；3.各時間點組成的協(xié)方差陣(covariancematrix)具有球形性(sphericity)特征（符合Huynh-Feldt條件）。。Box(1954)指出，若球形性質(zhì)得不到滿足，則方差分析的F值是有偏的，這會造成過多的拒絕本來是真的無效假設（即增加了I型錯誤）。協(xié)方差矩陣的球形性上式主對角線元素表示各時間點上的方差，其它元素表示不同時間點之間的協(xié)方差。有n個受試對象，p個測量時間點，設j、k為兩個測量時點，s2jk代表協(xié)方差陣中的元素。當j=k時為方差，j≠k時為協(xié)方差。則全部方差和協(xié)方差按時點順序排成協(xié)方差陣V為：協(xié)方差陣符合球形性質(zhì)是指該矩陣主對角元素相等、非主對角元素（協(xié)方差）為零。協(xié)方差相等也表示相關系數(shù)相等，即不同時間點不存在相關。對于重復測量資料來說，上述條件可適當放寬，符合Huynh-Feldt條件即可,即ss2jj+ss2kk-2s2jk=c,其中c為常數(shù)。稱為協(xié)方差矩陣具備H型結(jié)構(gòu)球形對稱的檢驗用Mauchly法檢驗協(xié)方差陣是否為H形H0：資料符合球形要求計算得到的P值若大于顯著性水準α時，說明協(xié)方差陣的球形性質(zhì)得到滿足。例2.放置不同時間的血濾液所含血糖濃度(mmol/L)是否有區(qū)別？

受試者編號放置時間（分）（j）i0459013515.275.274.494.6125.275.224.884.6635.885.835.385.0045.445.385.275.0055.665.445.384.8866.226.225.615.2275.835.725.384.8885.27

5.11

5.00

4.44

SPSS球形檢驗結(jié)果如下圖所示，P=0.027<0.05，資料不符合Huynh-Feldt條件，不滿足球形性要求。如果球形條件不滿足常有以下兩種方法解決：1.采用MANOVA（多變量方差分析方法）2.對重復測量ANOVA檢驗結(jié)果中與時間有關的F值的自由度進行調(diào)整（調(diào)小）第二節(jié)單因素重復測量資料的

方差分析根據(jù)上述例2數(shù)據(jù)，畫出全部8名受試對象的血糖濃度隨時間變化的線圖如下：根據(jù)上述例2數(shù)據(jù)，畫出全部8名受試對象的血糖濃度均數(shù)隨時間變化的線圖如下：重復測量資料的方差分析思想：將總變異分解為個體間（betweensubjects）變異與個體內(nèi)（withinsubject）變異，其中個體內(nèi)變異是與重復因素有關的變量。模型：Yij=μ+αi+βj+εij其中：Yij表示第i個受試對象組的第j個時間點的觀察值，μ表示總體均數(shù)，αi表示受試者間效應，βj表示個體內(nèi)（第j時間點）的效應，εij表示各個觀察值的隨機誤差。i=1,2,…,n,j=1,2,…,p變異分解：SS總=SS受試者間+SS受試者內(nèi)+SS誤差ν總=np-1ν受試者間=n-1ν受試者內(nèi)=p-1ν誤差=(n-1)(p-1)分析步驟（例2資料）：檢驗假設：令μj為第j時間點反應變量的總體均數(shù)，H0：μ1=μ2=…=μpH0：μj≠μk，至少有一個不等式成立α=0.05此計算結(jié)果和配伍設計的方差分析結(jié)果完全一致，但前面所做球形檢驗結(jié)果表明球形性不滿足，所以不能直接使用，需要調(diào)整自由度。根據(jù)Greenhouse-Geisser系數(shù)0.647調(diào)整自由度：分子自由度：0.647×3≈2分母自由度：0.647×21≈14查F界值表得調(diào)整后的F界值為：F0.05（2,14)=3.74（大于調(diào)整前的F界值）本例F=51.18>F界值，故P<0.05，不同時間點的血糖濃度有區(qū)別SPSS輸出結(jié)果：(血糖濃度2.sav)第三節(jié)兩因素重復測量資料的

方差分析

兩因素重復測量資料中的兩因素是指一個組間因素（處理因素）和一個組內(nèi)因素（時間因素）。組間因素是指實驗分組或不同研究類型對象，它把所有受試對象按分類變量的水平分為幾個組。組內(nèi)因素是指重復測量的時間變量。前述單因素例子指只包括組內(nèi)因素（時間），而沒有組間因素的重復測量。例3一項藥物代謝動力學研究，目的是對比某種藥物的不同劑型在體內(nèi)的代謝速度。劑型分膠囊型和片劑型。將16名受試對象隨機分為兩組，每組8名。一組給予膠囊，另一組給予片劑，分別在服藥后1、2、4、6及8小時測定血中的藥物濃度。測定結(jié)果見表6。(藥物濃度.sav)表6某藥兩種不同劑型在血中的濃度（μg/ml）劑型（i）受試者k服藥后測定時間（j）Tik1（1h）2（2h）3（4h）4（6h）5（8h）膠囊型i=119.7354.6155.9146.8147.56214.6225.5050.8779.9062.3755.03253.6737.9623.4364.1056.0045.15196.6442.3718.6573.1076.0560.80230.9752.3755.2493.3565.4762.37278.8066.5032.0873.4576.2760.23248.5378.34132.1102.097.8392.83433.1081.805.4085.8073.9560.14227.09T1j44.57372.38627.61554.75484.112083.09片劑型i=2114.6629.0048.8852.2431.65176.4320.8425.0053.8044.2532.38156.2730.6817.3464.5661.6055.80199.9842.1414.1069.7766.6554.43207.0952.3053.4073.8362.0057.31248.8466.1725.8545.8053.2347.95179.0272.4553.3058.8057.8071.10243.4581.5844.0030.3070.2067.06213.14T2j30.82261.99445.74467.99417.681624.22Tj75.39634.371073.351022.74901.793707.64組間因素是藥物劑型，i（i＝1，2，…，g）為組間因素的分組號；組內(nèi)因素是測定時間。j（j＝1，2，…，p）為測定時間點的序號，k（k＝1，2，…，ni）為組間因素第i水平的受試對象號，受試對象總數(shù)為n1＋n2＋…＋ng。當各ni相等時，則用n代替ni。測量值總個數(shù)N＝g×n×p．本例g＝2；各組受試對象數(shù)n＝8，p＝5，受試對象總數(shù)為2×8＝16例，測量值總個數(shù)N＝80。方差分析模型

一個組間因素，一個組內(nèi)因素的方差分析模型為：Yijk＝μ+αi+βi+（αβ）ij+δ（i）k+εijk模型中各參數(shù)的意義是：μ為總體平均值；αi為處理組i的效應；βi為第j個測定時間點的效應；（αβ）ij為第i組在第j個測定時點上的效應，屬交互作用，為固定效應；δ（i）k為第i組第k個觀察對象的效應，屬隨機效應；εijk為誤差項。

變異分解：SS總=SS處理組間+

SS受試者間+SS受試者內(nèi)（時間）+SS處理×時間+SS誤差組間變異組內(nèi)變異雙因素方差分析的步驟和單因素一樣，依次計算離均差平方和、自由度、均方和F值，從而得到P值。1.檢驗假設，這里共有三個假設：（1）處理組效應：H0：μ1=μ2=…=μg（2)時間效應：H0：μ1=μ2=…=μp(3)處理*時間交互作用：H0：略2.確定α水平3.計算F值，計算公式如下：其中均方MS由各個SS除以相應的自由度得到。方差分析的步驟表7.各種離均差平方和、自由度及均方的計算公式離均差平方和自由度v總＝N-1v組間＝g-1V受試者間＝g(n-1)v組內(nèi)＝p-1v組間*組內(nèi)＝(g-1)(p-1)v誤差＝g(p-1)(n-1)表8例3的一個組間因素和一個組內(nèi)因素的方差分析表變異來源離均差平方和自由度均方FPr>F調(diào)整概率G-G法處理組間(劑型)2635.8112635.814.030.0645受試者間9163.5514654.54組內(nèi)(時間)41880.79410470.2050.77<0.001<0.001處理×時間951.194237.801.150.34130.3312誤差11548.6456206.12合計66179.98794.確定P值并作出統(tǒng)計推斷在查閱F界值表或SPSS輸出的P值前，需檢驗球形性，如不滿足，則要對組內(nèi)效應和組間*組內(nèi)交互作用的自由度作出調(diào)整，調(diào)整系數(shù)可在以下兩個中選擇一個：如用G-G調(diào)整系數(shù)0.5172，可得：F組內(nèi)自由度：分子（組內(nèi)）：ν’1=0.5172×4=2.07≈2，分母（誤差項）：ν’2=0.5172×56=28.96≈29.0，F(xiàn)組間*組內(nèi)自由度：分子（組內(nèi)）：ν’1=0.5172×4=2.07≈2，分母（誤差項）：ν’2=0.5172×56=28.96≈29.0，根據(jù)調(diào)整后自由度查F界值表得：F0.05（2，29）=3.33組間效應不需調(diào)整自由度，根據(jù)原自由度查表得：F0.05（1，14）=4.60結(jié)果處理組間P=0.0645，不同劑型藥物的血液濃度差別無統(tǒng)計學意義；組內(nèi)（時間）P<0.001，不同時間的血液濃度差別有統(tǒng)計學意義；組間*組內(nèi)交互P=0.34，劑型與時間無明顯的交互作用。SPSS球形檢驗結(jié)果：SPSS方差分析結(jié)果：組內(nèi)檢驗結(jié)果：包括時間（time）、時間和組間交互項、誤差項。提供了未調(diào)整自由度和3種方法調(diào)整自由度后的結(jié)果。SPSS方差分析結(jié)果：組間檢驗結(jié)果：包括組間（劑型）和受試者間的結(jié)果。這里Error項即受試者間。SPSS多元方差分析結(jié)果（了解）：前面提到，如資料不滿足球形性要求，可用多元方差分析。SPSS提供四種多元檢驗結(jié)果，一般來說，如果各方法間結(jié)果不同，推薦使用Pillai’sTrace的結(jié)果。第四節(jié)趨勢分析(trendanalysis)

趨勢分析:*分析某項觀察指標在整個時間區(qū)間內(nèi)的變化趨勢;*對比不同處理組在趨勢上的差異。分析方法:建立應變量（觀測指標）與時間關系的模型，最常用的是一種經(jīng)驗近似----多項式函數(shù)（polynomialfunction），其不要求資料的協(xié)方差陣滿足球形性條件。

一般的多項式回歸模型可表示為：本課所介紹的多項式曲線是采用正交多項式系數(shù)來配合模型。其模型結(jié)構(gòu)為：

模型中的是在（r）階下對第j時點平均值的預報值，Cj(1)，…，Cj(r)是從第（1）階起直到（r）階的第j個正交多項式系數(shù)。β0，β1，…，βr為模型參數(shù)，從實際資料中求得它們的估計值，b0，b1，…，br。設測定的時間點有p個，從理論上講，冪的階次可以達到r＝p。在這種情況下，理論模型與觀察資料完全一致。但在實際工作中，一般取冪的階次r≤（p-1）。當r＝1時為線形模型。多項式曲線模型對于單因素資料來說，多項式曲線作趨勢分析是檢驗觀察指標是否存在某種曲線變化趨勢，并可給出模型參數(shù)；對于多因素資料來說，多項式曲線作趨勢分析主要是比較兩個或多個組（如治療組與對照組或不同的治療組）之間的曲線變化趨勢是否一致。方法是將趨勢比較轉(zhuǎn)換為兩個/多個組參數(shù)之間的比較。如果任何一對參數(shù)之間的差別具有統(tǒng)計學意義，就可認為這兩條曲線的趨勢不一致。如果例3中的劑型與時間之間存在交互作用，則表示隨著時間的改變，不同劑型的血藥濃度變化不一致，即劑型影響血藥濃度的時間變化趨勢。（本例實際檢驗得出交互作用無統(tǒng)計學意義，可初步認為血藥濃度的變化不受劑型影響。）

變異來源階次(r)離均差平方和自由度均方FP時間1階（線性）26039.844126039.844181.972<0.0012階15269.934115269.934138.939<0.0013階15.413115.4130.0440.837

4階555.5971555.5972.5260.134時間×處理組1階（線性）41.749141.7490.2920.5982階716.1801716.1806.5160.0233階62.425162.4250.1770.680

4階130.8361130.8360.595