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第第頁第十三章軸對稱拔高專題(等腰三角形)(含答案)第十三章軸對稱拔高專題(等腰三角形)

專題1利用“三線合一”作輔助線

1.如圖,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D為BC的中點,E,F分別是AB,AC上的點,且BE=

AF,求證:

(1)DE=DF;

(2)DE⊥DF.

2.如圖,在△ABC中,AB=AC,點D,E,F分別在BC,AB,AC上,且BD=CF,BE=CD,G是EF的中點.求證:DG⊥EF.

3.如圖,在△ABC,AB=AC,CD⊥AB于點D,試探究∠BAC與∠BCD之間的數(shù)量關系,并說明理由。

4.如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BD于點D,且BC=2BD.若∠DAB=20°,求∠BAC的度數(shù).

5.如圖,等腰△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點D在AB上,AD=AC,BE⊥CD交CD的延長線于

點E.

(1)求∠BCD的度數(shù);

(2)求證:CD=2BE.

專題2角平分線模型

1.如圖,在△ABC中,D為BC的中點,DE⊥BC交∠BAC的平分線AE于點E,EF⊥AB于點F,EG⊥AC交AC的延長線于點G,

求證:(1)BF=CG

(2)AB+AC=2AF

2.如圖,在△ABC中,AB=AC,D是AC的延長線上的一點,連接BD,點E在線段DB上,且∠BAC=∠CED,連接AE,判斷∠AEB與∠AEC的關系,并證明.

3.(1)如圖1,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=6,BD=4,那么點D到AB的距離是______,

(2)如圖2,已知∠1=∠2,∠3=∠4.求證:AP平分∠BAC.

4.如圖,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,乘足為E.求證:BD=2CE,

5.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,過點A作AF⊥BD于點F,在BD的延長線上取一點E,使∠ACE=∠FAD.求證:BD=2CE.

如圖,OA為第一象限的角平分線,點E在y軸上,∠OEF=∠AOF,FE⊥OF交OA于點M.

求證:EM=2OF.

7.如圖1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,點D是線段BC上一個動點,點F在線段AB上,且∠FDB=∠ACB.BE⊥DF,垂足E在DF的延長線上.

(1)如圖2,當點D與點C重合時,試探究線段BE和FD的數(shù)量關系,并證明你的結論;

(2)若點D不與點B,C重合,試探究線段BE和FD的數(shù)量關系,并證明你的結論.

8.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°。

(1)如圖1,BD平分∠ABC交AC于點D,F為BC上一點,連接AF交BD于點E.若AF⊥BD,求證:AD=CF;

(2)如圖2,BD平分∠ABC交AC于點D,CE⊥BD交BD的延長線于點E.探究線段CE和BD的數(shù)量關系,并說明理由;

∠EFC=∠B,CE⊥EF,

(3)如圖3,F為BC上一點,,垂足為E,EF與AC相交于點D.探究線段CE和DF的數(shù)量關系,并說明理由.

9.如圖,在四邊形ABCD中,BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC.求證:∠BAD+∠C=180°.

10.如圖,在△ABC中,∠A=2∠B,CD平分∠ACB,且AC=6,AD=2.求BC的長.

11.如圖,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于點D,點E在線段CD上,且∠EAC=2∠EBC.求證:AE+AC=BC.

12.如圖,在△ABC中,AD是△BAC的外角平分線,P是AD上異于點A的任意一點,試比較PB+PC與AB+AC的大小,并說明理由.

13.如圖,在△ABC中,AB=AC,點D在AB上,AD=CD=CB.

(1)求證:CD平分∠ACB;

(2)點E在AC上,EF⊥CD交BC于點F.求證:AE=DB+BF.

14.在四邊形ABCD中,AE平分∠BAD,E為BC的中點,∠AED=a.

(1)如圖1,當α=90°時,求證:AD=AB+CD;

(2)如圖2,當α=120°,且DE平分∠ADC時,探究線段AB,BC,CD,AD之間的數(shù)量關系,并說明理由.

專題3等腰直角三角形與全等

例.在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,E為直線BC上一點,EF⊥AE且EF=AE,連接CF.

(1)如圖1,若點E在線段BC上,點F在直線BC的上方,求∠FCE的度數(shù);

(2)如圖2,若點E在CB的延長線上,點F在直線BC的下方,求∠FCE的度數(shù);

(3)如圖3,若點E在BC的延長線上,點F在直線BC的上方,完成作圖,并求∠FCE的度數(shù).

1.如圖1,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,過點C在△ABC外作直線MN,且AM⊥MN于點

M,BN⊥MN于點N.

(1)求證:MN=AM+BN;

(2)如圖2,過點C在△ABC內(nèi)作直線MN,且AM⊥MN于點M.BN⊥MN于點N.猜想AM,BN與MN之間的數(shù)量關系,并證明.

2.(1)如圖1,△ABC為等腰直角三角形,AC=BC,AC⊥BC,點A(0,3),C(1,0),求點B的坐標;

(2)如圖2,△ABC為等腰直角三角形,AC=BC.AC⊥BC,點A(-1,0),C(1,3),求點B的坐標;

(3)如圖3,△ABC為等腰直角三角形,AC=AB,AC⊥AB,點B(2,2),C(4,-2),求點A的坐標.

3.如圖1,OA=2,OB=4,以點A為頂點、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC.

(1)求點C的坐標;

(2)如圖2,OA=2,P為y軸的負半軸上一個動點,當點P在y軸的負半軸上沿負方向運動時,以點P為頂點,PA為腰作等腰Rt△APD,過點D作DE⊥x軸于點E,求OP-DE的值;

(3)如圖3,已知點F的坐標為(-2,-2),當點G在y軸的負半軸上沿負方向運動時,作等腰Rt△FGH,始終保持∠GFH=90°,FG與y軸的負半軸相交于點G(0,m),FH與x軸的正半軸相

交于點H(n,0).以下兩個結論:①m-n為定值;②m+n為定值.其中只有一個結論是正確的,請找出正確的結論,并求出其值.

4.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D為BC上一點,過點D作DE⊥AD,且DE=AD,連接

BE,求∠DBE的度數(shù).

5.我們知道,如果兩個三角形全等,則它們的面積相等,而兩個不全等的三角形,在某些情況下,可通過證明等底等高來說明它們的面積相等.已知△ABC與△DEC都是等腰直角三角形,

∠ACB=∠DCE=90°,連接AD,BE.

(1)如圖1,當∠BCE=90°時,求證:=;

(2)如圖2,當0°AB+AC.理由如下:

如圖,在BA的延長線上取一點E,使AE=AC,連接EP.

由AD是△BAC的外角平分線可知,∠CAP=∠EAP.

在△ACP與△AEP中,AC=AE,∠CAP=∠EAP,AP=AP,

∴△ACP≌△AEP(SAS).∴PC=PE.

∵在△BPE中,PB+PE>BE,又BE=AB+AE=AB+AC,∴PB+PE>AB+AC.∴PB+PC>AB+AC

4.證明:(1)∵AD=CD=CB,AB=AC,∴∠A=∠ACD,∠CDB=∠CBD=∠ACB.

設∠A=∠ACD=x,∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=2x,

∵∠A+∠ACB+∠ABC=5x=180°,∴x=36°.∴∠A=∠ACD=36°,∠CDB=∠CBD=∠ACB=72°.

∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=36°=∠ACD.∴CD平分∠ACB.

如圖,在AE上截取ET=BF,連接DT.

∵EF⊥CD,CD平分∠ACB,∴∠CGE=∠CGF=90°,∠ECG=∠FCG.

在△CEG和△CFG中,∠CGE=∠CGF,CG=CF,∠ECG=∠FCG,

∴△CEG≌△CFG(ASA).∴CE=CF.∵ET=BF,∴CT=CB.

在△CTD和△CBD中,CT=CB,∠ECG=∠FCG,CD=CD,

∴△CTD≌△CBD(SAS).∴DT=DB,∠CTD=∠CBD=72°.

∴∠CTD=∠A+∠TDA=72°.∴∠TDA=36°.∴∠TDA=∠A.∴TA=TD=DB.

∴AE=AT+ET=DB+BF.∴AE=DB+BF.

5.解:(1)證明:如圖1,在AD上截取AF=AB,連接EF.

∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠FAE.

在△ABE和△AFE中,AB=AF,∠BAE=∠FAE,AE=AE,

∴△ABE≌△AFE(SAS).∴∠AEB=∠AEF,BE=FE.

∵E為BC的中點,∴BE=CE.∴FE=CE.

∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°,∴∠AEB+∠DEC=90°.∴∠DEF=∠DEC.

在△DEF和△DEC中,F(xiàn)E=CE,∠DEF=∠DEC,DE=DE,

∴△DEF≌△DEC(SAS).∴FD=CD.∵AD=AF+FD,∴AD=AB+CD.

(2)AD=AB+CD+BC.理由如下:

如圖2,在AD上截取AG=AB,DH=DC,連接EG,EH,

∵E為BC的中點∴BE=CE=BC.

由(1),得△ABE≌△AGE,△DEH≌△DEC.

∴BE=GE,∠AEB=∠AEG,CE=HE,∠CED=∠HED.

∵BE=CE,∴GE=HE,∵∠AED=120°,∴∠AEB+∠CED=180°-120°=60°.

∴∠AEG+∠HED=60°∴∠GEH=60°.∴△EGH是等邊三角形。

∴GH=GE=BE=BC.∵AD=AG+HD+GH,∴AD-AB+CD+BC.

專題3等腰直角三角形與全等

例:解:(1)如圖1,過點F作FM⊥BC,交BC的延長線于點M.

∴∠B=∠M=90°,∵EF⊥AE,∴∠AEB+∠MEF=180°-90°=90°.

∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°?!唷螧AE=∠MEF.

在△ABE和△EMF中,∠BAE=∠MEF,∠B=∠M,AE=EF,

∴△ABE≌△EMF(AAS).∴RE=MF,AB=EM.

∵AB=BC,∴CM=EM-EC=AB-EC=BC-EC=BE.∴CM=MF.

∴△CMF是等腰直角三角形?!唷螰CM=45°.

∴∠FCE=180°-∠FCM=180°-45°=135°.

(2)如圖2,過點F作FM⊥BC于點M.

∴∠ABC=∠ABE=∠EMF=90'.∵EF⊥AE,∴∠AEF=90°.∴∠AEB+∠MEF=90°.

∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°.∴∠BAE=∠MEF.

在△ABE和△EMF中,∠BAE=∠MEF,∠ABE=∠EMF,AE=EF,

∴△ABE≌△EMF(AAS).∴BE=MF,AH=EM,

∵AB=BC,∴CM=EC-EM=EC-AB=EC-BC-BE.∴CM=MF,

∴△CMF是等腰直角三角形。∴∠FCM=45°,即∠FCE=45°.

(3)如圖3,過點F作FM⊥BC,交BC的延長線于點M,

∵EF⊥AE,∴∠AEB+∠MEF=180°-90°=90°.

∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°.∴∠BAE=∠MEF.

在△ABE和△EMF中,∠BAE=∠MEF,∠B=∠M,AE=EF,

∴△ABE≌△EMF(AAS).∴BE=MF,AB=EM.

∵AB=BC,∴CM=EM+EC=AB+EC=BC+EC=BE.∴CM=MF

∴△CMF是等腰直角三角形。∴∠FCM=45°,即∠FCE=45°。

解;(1)證明:∵AM⊥MN,BN⊥MN,∴∠AMC=∠CNB=90°.∴∠MAC+∠ACM=90°.

∵∠ACB=90°,∴∠NCB+∠ACM=90°.∴∠MAC=∠NCB.

∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC。

∴△AMC≌△CNB(AAS).∴AM=CN,MC=NB

∵MN=NC+MC,∴MN=-AM+BN.

(2)MN=BN-AM.

證明;∵AM」MN,BN⊥MN,∴∠AMC=∠CNB=90°.∴∠MAC+∠ACM=90°.

∵∠ACB=90°,∴∠NCB+∠ACM=90°.∴∠MAC=∠NCB.

∴△AMC≌△CNB(AAS).∴AM=CN,MC=NB,∵MN=CM-CN,∴MN=BN-AM

2.解:(1)如圖1,過點B作BD⊥x軸于點D.∴∠BDO=90°.

∵∠ACB=∠AOC=90°,∴∠0AC+∠OCA=90°,∠OCA+∠DCB=90°.∴∠OAC=∠DCB.

∴△AOC≌△CDB(AAS).∴AO=CD.CO=BD.

∵A(0,3),C(1,0),∴AO=3,CO=1.

∴BD=1,0D=4.∴點B的坐標為(4,1)。

(2)如圖2,過點C作CD⊥x軸于點D,過點B作BE⊥CD于點E.

∴∠ADC=∠CEB=90°.∵∠ACB=∠ADC=90°,

∴∠DAC+∠DCA=90°,∠DCA+∠ECB=90°.∴∠DAC=∠ECB.

∴△ACD≌△CBE(AAS).∴AD=CE,CD=BE.

∵A(-1,0),C(1,3)∴AD=2,CD=3,0D=1.

∴CE=2.BE=3.∴DE=CD-CE=1.∴點B的坐標為(4,1).

(3)如圖3,過點A作AD//y軸,過點B作BD⊥AD于點D,過點C作CE⊥AD于點E.

∴∠ADB=∠CEA=90°.∵∠ADB=∠BAC=90°,

∴∠DAB+∠DBA=90°,∠DAB+∠EAC=90°.∴∠DBA=∠EAC.

∴△ABD≌△CAE(AAS)?!郆D=AE,AD=CE.設A(x;y),

∵B(2,2),C(4,-2),∴2-x=y+2,2-y=4-x.

∴x=1,y=-1.∴點A的坐標為(1,-1).

3.解:(1)如圖1,過點C作CM⊥x軸于點M.

∵CM⊥OA,AC⊥AB,∴∠CMA=∠CAB=∠AOB=90°.

∴∠MAC+∠OAB=90°,∠OAB+∠OBA=90°.∴∠MAC=∠OBA.

∴△MAC≌△OBA(AAS).∴AM=BO=4,CM=AO=2.

∴OM=0A+AM=2+4=6.∴點C的坐標為(-6,-2).

(2)如圖2,過點D作DQ⊥OP于點Q.

∵DQLOP,DE⊥OE,∠POE=90°,∴DE//OP,OE//DQ,∠AOP=∠PQD.

∴OE=QD,DE=0Q.∴OP=PQ+0Q=DE+PQ.

∵∠APO+∠QPD=90°,∠APO+∠OAP=90°,∴∠QPD=∠OAP.

∴△AOP≌△PQD(AAS).∴OP=OA=2.∴OP-DE=PQ=2.

(3)結論②是正確的.

如圖3,過點F分別作FS⊥x軸于點S,FT⊥y軸于點T.

∵F(-2,-2),∴FS=FT=2,∠FSH=∠FTG=∠SOT=90°.∴∠SFT=∠HFG=90°.

∴∠SFH=∠TFG.∴△FSH≌△FTG(ASA).∴HS=GT.

∵G(0,m),H(n,0),點F的坐標為(-2,-2)。

∴OT=OS=2.OG=|m|=-m.OH=n.∴GT=OG-0T=-m-2,HS=OH+OS=n+2.

∴-m-2=n+2.∴m+n=-4.

4.解:如圖,作AM⊥BC于點M,作EN1BC于點N.∴∠AMD=∠END=90°.

∵AB=AC,

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