湖南省長沙市寧鄉(xiāng)縣第十三中學2022年高三數學文聯(lián)考試卷含解析

湖南省長沙市寧鄉(xiāng)縣第十三中學2022年高三數學文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，定義域為，任意，點組成的圖形為正方形，則實數的值為(▲)A．

B．

C．

D．參考答案：D略2.已知向量，則“”是“”的 (A)充分不必要條件

(B)必要不充分條件 (C)充要條件

(D)既不充分也不必要條件參考答案：A3.已知O是坐標原點，雙曲線的兩條漸近線分別為l1，l2，右焦點為F，以OF為直徑的圓交l1于異于原點O的點A，若點B在l2上，且，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】KC：雙曲線的簡單性質．【分析】求出雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線的方程和圓的方程，聯(lián)立方程求出A，B的坐標，結合點B在漸近線y=﹣x上，建立方程關系求得A的坐標，設B（m，n），運用向量的坐標關系，結合B在漸近線上，可得a，c的關系，再由a=1，即可得到c，b，進而得到所求雙曲線的方程．【解答】解：雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程l1，y=x，l2，y=﹣x，F（c，0），圓的方程為（x﹣）2+y2=，將y=x代入圓的方程，得（x﹣）2+（x）2=，即x2=cx，則x=0或x=，當x=，y═?=，即A（，），設B（m，n），則n=﹣?m，則=（﹣m，﹣n），=（c﹣，﹣），∵，∴（﹣m，﹣n）=（c﹣，﹣），則﹣m=2（c﹣），﹣n=2?（﹣），即m=﹣2c，n=，即=﹣?（﹣2c）=﹣+，即=，則c2=3a2，由雙曲線可得a=1，c=，b=n==．則雙曲線的方程為x2﹣=1．故選：B．4.（5分）正項等比數列{an}中，a1a5+2a3a6+a1a11=16，則a3+a6的值為（）A．3B．4C．5D．6參考答案：B【考點】：等比數列的性質．【專題】：計算題．【分析】：根據等比中項的性質可知a1a5=a23，a1a11=a26，代入題設條件中求得（a3+a6）2=16，進而求得答案．解：根據等比中項的性質可知a1a5=a23，a1a11=a26，∴a1a5+2a3a6+a1a11=a23+2a3a6+a26=（a3+a6）2=16∵a3+a6＞0∴a3+a6=4故選B【點評】：本題主要考查了等比數列中等比中項的性質．屬基礎題．5.二項式的展開式中，含的項的系數為（

）A．5

B．10C．-5

D．-10參考答案：B6.等差數列{an}的前n項和為Sn，若，則（

）A.27 B.36 C.45 D.54參考答案：B【分析】利用等差數列的性質進行化簡，由此求得的值.【詳解】依題意，所以，故選B.【點睛】本小題主要考查等差數列的性質，考查等差數列前項和公式，屬于基礎題.7.下列函數中，滿足“對任意，（0，），當<時，都有>的是A．=

B.=

C.=

D參考答案：A8.設，，，則（

）A. B. C. D.參考答案：【分析】本題是一種十分常見的考核方法，即數大小的比較，這類型問題處理方法主要有兩種：（1）利用函數單調性解決數的大小比較；（2）利用對數指數函數的函數值的大小，與“分界點”進行比較，得到結論。本題則需要使用方法（2），使用十分常規(guī)的“分界點”0和1,。這類型問題在近些年趨向于復雜，不單單只考核對數和指數，又是還會結合一些特殊的三角函數，例如，等；另外，也會出現一些不是0和1的“分界點”，如判斷和的大小時，選擇分界點才可以做出（）。【解】B.對于，則；對于，則；對于，則，那么可得，那么，故選B.9.一個正方體的八個頂點都在同一個球面上，已知這個球的表面積是12π，那么這個正方體的體積是（

）A．

B．

C．8

D．24參考答案：C

設球的半徑為R，則，從而，所以正方體的體對角線為2，故正方體的棱長為2，體積為。

10.的內角滿足條件：且，則角的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三棱錐A﹣BCD中，BC⊥CD，AB=AD=，BC=1，CD=，則該三棱錐外接球的體積為．參考答案：π【考點】球的體積和表面積；球內接多面體．【分析】證明△ABD是直角三角形．取DB中點O，則OA=OB=OC=OD=1，即O為三棱錐外接球的球心，外接圓的半徑為R=1，可得球的體積．【解答】解：BC⊥CD，BC=1，CD=，∴DB=2又因為AB=AD=，∴△ABD是直角三角形．取DB中點O，則OA=OB=OC=OD=1∴O為三棱錐外接球的球心，外接圓的半徑為R=1，∴該三棱錐外接球的體積為π，故答案為：π．12.若函數在R上單調遞增，實數的取值范圍為___________.參考答案：略13.已知雙曲線的中心在原點,離心率為,若它的一條準線與拋物線的準線重合,則該雙曲線的方程是

參考答案：略14.已知實數x，y滿足若，則的最大值為_______.參考答案：略15.某高校在某年的自主招生考試成績中隨機抽取50名學生的筆試成績，繪制成頻率分布直方圖如圖所示，若要從成績在[85，90），[90，95），[95，100]三組內的學生中，用分層抽樣的方法抽取12人參加面試，則成績在[90，100]內的學生應抽取的人數為

．參考答案：6【考點】頻率分布直方圖．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】由頻率分布直方圖，先求出a=0.040．再求出第3組、第4組和第5組的人數，由此能求出利用分層抽樣在30名學生中抽取12名學生，成績在[90，100]內的學生應抽取的人數．【解答】解：由頻率分布直方圖，得：（0.016+0.064+0.06+a+0.02）×5=1，解得a=0.040．第3組的人數為0.060×5×50=15，第4組的人數為0.040×5×50=10，第5組的人數為0.020×5×50=5，所以利用分層抽樣在30名學生中抽取12名學生，第4組應抽取×12=4人，第5組應抽取×12=2人．則成績在[90，100]內的學生應抽取的人數為6．故答案為：6．【點評】本題考查分層抽樣方法的應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖的合理運用．16.已知冪函數f（x）的圖象經過點（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函數圖象上的任意不同兩點，給出以下結論：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．其中正確結論的序號是

．參考答案：②③【考點】冪函數的性質．【分析】利用待定系數法求出冪函數的解析式；冪函數的指數大于0得到冪函數在（0，+∝）上的單調性；圖象呈上升趨勢，判斷出②③正確．解：依題意，設f（x）=xα，則有（）α=，即（）α=（），所以α=，于是f（x）=x．由于函數f（x）=x在定義域[0，+∞）內單調遞增，所以當x1＜x2時，必有f（x1）＜f（x2），從而有x1f（x1）＜x2f（x2），故②正確；又因為，分別表示直線OP、OQ的斜率，結合函數圖象，容易得出直線OP的斜率大于直線OQ的斜率，故＞，所以③正確．答案②③【點評】本題考查利用待定系數法求冪函數的解析式、考查冪函數的性質由冪函數的指數的取值決定．17.已知集合表示的平面區(qū)域為Ω，若在區(qū)域Ω內任取一點P（x，y），則點P的坐標滿足不等式x2+y2≤2的概率為．參考答案：【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應用．【分析】由

我們易畫出圖象求出其對應的面積，即所有基本事件總數對應的幾何量，再求出區(qū)域內和圓重合部分的面積，代入幾何概型計算公式，即可得到答案．【解答】解：滿足區(qū)域為△ABO內部（含邊界），與圓x2+y2=2的公共部分如圖中陰影扇形部分所示，則點P落在圓x2+y2=2內的概率概率為：P===．故答案為：．【點評】本題考查的知識點是幾何概型，二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，求出滿足條件A的基本事件對應的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對應的“幾何度量”N，最后根據P=N（A）/N求解．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知函數．（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求函數的單調區(qū)間；（Ⅲ）設函數．若至少存在一個，使得成立，求實數的取值范圍．參考答案：解：函數的定義域為，．

…………………1分（Ⅰ）當時，函數，，．所以曲線在點處的切線方程為，即．………………………3分（Ⅱ）函數的定義域為．

（1）當時，在上恒成立，則在上恒成立，此時在上單調遞減．……………4分（2）當時，，（?。┤?，由，即，得或；………………5分由，即，得．………6分所以函數的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為．

……7分（ⅱ）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時

在上單調遞增．………………8分（Ⅲ））因為存在一個使得，則，等價于.…………………9分令，等價于“當

時，”.

對求導，得.

……………10分因為當時，，所以在上單調遞增.……………12分所以，因此.

…………13分另解：設，定義域為，.依題意，至少存在一個，使得成立，等價于當

時，.

………9分（1）當時，在恒成立，所以在單調遞減，只要，則不滿足題意.

……………………10分（2）當時，令得.（ⅰ）當，即時，在上，所以在上單調遞增，所以，由得，，所以.

……………………11分（ⅱ）當，即時，在上，所以在單調遞減，所以，由得.…………………12分（ⅲ）當，即時，

在上，在上，所以在單調遞減，在單調遞增，，等價于或，解得，所以，.綜上所述，實數的取值范圍為.

………13分

19.選修4-5：不等式選講設函數f（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）解關于x的不等式f（2x）≤f（x+1）；（Ⅱ）若實數a，b滿足a﹣2b=2，求f（a+1）+f（2b﹣1）的最小值．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法；函數的最值及其幾何意義．【分析】（1）兩邊平方得到關于x的不等式，解出即可；（2）求出f（a+1）+f（2b﹣1）的解析式，根據絕對值的性質求出其最小值即可．【解答】解：（1）|4x﹣1|≤|2x+1|?16x2﹣8x+1≤4x2+4x+1?12x2﹣12x≤0，解得x∈[0，1]，故原不等式的解集為[0，1]．（2）f（a+1）+f（2b﹣1）=|2（a+1）﹣1|+|2（2b﹣1）﹣1|=|4b+3|+|4b﹣3|≥|4b+3﹣4b+3|=6．20.已知函數f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,xR.（I）求函數f(x)的最小正周期和單調增區(qū)間；（Ⅱ）函數f(x)的圖象可以由函數y=sin2x(x∈R)的圖象經過怎樣的變換得到？參考答案：解析：（1）f(x)=

=

=sin(2x+.

∴f(x)的最小正周期T==π.

由題意得2kπ-≤2x+,k∈Z,

∴f(x)的單調增區(qū)間為［kπ-］,k∈Z.

(2)方法一：

先把y=sin2x圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到y(tǒng)=sin(2x+)的圖象，再把所得圖象上所有的點向上平移個單位年度，就得到y(tǒng)=sin(2x+)+的圖象.

方法二：

把y=sin2x圖象上所有的點按向量a=(-)平移，就得到y(tǒng)=sin(2x+)+的圖象.

21.已知中，角所對的邊分別是且．（1）求角的大小；（2）設向量，邊長，求當取最大值時，的面積的值．參考答案：（1）由題意，所以

……………5分（2）因為所以當時，取最大值，此時，

…………9分由正弦定理得，所以，

……1