浙教版七年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末專項復(fù)習(xí) 專題04因式分解（含解析）

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專題04因式分解

注意事項∶

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙規(guī)定的位置上．

2.所有答案都必須寫到答題卷上．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆書寫，字體要工整，筆跡要清楚．

3．本試卷分試題卷和答題卷兩部分，滿分100分．考試時間共90分鐘．

一、單選題（共30分）

1．下列等式中，從左到右的變形中是因式分解的是（）

A．B．

C．D．

2．若，則代數(shù)式A的值為（）

A．B．C．D．

3．把多項式分解因式，提公因式后，另一個因式是（）

A．B．C．D．

4．把分解因式的結(jié)果為（）

A．B．

C．D．

5．多項式可以因式分解成，則的值是（）

A．2B．-2C．5D．-5

6．設(shè)n為某一自然數(shù)，代入代數(shù)式計算其值時，四個學(xué)生算出了下列四種結(jié)果，其中正確的結(jié)果是（）

A．2180B．2181C．2184D．2183

7．已知，，，那么的值等于（）

A．0B．1C．2D．3

8．已知，則代數(shù)式的值為（）

A．-1B．10C．6D．-4

9．如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“和平數(shù)”．如因此4，12這兩個數(shù)都是“和平數(shù)”．介于1到301之間的所有“和平數(shù)"之和為（）

A．5776B．4096C．2023D．108

10．已知滿足，則的值為（）

A．1B．－5C．－6D．－7

二、填空題（共21分）

11．因式分解：．

12．若，則＝．

13．已知a+b=2，ab=1，則a3b+ab3=．

14．把多項式-16x3+40x2y提出一個公因式-8x2后，另一個因式是．

15．已知，則的值為．

16．已知a﹣b＝﹣5，ab＝﹣2，則（a+b）（a2﹣b2）的值為．

17．計算：.

三、解答題（共49分）

18．因式分解：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

19．規(guī)劃局準(zhǔn)備給“M”型內(nèi)部鋪上草坪，其結(jié)構(gòu)如圖所示（單位：米）．

（1）至少需要多少平方米草坪？（用x，y的代數(shù)式表示，結(jié)果要化簡）

（2）當(dāng)米，米時，求草坪地面積．

20．教科書中這樣寫道：“我們把多項式及叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等問題．

；

求代數(shù)式的最小值，．

可知當(dāng)時，有最小值，最小值是，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：

（1）分解因式：________．

（2）當(dāng)x為何值時，多項式有最小值？并求出這個最小值．

（3）已知是三邊的長，且滿足，求三邊的長．

21．如圖，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為的大正方形，兩塊是邊長都為的小正五形，五塊是長為，寬為的全等小長方形．且．（以上長度單位：）

（1）觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解為________．

（2）若每塊小長方塊的面積為，四個正方形的面積和為．

①試求圖中所有裁剪線（虛線部分）長度之和；

②求的值．

22．若一個三位數(shù)滿足個位數(shù)字與百位數(shù)字的和等于十位數(shù)字，則稱這個三位數(shù)為“友善數(shù)”；若兩個“友善數(shù)”所含數(shù)字相同，只是數(shù)字所在的數(shù)位不同，則稱這兩個“友善數(shù)”互為“友善數(shù)”．如：三位數(shù)132，百位數(shù)字是1，十位數(shù)字是3，個位數(shù)字是2恰好1+2＝3，所以132是“友善數(shù)”，容易判斷231與132是互為“友善數(shù)”．

根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：

（1）直接寫出最小的“友善數(shù)”和最大的“友善數(shù)”；

（2）已知一個“友善數(shù)”（百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個位數(shù)字為c，且c≠0），請用含b的代數(shù)表示與它的“友善數(shù)”的和．

23．我們知道，任意一個正整數(shù)都可以進行這樣的分解：（是正整數(shù)，且），在的所有這種分解中，如果兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱是的最佳分解，產(chǎn)規(guī)定：，例如：12可以分解成，，，因為，所以是12的最佳分解，所以.

（1）求；

（2）若正整數(shù)是4的倍數(shù)，我們稱正整數(shù)為“四季數(shù)”，如果一個兩位正整數(shù)，（，為自然數(shù)），交換個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字得到的新兩位正整數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為“四季數(shù)”，那么我們稱這個數(shù)為“有緣數(shù)”，求所有“有緣數(shù)”中的最小值.

參考答案：

1．A

【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個判斷即可．

【詳解】解：A、等式從左到右變形屬于因式分解，故本選項符合題意；

B、等式從左到右變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；

C、等式從左到右變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；

D、等式從左到右變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；

故選：A．

【點睛】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解．

2．A

【分析】利用提取公因式法進行因式分解，從而求解．

【詳解】解：

∴代數(shù)式A的值為

故選：A．

【點睛】本題考查提公因式法分解因式，掌握提取公因式的技巧準(zhǔn)確計算是解題關(guān)鍵．

3．A

【分析】找公因式的要點是：（1）公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)；（2）字母取各項都含有的相同字母；（3）相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的．在提公因式時千萬別忘了“-1”．

【詳解】解：

=，

∴另一個因式為，

故選A．

【點睛】本題考查了提公因式法因式分解，當(dāng)一個多項式有公因式，將其分解因式時應(yīng)先提取公因式，提取公因式后剩下的因式是用原多項式除以公因式所得的商得到的．

4．B

【分析】先將變?yōu)?，再提公因式分解因式即可?/p>

【詳解】解：

故答案選：B

【點睛】本題考查提公因式法分解因式，將變?yōu)槭墙忸}關(guān)鍵．

5．C

【分析】首先提取公因式（x+2），即可將原多項式因式分解，繼而求得m與n的值，則可求得答案．

【詳解】∵（x+2）（2x-1）-2（x+2）=（x+2）（2x-1-2）=（x+2）（2x-3），

∴m=2，n=-3．

∴m-n=2-（-3）=5；

故答案為：C．

【點睛】此題考查了提取公因式法分解因式的知識．注意找到公因式（x+2）是關(guān)鍵．

6．C

【分析】首先將n3-n因式分解，轉(zhuǎn)化為n（n-1）（n+1）．我們可推知n3-n的值是三個連續(xù)自然數(shù)的乘積．對于三個連續(xù)的自然數(shù)，最少有一個為偶數(shù)，因而n3-n的值必定是一個偶數(shù)．分析各選項，找出正確答案．

【詳解】解：∵n3-n=n（n2-1）=n（n-1）（n+1），

∴我們可見n3-n必為三個連續(xù)自然數(shù)的積，

由于三個連續(xù)自然數(shù)中必有一個為偶數(shù)，也就是說n3-n必為一個偶數(shù)，

又∵12×13×14=2184，

故選：C．

【點睛】本題綜合考查因式分解的應(yīng)用，三個連續(xù)自然數(shù)的積為偶數(shù)等相關(guān)知識點，重點掌握因式分解的應(yīng)用．

7．D

【分析】根據(jù)，，，分別求出a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式將題目中的式子變形，即可完成．

【詳解】解：∵，，，

∴

故選D．

【點睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．

8．D

【分析】首先把已知條件化為，然后再把式子進行變形，分解因式，逐步將代入所變形的式子，即可得到答案．

【詳解】解：∵，

∴，

∴

=

=

=

=

=

=2×3-10

=6-10

=-4．

故選：D．

【點睛】此題主要考查了因式分解的應(yīng)用，又考查了代數(shù)式求值的方法，同時還隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運算的能力．

9．A

【分析】先用含的式子表示出“和平數(shù)”的規(guī)律，然后確定出介于到之間的最后一個“和平數(shù)”是，最后利用和平數(shù)的特點對介于到之間的所有“和平數(shù)”之和進行化簡即可得解．

【詳解】解：設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為和（為自然數(shù)），則有

∵能被整除

∴“和平數(shù)”一定是的倍數(shù)

∴

∴介于到之間的最后一個“和平數(shù)”是

∴介于到之間的所有“和平數(shù)”之和為：

．

故選：A

【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用、數(shù)列求和，能確定出介于到之間的最后一個“和平數(shù)”是是解決問題的關(guān)鍵．

10．A

【分析】三個式子相加，化成完全平方式，得出的值，代入計算即可．

【詳解】解：∵，

∴（a2+2b）+（b2-2c）+（c2-6a）=7+（-1）+（-17），

∴a2+2b+b2-2c+c2-6a=-11

∴（a2-6a+9）+（b2+2b+1）+（c2-2c+1）=0，

∴（a-3）2+（b+1）2+（c-1）2=0

∴a-3=0，b+1=0，c-1=0，

∴a+b-c=3-1-1=1．

故選：A．

【點睛】本題考查了代數(shù)式求值和完全平方公式，解題關(guān)鍵是通過等式變形化成完全平方式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出的值，準(zhǔn)確進行計算．

11．．

【分析】兩次運用平方差公式進行因式分解即可得到答案．

【詳解】解：=．

故答案為：．

【點睛】本題考查了運用平方差公式分解因式，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．

12．

【分析】直接利用完全平方公式即可得出m的值．

【詳解】解：∵，

∴2（m3）＝8，

解得：m＝7．

故答案為7．

【點睛】此題主要考查了公式法因式分解，正確運用完全平方公式是解題關(guān)鍵．

13．1

【分析】先分解因式，再根據(jù)完全平方公式進行變形，最后代入求出即可．

【詳解】解：∵a+b=2，ab=1，

∴

=

=

=

=

故答案為：1．

【點睛】此題主要考查了提取公因式法的應(yīng)用，正確提取公因式是解題關(guān)鍵．

14．2x-5y##-5y+2x

【詳解】解：﹣16x3+40x2y

=﹣8x22x+（﹣8x2）（﹣5y）

=﹣8x2（2x﹣5y）

所以另一個因式為2x﹣5y

故答案為2x﹣5y

【點睛】本題考查了提公因式法分解因式，把多項式的各項寫成公因式與另一個因式相乘的形式是解題的關(guān)鍵．

15．

【分析】利用完全平方公式把方程的左邊化為平方和的形式，根據(jù)偶次方的非負(fù)性計算即可．

【詳解】解：∵，

∴，

∴，

∴x-2=0，y+=0，

∴x=2，y=，

∴x+y=2=，

故答案為：．

【點睛】本題考查的是完全平方公式與因式分解的應(yīng)用，偶次方的非負(fù)性，將所給式子合理轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．

16．-85

【分析】求出（a+b）2的值，再利用因式分解，整體代入求值即可．

【詳解】解：∵a﹣b＝﹣5，ab＝﹣2，

∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab=25﹣8＝17，

∴（a+b）（a2﹣b2）＝（a+b）（a+b）（a﹣b）＝（a+b）2（a﹣b）＝17×（﹣5）＝﹣85．

故答案為：-85

【點睛】本題考查完全平方公式、平方差公式、多項式乘以多項式的計算方法，掌握公式的結(jié)構(gòu)特征和計算方法是得出正確答案的前提．

17．

【分析】原式利用平方差公式分解，約分即可得到結(jié)果．

【詳解】解：原式

=

=，

故答案為

【點睛】此題考查了平方差公式，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．

18．（1）；（2）；（3）；（4）

【分析】（1）先提取公因式，然后利用乘法公式進行因式分解即可；

（2）結(jié)合提取公因式及平方差公式進行因式分解即可；

（3）利用提公因式法進行因式分解即可；

（4）結(jié)合提公因式法及平方差公式進行因式分解即可．

【詳解】解：（1）原式=；

（2）原式=；

（3）原式=；

（4）原式=．

【點睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．

19．（1）平方米；（2）10000平方米

【分析】（1）用一個大的橫向長方形的面積加上3個縱向長方形的面積即可；

（2）將x和y值代入計算即可．

【詳解】解：（1）由題意可得：

草坪的面積為=；

（2）

將x=51，y=49代入，

原式==10000平方米．

【點睛】本題考查了整式的混合運算，因式分解，正確表示出草坪的面積是解題的關(guān)鍵．

20．（1）；（2）；（3）

【分析】（1）先把配方，再利用平方差公式分解因式即可；

（2）把原式配方，根據(jù)平方的非負(fù)數(shù)性質(zhì)即可得答案；

（3）把原式分組配方，根據(jù)平方的非負(fù)數(shù)性質(zhì)即可求出的值．

【詳解】解：（1），

=x2-4x+4-9，

=（x-2）2-32，

=（x-2+3）（x-2-3），

=（x-5）（x+1），

故答案為：（x-5）（x+1）；

（2）原式，

，

∵（x-2）2≥0，

∴當(dāng)時，原式有最小值，最小值為-1；

（3），

∴，

∴，

∵，

∴，

解得：．

∴三邊的長分別為．

【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題時要注意配方法的步驟．注意在變形的過程中不要改變式子的值．

21．（1）（2m+n）（m+2n）；（2）①66cm；②41

【分析】（1）根據(jù)圖中的面積關(guān)系，兩個大正方形、兩個小正方形和5個長方形的面積之和等于大長方形的面積，據(jù)此可解；

（2）①根據(jù)題意可得mn，2m2+2n2，從而可得從而m2+n2，進而可求得m+n，結(jié)合圖形可得答案．

②根據(jù)m2+n2以及mn的值，結(jié)合完全平方公式計算即可．

【詳解】解：（1）觀察圖形，發(fā)現(xiàn)代數(shù)式：

2m2+5mn+2n2表示大長方形的面積，

則2m2+5mn+2n2=（2m+n）（m+2n）；

故答案為：（2m+n）（m+2n）；

（2）①若每塊小矩形的面積為20cm2，四個正方形的面積和為162cm2，

則mn=20cm2，2m2+2n2=162cm2，

∴m2+n2=81，

∴（m+n）2=81+20