固體物理-第三章-晶格振動與晶體的熱力學(xué)函數(shù)

PAGEPAGE4第三章晶格振動與晶體的熱力學(xué)函數(shù)填空體1.若在三維空間中，晶體由N個原胞組成,每個原胞有一個原子,則共有_3N_個獨立的

振動,_N__個波矢,3N_支格波。2.體積為V的ZnS晶體，如果晶胞的體積為，則晶格振動的模式書為24N/。3.三維絕緣體晶體的低溫比熱Cv與溫度T的關(guān)系為Cv~T3。4.某三維晶體由N個原胞組成，每個原胞內(nèi)有3個原子?？紤]晶體的晶格振動，其色散關(guān)系共有9N支，其中3N支聲學(xué)波，包括2N支橫聲學(xué)波，1N支縱聲學(xué)波；另有6N支光學(xué)波。5.二維絕緣體晶體的低溫比熱Cv與溫度T的關(guān)系為Cv~T2。6.一維絕緣體晶體的低溫比熱Cv與溫度T的關(guān)系為Cv~T。7.三維絕緣體晶體的低溫平均內(nèi)能與溫度T的關(guān)系為U~T4。8.二維絕緣體晶體的低溫平均內(nèi)能與溫度T的關(guān)系為U~T3。9.一維絕緣體晶體的低溫平均內(nèi)能溫度T的關(guān)系為U~T2。10.絕緣體中與溫度有關(guān)的內(nèi)能來源于晶格振動能。11.導(dǎo)體中與溫度有關(guān)的內(nèi)能來源于晶格振動能和價電子熱運動動能。12.某二維晶體由N個原胞組成，每個原胞內(nèi)有2個原子?？紤]晶體的晶格振動，其色散關(guān)系共有4N支，其中2N支聲學(xué)波，包括N支橫聲學(xué)波，N支縱聲學(xué)波；另有2N支光學(xué)波。13.某一維晶體由N個原胞組成，每個原胞內(nèi)有3個原子。考慮晶體的晶格振動，其色散關(guān)系共有3N支，其中N支聲學(xué)波，包括N支橫聲學(xué)波，0支縱聲學(xué)波；另有2N支光學(xué)波。14.晶格振動的元激發(fā)為聲子，其能量為，準(zhǔn)動量為。15德拜模型的基本假設(shè)為：格波作為彈性波、介質(zhì)是各向同性介質(zhì)。16.對三維體積為V的晶體，波矢空間中的波矢密度為：；對二維面積為S的晶體，波矢空間中的波矢密度為：；對一維長度為L的晶體，波矢空間中的波矢密度為：。二、基本概念1.聲子晶格振動的能量量子。2.波恩-卡門條件即周期性邊界條件，設(shè)想在實際晶體外，仍然有無限多個相同的晶體相連接，各晶體中相對應(yīng)的原子的運動情況都一樣。3.波矢密度波矢空間單位體積內(nèi)的波矢數(shù)目，三維時為，Vc為晶體體積。4.模式密度單位頻率間隔內(nèi)模式數(shù)目。5.晶格振動。答：由于晶體內(nèi)原子間存在著相互作用，原子的振動就不是孤立的，而要以波的形式在晶體中傳播，形成所謂格波，因此晶體可視為一個互相耦合的振動系統(tǒng)，這個系統(tǒng)的運動就叫晶格振動。6.簡諧近似答：當(dāng)原子在平衡位置附近作微小振動時，原子間的相互作用可以視為與位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做簡諧振動。這個近似即稱為簡諧近似。7.格波答：晶格中的原子振動是以角頻率為ω的平面波形式存在的，這種波就叫格波。三、簡答題1.試分析愛因斯坦模型和德拜模型的特點及局限性.特點：1）愛因斯坦模型假設(shè)晶體中所有原子都以相同的頻率作振動；2）德拜模型的基本思想是把格波作為彈性波來處理。局限性：在愛因斯坦的假設(shè)下，解釋了在甚低溫時溫度的變化趨勢，但是不能解釋為什么晶體熱熔隨溫度T3的速度變化，這是因為，愛因斯坦模型只考慮了光學(xué)支格波，忽略了聲學(xué)支格波，而在甚低溫決定晶體熱容的主要是長聲學(xué)波。愛因斯坦模型過于簡化。德拜模型不僅能夠很好解釋在甚低溫時晶體熱容隨溫度的變化趨勢，同時得出了在甚低溫下，熱容與T3成正比的規(guī)律。但是德拜模型忽略了晶體的各向異性，即光學(xué)波和高頻聲學(xué)波對熱容的貢獻(xiàn)。2.長光學(xué)支格波與長聲學(xué)支格波本質(zhì)上有何差別?答：長光學(xué)支格波的特征是每個原胞內(nèi)的不同原子做相對振動,振動頻率較高,它包含了晶格振動頻率最高的振動模式.長聲學(xué)支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒有相對位移,原胞做整體運動,振動頻率較低,它包含了晶格振動頻率最低的振動模式,波速是一常數(shù).任何晶體都存在聲學(xué)支格波,但簡單晶格(非復(fù)式格子)晶體不存在光學(xué)支格波.3.晶體中聲子數(shù)目是否守恒?

答：頻率為的格波的(平均)聲子數(shù)為,即每一個格波的聲子數(shù)都與溫度有關(guān),因此,晶體中聲子數(shù)目不守恒,它是溫度的變量.大的主要是長聲學(xué)格波.也就是說愛因斯坦沒考慮聲學(xué)波對熱容的貢獻(xiàn)是愛因斯坦模型在低溫下與實驗存在偏差的根源。16.在甚低溫下,德拜模型為什么與實驗相符?答：在甚低溫下,不僅光學(xué)波得不到激發(fā),而且聲子能量較大的短聲學(xué)格波也未被激發(fā),得到激發(fā)的只是聲子能量較小的長聲學(xué)格波.長聲學(xué)格波即彈性波.德拜模型只考慮彈性波對熱容的貢獻(xiàn).因此,在甚低溫下,德拜模型與事實相符,自然與實驗相符。四、證明計算1.證明一維單原子鏈的運動方程，在長波近似下，可以化成彈性波方程，證明：第n個原子的運動方程為因為所以第n個原子的運動方程化為在長波近似下，運動方程又化為在長波近似下，當(dāng)為有限整數(shù)時，上式說明，在長波近似下，鄰近（在半波長范圍內(nèi)）的若干原子以相同的振幅、相同的位相做集體運動．因此（l）式可統(tǒng)一寫成觀上的質(zhì)點位移u，從宏觀上看，原子的位置可視為準(zhǔn)連續(xù)的，原子的分離可視為準(zhǔn)連續(xù)坐標(biāo)x，即于是（2）化成其中2.在一維雙原子鏈中，如，求證證明：雙一維原子鏈聲學(xué)支，由近似式， 得，對，由于，故B＝0，重原子靜止。3.在一維無限長的簡單晶格中，原子質(zhì)量為M，若只考慮近鄰原子之間的相互作用，恢復(fù)力系數(shù)為，試求格波的色散關(guān)系。解：設(shè)原子的質(zhì)量為M，第n個原子對平衡位置的位移為un第n+1和n-1個原子對平衡位置的位移分別為un+1與un-1，則第n+m和n-m個原子對第n個原子的作用力為因此第n個原子的運動方程為將格波的試解代入運動方程，得由此得格波的色散關(guān)系為4.證明：在溫度T時，一個量子諧振子的能量為討論當(dāng)溫度很高時，結(jié)果又會怎樣？證明：按照量子理論，一個諧振子的能級是式中，為諧振子的角頻率；n取正整數(shù)。在熱平衡條件下，諧振子的平均能量為式中為諧振子處于能級的幾率。若按玻耳茲曼統(tǒng)計計算，上式寫成因為故從上式得在高溫下，，有故得可見，在高溫下，一個量子諧振子的平均能量與經(jīng)典理論的結(jié)論相同。5.在一維無限長的簡單晶格中，若考慮原子間的長程作用力，第n個與第n+m或n-m個原子間的恢復(fù)力系數(shù)為，試求格波的色散關(guān)系。解：設(shè)原子的質(zhì)量為M，第n個原子對平衡位置的位移為un第n+m和n-m個原子對平衡位置的位移分別為un+m與un-m，則第n+m和n-m個原子對第n個原子的作用力為第n個原子受力的總合為因此第n個原子的運動方程為將格波的試解代入運動方程，得由此得格波的色散關(guān)系為7.已知三維晶體在附近一支光學(xué)波的色散關(guān)系為，試求格波的模式密度解：則這是q空間的一個橢球面，其體積為，而，，q空間內(nèi)的波矢密度，故橢球內(nèi)的總狀態(tài)數(shù)N為故8.計算一維單原子鏈的模式密度解：設(shè)單原子鏈長度一維單原子鏈的色散關(guān)系為：其中模式密度為對一維單原子鏈而言因為既有所以模式密度為7.已知一個頻率為的簡諧振動在溫度T下的平均能量試用愛因斯坦模型求出由N個原子組成的單原子晶體晶格振動的總能量，并求其在高溫和低溫極限情況下的表達(dá)式。解:由N個原子組成的單原子晶體共有3N個自由度，獨立晶格振動方式數(shù)也等于3N，晶體振動的總能量便等于晶體振動的總能量便等于這3N個諧振動的能量之和，即依照愛因斯坦模型，，于是上式變?yōu)樵O(shè)，為愛因斯坦溫度(1)在高溫極限下，x<<1，，(1)式化作上式中的第二項是3N個經(jīng)典諧振子的平均能量之和；第一項與溫度無關(guān)，是愛因斯坦模型下的零點振動能。在低溫極限下，x>>1，，從(1)式得8.設(shè)晶格中每個振子的零點振動能為，試用德拜模型求三維晶格的零點振動能解：狀態(tài)密度則9.設(shè)有三維間立方晶格，在德拜近似下計算比熱，并論述在低溫極限聲子數(shù)目與T3。解：按照德拜模型,晶體中的聲子數(shù)目N’為.作變量代換，.其中是德拜溫度.高溫時,,即高溫時,晶體中的聲子數(shù)目與溫度成正比.

低溫時,,,即低溫時,晶體中的聲子數(shù)目與T3成正比.10.有N個相同原子組成的面積為S的二維晶格，在德拜近似下計算比熱，并論述在低溫極限比熱正比與。證明：在到間的獨立振動模式對應(yīng)于平面中半徑到間圓環(huán)的面積，且則11.有三維簡單晶格，在德拜近似下計算比熱，并論述在低溫極限聲子數(shù)目與T3。按照德拜模型,晶體中的聲子數(shù)目為.作變量代換，.其中是德拜溫度.高溫時,,即高溫時,晶體中的聲子數(shù)目與溫度成正比.

低溫時,,,即低溫時,晶體中的聲子數(shù)目與T3成正比.12.有N個相同原子組成的體積為L的一維晶格，在德拜近似下計算比熱，并論述在低溫極限比熱正比與。.13.在一維無限長的簡單晶格中，原子質(zhì)量為M，若只考慮近鄰原子之間的相互作用，恢復(fù)力系數(shù)為，試求格波的色散關(guān)系。解：設(shè)原子的質(zhì)量為M，第n個原子對平衡位置的位移為un第n+1和n-1個原子對平衡位置的位移分別為un+1與un-1，則第n+m和n-m個原子對第n個原子的作用力為因此第n個原子的運動方程為將格波的試解代入運動方程，得由此得格波的色散關(guān)系為14.計算色散關(guān)系為的模式密度二維的模式密度。解：q空間也約化為二維空間，其等頻面實際為一個圓，圓半徑為：二維情況下的q空間中的密度為：A/(2π)，（這里A為二維晶格的面積），而且有：所以對于ω=c，二維情況的模式密度為：計算色散關(guān)系為的模式密度一維的模式密度。解：一維情況下的q空間中的等頻面退化為兩個等頻的點，因此有q空間有兩個等頻點+q和-q。仿上面的方法可以得到：15對三維單原子點陣，計算德拜模型下的模式密度。解：（解法一）設(shè)橫波和縱波具有相間波速v，有(1)令，上式化為其中簡正模式的最高頻率是，如果