北師大版高中數(shù)學二課時作業(yè)7簡單幾何體的再認識3

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課時作業(yè)13球｜基礎鞏固|(25分鐘，60分)一、選擇題（每小題5分，共25分）1．已知兩個球的半徑之比為1：3，那么這兩個球的表面積之比為（）A．1：9B．1：27C．1:3D．1：1解析：設兩球的半徑分別為r1,r2，表面積分別為S1，S2,∵r1:r2＝1：3，∴S1：S2＝4πreq\o\al(2,1):4πreq\o\al（2，2）＝req\o\al（2，1）:req\o\al(2，2)＝1:9.故選A。答案:A2．已知正方體、球、底面直徑與母線相等的圓柱，它們的表面積相等,則它們的體積的大小關系是()A．V正方體＝V圓柱＝V球B．V正方體<V圓柱<V球C．V正方體〉V圓柱>V球D．V圓柱〉V正方體>V球解析：設正方體的棱長、球的半徑、圓柱底面圓的半徑分別為a,R，r,則S正方體＝6a2,S球＝4πR2，S圓柱＝6πr2，由題意,知S正方體＝S球＝S圓柱,所以a＝eq\r(π）r,R＝eq\r（\f(3，2)）r，所以V正方體＝a3＝πeq\r（π)r3,V球＝eq\f(4，3)πR3＝eq\r(6)πr3，V圓柱＝2πr3,顯然可知V正方體<V圓柱<V球．答案:B3．(2016·廣州市綜合測試(一）)一個六棱柱的底面是正六邊形，側棱垂直于底面,所有棱的長都為1，頂點都在同一個球面上,則該球的體積為(）A．20πB。eq\f(20\r(5）π，3)C．5πD.eq\f(5\r（5）π,6）解析：由題意知六棱柱的底面正六邊形的外接圓半徑r＝1，其高h＝1，∴球半徑為R＝eq\r（r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（h,2)）)2）＝eq\r（1＋\f(1，4))＝eq\r（\f（5,4）)，∴該球的體積V＝eq\f（4，3)πR3＝eq\f（4,3)×eq\f(5,4）eq\r(\f(5，4))π＝eq\f(5\r（5)π,6）.答案:D4．設球內切于圓柱,則此圓柱的全面積與球的表面積之比為（)A．1:1B．2：1C．3：2D．4：3解析：如圖為球的軸截面,由題意，設球的半徑為r，則圓柱的底面圓半徑為r，圓柱的高為2r，于是圓柱的全面積為S1＝2πr2＋2πr·2r＝6πr2,球的表面積為S2＝4πr2。∴eq\f(S1，S2)＝eq\f(6πr2，4πr2）＝eq\f（3，2)。答案：C5。一個四面體的頂點都在球面上，它們的正視圖、側視圖、俯視圖都是右圖．圖中圓內有一個以圓心為中心邊長為1的正方形．則這個四面體的外接球的表面積是（)A．πB．3πC．4πD．6π解析：由三視圖可知：該四面體是正方體的一個內接正四面體．∴此四面體的外接球的直徑為正方體的對角線長eq\r(3)?！啻怂拿骟w的外接球的表面積為4π×(eq\f(\r(3）,2)）2＝3π。故選：B.答案：B二、填空題（每小題5分,共15分）6．已知三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC,PA＝3，底面ABC是邊長為2的正三角形，三棱錐P－ABC的體積為________．解析:依題意有，三棱錐P－ABC的體積V＝eq\f（1，3）S△ABC·｜PA｜＝eq\f（1,3)×eq\f（\r（3),4)×22×3＝eq\r（3）。答案:eq\r（3）7．把直徑分別為6cm,8cm，10cm的三個鐵球熔成一個大鐵球,則這個大鐵球的半徑為________cm。解析：設大鐵球的半徑為Rcm，由eq\f(4,3)πR3＝eq\f（4,3）π×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(6，2）））3＋eq\f(4,3)π×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（8，2）））3＋eq\f（4，3)π×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(10，2)））3,得R3＝216，得R＝6.答案:68．(2016·河源市高二（上)期中)湖面上漂著一個小球，湖水結冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為6cm，深為1cm的空穴，則該球半徑是________cm,表面積是________cm2。解析：設球心為O，OC是與冰面垂直的一條球半徑，冰面截球得到的小圓圓心為D,AB為小圓D的一條直徑，設球的半徑為R，則OD＝(R－1)cm，則（R－1）2＋32＝R2，解之得R＝5cm，所以該球表面積為S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．答案：5100π三、解答題（每小題10分，共20分）9．如圖所示，扇形所含中心角為90°,弦AB將扇形分成兩部分，這兩部分各以AO為軸旋轉一周，求這兩部分旋轉所得旋轉體的體積V1和V2之比．解析：△ABO旋轉成圓錐，扇形ABO旋轉成半球，設OB＝R.V半球＝eq\f(2，3)πR3，V錐＝eq\f(π，3)·R·R2＝eq\f(π，3）R3，∴（V半球－V錐)：V錐＝1：1.10．某甜品店制作一種蛋筒冰淇淋,其上半部分呈半球形，下半部分呈圓錐形(如圖）．現(xiàn)把半徑為10cm的圓形蛋皮等分成5個扇形，用一個扇形蛋皮圍成圓錐的側面（蛋皮厚度忽略不計)，求該蛋筒冰淇淋的表面積和體積．解析:設圓錐的底面半徑為r,高為h.∵2πr＝eq\f(2,5)π·10，∴r＝2。h＝eq\r(102－22）＝4eq\r（6)?！嘣摰巴脖苛艿谋砻娣eS＝eq\f（π·102,5）＋2π·22＝28π(cm2)．體積V＝eq\f(1,3)π·22×4eq\r（6）＋eq\f(2，3）π·23＝eq\f(16,3)(eq\r(6)＋1)π（cm3）．｜能力提升|(20分鐘,40分)11．球O的截面把垂直于截面的直徑分成13兩部分,若截面圓半徑為eq\r(3），則球O的體積為()A．16πB.eq\f(16π，3）C。eq\f(32π,3）D．4eq\r(3)π解析：設直徑被分成的兩部分分別為r、3r，易知(eq\r(3)）2＝r·3r，得r＝1，則球O的半徑R＝2，故V＝eq\f（4，3)π·R3＝eq\f(32,3）π。答案：C12．若圓錐的內切球與外接球的球心重合，且內切球的半徑為1，則圓錐的體積為________．解析：過圓錐的旋轉軸作軸截面，得△ABC及其內切圓⊙O1和外切圓⊙O2，且兩圓同圓心,即△ABC的內心與外心重合,易得△ABC為正三角形，由題意知⊙O1的半徑為r＝1,△ABC的邊長為2eq\r（3),于是知圓錐的底面半徑為eq\r（3)，高為3.故所求體積為V＝eq\f（1，3）×π×3×3＝3π.答案：3π13．如果一個幾何體的主視圖與左視圖是全等的長方形，邊長分別是4,2，如圖所示,俯視圖是一個邊長為4的正方形．(1）求該幾何體的表面積；（2)求該幾何體的外接球的體積．解:（1）由題意可知,該幾何體是長方體，其底面是邊長為4的正方形，高為2，因此該幾何體的表面積是2×4×4＋4×4×2＝64。(2)由長方體與球的性質，可得長方體的體對角線是其外接球的直徑，則外接球的半徑r＝eq\f(1,2）eq\r（42＋42＋22)＝3，因此外接球的體積V＝eq\f（4,3)πr3＝eq\f(4，3）×27π＝36π,所以該幾何體的外接球的體積是36π。14．（2017·大同一中高二(上)月考)如圖所示(單位：cm)四邊形ABCD是直角梯形，求圖中陰影部分繞AB旋轉一周所成幾何體的表面積和體積．解析：eq\f（1，2）S球＝eq\f（1,2)×4π×22＝8π(cm2），S圓臺側＝π（2＋5）eq\r(5－22＋42）＝35π（cm2)，S圓臺下底＝π×52＝25π(cm2),