2022-2023學(xué)年浙東北聯(lián)盟高三第七次月考數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年浙東北聯(lián)盟高三第七次月考數(shù)學(xué)試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線與圓有公共點，則的最大值為（）A．4 B． C． D．2．已知甲盒子中有個紅球，個藍球，乙盒子中有個紅球，個藍球，同時從甲乙兩個盒子中取出個球進行交換，（a）交換后，從甲盒子中取1個球是紅球的概率記為.（b）交換后，乙盒子中含有紅球的個數(shù)記為.則（）A． B．C． D．3．設(shè)，其中a，b是實數(shù)，則（）A．1 B．2 C． D．4．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A． B． C． D．5．已知雙曲線的漸近線方程為，且其右焦點為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的關(guān)于直線對稱的點在的圖像上，則的取值范圍是()A． B． C． D．7．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且a?α，b?β，aβ，bα，則“ab“是“αβ”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知是等差數(shù)列的前項和，若，設(shè)，則數(shù)列的前項和取最大值時的值為()A．2020 B．20l9 C．2018 D．20179．已知，且，則（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，，若對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，則的最大值是()A．3 B．2 C．4 D．511．在中，點D是線段BC上任意一點，，，則（）A． B．-2 C． D．212．對某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測試中的成績（單位：分）進行統(tǒng)計得到折線圖，下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績分析．①甲同學(xué)的成績折線圖具有較好的對稱性，故平均成績?yōu)?30分；②根據(jù)甲同學(xué)成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，估計該同學(xué)平均成績在區(qū)間110,120內(nèi)；③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測試次號具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)；④乙同學(xué)連續(xù)九次測驗成績每一次均有明顯進步．其中正確的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則=____，=___.14．已知雙曲線（，）的左，右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于，兩點，若，，則雙曲線的離心率為__________.15．正四面體的各個點在平面同側(cè)，各點到平面的距離分別為1，2，3，4，則正四面體的棱長為__________．16．已知多項式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，則a4＝________，a5＝________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（I）若討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，且對于函數(shù)的圖象上兩點，存在，使得函數(shù)的圖象在處的切線.求證：.18．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）當(dāng)m=7時，求函數(shù)f（x）的定義域；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范圍．19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，底面ABCD是邊長為2的菱形，點E，F(xiàn)分別為棱DC，BC的中點，點G是棱SC靠近點C的四等分點.求證：（1）直線平面EFG；（2）直線平面SDB.20．（12分）已知矩陣，，若矩陣，求矩陣的逆矩陣．21．（12分）在直角坐標系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為.（1）寫出圓C的直角坐標方程；（2）設(shè)直線l與圓C交于A，B兩點，，求的值.22．（10分）對于正整數(shù)，如果個整數(shù)滿足，且，則稱數(shù)組為的一個“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為.(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;(Ⅱ)對于給定的整數(shù)，設(shè)是的一個“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值;(Ⅲ)對所有的正整數(shù)，證明:;并求出使得等號成立的的值.(注:對于的兩個“正整數(shù)分拆”與，當(dāng)且僅當(dāng)且時，稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點，得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為表示圓，所以，解得，因為直線與圓有公共點，所以圓心到直線的距離，即，解得，此時，因為，在遞增，所以的最大值.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.2、A【解析】分析：首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個數(shù)，對應(yīng)的事件有哪些結(jié)果，從而得到對應(yīng)的概率的大小，再者就是對隨機變量的值要分清，對應(yīng)的概率要算對，利用公式求得其期望.詳解：根據(jù)題意有，如果交換一個球，有交換的都是紅球、交換的都是藍球、甲盒的紅球換的乙盒的藍球、甲盒的藍球交換的乙盒的紅球，紅球的個數(shù)就會出現(xiàn)三種情況；如果交換的是兩個球，有紅球換紅球、藍球換藍球、一藍一紅換一藍一紅、紅換藍、藍換紅、一藍一紅換兩紅、一藍一紅換亮藍，對應(yīng)的紅球的個數(shù)就是五種情況，所以分析可以求得，故選A.點睛：該題考查的是有關(guān)隨機事件的概率以及對應(yīng)的期望的問題，在解題的過程中，需要對其對應(yīng)的事件弄明白，對應(yīng)的概率會算，以及變量的可取值會分析是多少，利用期望公式求得結(jié)果.3、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等，可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計算，考驗計算，屬基礎(chǔ)題.4、A【解析】

首先求得時，的取值范圍.然后求得時，的單調(diào)性和零點，令，根據(jù)“時，的取值范圍”得到，利用零點存在性定理，求得函數(shù)的零點所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時，.當(dāng)時，為增函數(shù)，且，則是唯一零點.由于“當(dāng)時，.”，所以令，得，因為，，所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選：A【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查符合函數(shù)零點，考查零點存在性定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.5、B【解析】試題分析：由題意得，，所以，，所求雙曲線方程為．考點：雙曲線方程.6、D【解析】

根據(jù)對稱關(guān)系可將問題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個不同的交點；利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象；由直線恒過定點，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定；利用過某一點曲線切線斜率的求解方法可求得和，進而得到結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線對稱的直線方程為：原題等價于與有且僅有四個不同的交點由可知，直線恒過點當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示：其中、為過點的曲線的兩條切線，切點分別為由圖象可知，當(dāng)時，與有且僅有四個不同的交點設(shè)，，則，解得：設(shè)，，則，解得：，則本題正確選項：【點睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點個數(shù)確定參數(shù)范圍的問題；涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題；解題關(guān)鍵是能夠通過對稱性將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點個數(shù)的問題，通過確定直線恒過的定點，采用數(shù)形結(jié)合的方式來進行求解.7、D【解析】

根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可．【詳解】解：a?α，b?β，a∥β，b∥α，由a∥b，不一定有α∥β，α與β可能相交；反之，由α∥β，可得a∥b或a與b異面，∴a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且a?α，b?β，a∥β，b∥α，則“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要條件．故選：D.【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，考查面面平行的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解析】

根據(jù)題意計算，，，計算，，，得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項和，若，故，，，，故，當(dāng)時，，，，，當(dāng)時，，故前項和最大.故選：.【點睛】本題考查了數(shù)列和的最值問題，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.9、B【解析】分析：首先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題中所給的角的范圍，求得的值，之后借助于倍角公式，將待求的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，代入從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題中的條件，可得為銳角，根據(jù)，可求得，而，故選B.點睛：該題考查的是有關(guān)同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式的應(yīng)用，在解題的過程中，需要對已知真切求余弦的方法要明確，可以應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解，也可以結(jié)合三角函數(shù)的定義式求解.10、A【解析】

根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為，對于恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，然后求出的范圍，進一步得到的最大值.【詳解】，，對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，易得，即恒成立，，對于恒成立,設(shè)，則，令，在恒成立，，故存在，使得，即，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.,將代入得：，，且，故選：A【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點存在定理和不等式恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.11、A【解析】

設(shè)，用表示出，求出的值即可得出答案.【詳解】設(shè)由，，.故選：A【點睛】本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運算，需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

利用圖形，判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性，成績的比較，說明正誤即可．【詳解】①甲同學(xué)的成績折線圖具有較好的對稱性，最高130分，平均成績?yōu)榈陀?30分，①錯誤；②根據(jù)甲同學(xué)成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，估計該同學(xué)平均成績在區(qū)間[110,120]內(nèi)，②正確；③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測試次號具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)，③正確；④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測驗中第四次、第七次成績較上一次成績有退步，故④不正確．故選：C．【點睛】本題考查折線圖的應(yīng)用，線性相關(guān)以及平均分的求解，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、12821【解析】

令，求得的值.利用展開式的通項公式，求得的值.【詳解】令，得.展開式的通項公式為，當(dāng)時，為，即.【點睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查賦值法求解二項式系數(shù)有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

設(shè)，由雙曲線的定義得出：，由得為等腰三角形，設(shè)，根據(jù)，可求出，得出，再結(jié)合焦點三角形，利用余弦定理：求出和的關(guān)系，即可得出離心率.【詳解】解：設(shè)，由雙曲線的定義得出：，，由圖可知：，又，即，則，為等腰三角形，，設(shè)，，則，，即，解得：，則，，解得：，，解得：，，在中，由余弦定理得：，即：，解得：，即.故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及余弦定理的應(yīng)用，求雙曲線離心率.15、【解析】

不妨設(shè)點A，D，C，B到面的距離分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個單位，與正四面體相交，過點D，與AB，AC分別相交于點E，F(xiàn)，根據(jù)題意F為中點，E為AB的三等分點（靠近點A），設(shè)棱長為a，求得，再用余弦定理求得：，從而求得，再根據(jù)頂點A到面EDF的距離為，得到，然后利用等體積法求解，【詳解】不妨設(shè)點A，D，C，B到面的距離分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個單位，與正四面體相交，過點D，與AB，AC分別相交于點E，F(xiàn)，如圖所示：由題意得：F為中點，E為AB的三等分點（靠近點A），設(shè)棱長為a，，頂點D到面ABC的距離為所以，由余弦定理得：，所以，所以，又頂點A到面EDF的距離為，所以，因為，所以，解得，故答案為：【點睛】本題主要考查幾何體的切割問題以及等體積法的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象，運算求解的能力，屬于難題，16、164【解析】

只需令x＝0，易得a5，再由(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3，可得a4＝＋2＋.【詳解】令x＝0，得a5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，而(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)3[(x＋1)2＋2(x＋1)＋1]＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3；則a4＝＋2＋＝5＋8＋3＝16.故答案為：16,4.【點睛】本題主要考查了多項式展開中的特定項的求解，可以用賦值法也可以用二項展開的通項公式求解，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見證明【解析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo)，分別討論，以及，即可得出結(jié)果；(2)根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得到，將證明轉(zhuǎn)化為證明即可，再令，設(shè)，用導(dǎo)數(shù)方法判斷出的單調(diào)性，進而可得出結(jié)論成立.【詳解】（1）解：易得，函數(shù)的定義域為，，令，得或.①當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增.此時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.②當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞減；或時，，函數(shù)單調(diào)遞增.此時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為，.③當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增；此時，的減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為：當(dāng)時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.；當(dāng)時，增區(qū)間為.（2）證明：由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得由（1）中得.易知，導(dǎo)函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，要證，只要證，即，即證.因為，不妨令，則.所以，所以在上為增函數(shù)，所以，即，所以，即，即.故有（得證）.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)極值等即可，屬于?？碱}型.18、（1），（2）【解析】試題分析：用零點分區(qū)間討論法解含絕對值的不等式，根據(jù)絕對值三角不等式得出，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，只需m+4≤3，得出的范圍.試題解析：（1）由題設(shè)知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式組解集的并集：，或，或，解得函數(shù)f（x）的定義域為（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R時，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，∴m+4≤3，m的取值范圍是（﹣∞，﹣1]．19、（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)連接AC、BD交于點O,交EF于點H,連接GH,再證明即可.(2)證明與即可.【詳解】（1）連接AC、BD交于點O,交EF于點H,連接GH,所以O(shè)為AC的中點,H為OC的中點,由E、F為DC、BC的中點,再由題意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直線平面EFG.（2）在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因為側(cè)面底面ABCD,由面面垂直的性質(zhì)定理可知平面ABCD,所以,因為底面ABCD是菱形,所以,因為,所以平面SDB.【點睛】本題考查線面平行與垂直的證明.需要根據(jù)題意利用等比例以及