《數(shù)學(xué)中的美》原版

./數(shù)學(xué)中的美郭會才指導(dǎo)教師董永權(quán)副教授摘要隨著教育與娛樂的發(fā)展,將有更多的人欣賞音樂與繪畫。但是,能夠真正欣賞數(shù)學(xué)的人數(shù)是很少的。藝術(shù)追求美,數(shù)學(xué)也追求美,數(shù)學(xué)美是科學(xué)美的一種,數(shù)學(xué)不但體現(xiàn)了科學(xué)美也體現(xiàn)了藝術(shù)美。數(shù)學(xué)在其知識容、形式上等方面具有自身的許多獨(dú)特美,因此數(shù)學(xué)美是生動的、具體的、形象的。這篇文章主要以高中數(shù)學(xué)為背景,探討了數(shù)學(xué)美的三個(gè)主要方面：數(shù)學(xué)的簡潔美、數(shù)學(xué)的對稱美、數(shù)學(xué)的和諧美。其中,數(shù)學(xué)的簡潔美分為數(shù)學(xué)概念的簡潔、數(shù)學(xué)符號的簡潔、數(shù)學(xué)證明的簡潔、數(shù)學(xué)結(jié)論的簡潔四部分；數(shù)學(xué)的對稱美分為：幾何中的對稱美,代數(shù)中的對稱美兩部分；數(shù)學(xué)的和諧美分為：數(shù)學(xué)從不和諧走向和諧,數(shù)學(xué)比例的和諧美,數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的和諧美三部分。并在其中相應(yīng)的列舉了例子來加以說明論證。數(shù)學(xué)中的美無處不在,只要認(rèn)真觀察細(xì)心體會,數(shù)學(xué)就會把它的美主動的無私的呈現(xiàn)出來,那時(shí)數(shù)學(xué)就不再枯燥無味。關(guān)鍵詞簡潔美對稱美和諧美[正文]前言作為一門科學(xué),數(shù)學(xué)的最大特點(diǎn)就是它的真,真中見美,如果公正地看,數(shù)學(xué)包含的不僅是真理,也是無上的美——一種冷峭而嚴(yán)峻的美,恰像一尊雕刻一樣。感覺到數(shù)學(xué)的美,感覺到數(shù)與形的協(xié)調(diào),感覺到幾何的優(yōu)雅,這是所有真正的數(shù)學(xué)家都清楚的真實(shí)的美的感覺。數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的美的因素是深廣博大的,數(shù)學(xué)的研究對象是數(shù)、形、式,數(shù)的美,形的美,式的美,隨處可見,它的表現(xiàn)形式主要有簡潔美、對稱美、和諧美。一、簡潔美世界原本就是簡潔的,簡潔是一種美。數(shù)學(xué)科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性決定它必須精煉、簡潔。數(shù)學(xué)的簡潔美體現(xiàn)在以下四方面：、數(shù)學(xué)概念是簡潔的。數(shù)學(xué)概念敘述語言的高度概括,可以說它的語言精煉到"一字千金"的程度。精煉準(zhǔn)確的概念多一個(gè)字就有種煩瑣感,去掉一個(gè)字就有歧義或錯(cuò)誤。比如向量的定義是"既有大小又有方向的量。"如在"既"前加上"我們稱"或在"大小"后加上"的"則有煩瑣感；若去掉"既--又--"則敘述就有表達(dá)不清的歧義感。數(shù)學(xué)概念的簡潔是一種精煉的簡單,憑借這些簡單而精煉的語言能夠刻畫復(fù)雜的現(xiàn)象,如"函數(shù)"這個(gè)簡潔的概念能刻畫出這樣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象：設(shè)、兩個(gè)非空集合,是從到的一個(gè)對應(yīng)法則,則到上的映射：稱為到上的函數(shù)。其它數(shù)學(xué)概念也是簡潔、精煉的,如果試著加上或去掉任一個(gè)字通過仔細(xì)推敲、琢磨就會發(fā)現(xiàn)此定義不再簡潔或準(zhǔn)確。在空間幾何里,兩條直線有以下三種位置關(guān)系：〔1相交直線――有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；〔2平行直線――在同一平面,沒有公共點(diǎn)；〔3異面直線――不同在任何一個(gè)平面,沒有公共點(diǎn)．誰能否定這樣的敘述不簡練準(zhǔn)確？數(shù)學(xué)規(guī)律、性質(zhì)等的表述也是如此。如排列組合中的分類計(jì)數(shù)原理：完成一件事,有類辦法,在第類辦法中有種不同的方法,在第類辦法中有種不同的方法……在第類辦法中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法．、數(shù)學(xué)符號是簡潔的。符號是最簡潔的文字,其表達(dá)的容豐富而廣泛,數(shù)學(xué)就是用簡潔的符號表現(xiàn)復(fù)雜的事物,也正是這些簡潔的數(shù)學(xué)符號才使書寫、運(yùn)算、推理等更方便更快捷。比如"兩條直線平行"用數(shù)學(xué)符號表示為"",直線和平面垂直用""表示,"直角三角形中斜邊的平方等于兩直角邊的平方和"用數(shù)學(xué)符號寫成""等。數(shù)學(xué)符號的特有的美感有時(shí)比漢字更具魅力。歐拉公式：e=,把實(shí)數(shù)域中看不出有任何關(guān)系的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù),在復(fù)數(shù)域中巧妙地聯(lián)系在一起,其特例e+=把、、、、五個(gè)重要常量簡單巧妙地結(jié)合在一起,絕對耐人尋味。三角函數(shù)中數(shù)學(xué)sin+cos=.把三角和實(shí)數(shù)統(tǒng)一起來,——把復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)統(tǒng)一起來,建立了各知識點(diǎn)之間的聯(lián)系和橋梁。符號是數(shù)學(xué)科學(xué)抽象化程度的高度表現(xiàn)。另外,數(shù)學(xué)圖形中的點(diǎn)、線、面、體也是對客觀事物的抽象概括,也是簡潔實(shí)用的。比如著名的"哥尼斯堡七橋問題"最終也是通過數(shù)學(xué)手段巧妙地將實(shí)際問題抽象簡化到數(shù)學(xué)中的一筆畫問題而解決的。用點(diǎn)代表河岸和小島,用線代表橋,于是得到下面一個(gè)簡單的圖形,如圖圖〔、數(shù)學(xué)證明是簡潔的。數(shù)學(xué)的簡潔也體現(xiàn)在對數(shù)學(xué)答案的獲得上力求一種簡潔的方式。對于完全平方式的推導(dǎo)可以通過面積法來證明。也就是大正方形的面積等于四個(gè)小矩形的面積的和。圖〔學(xué)數(shù)學(xué)的人常有這樣的經(jīng)歷：面對一個(gè)復(fù)雜的難題冥思苦想,不得其解,突然靈感突發(fā)思路頓悟,就是簡簡單單的轉(zhuǎn)換一下思路而已,不絕稱贊數(shù)學(xué)的靈活多變和方法的巧妙。數(shù)學(xué)思維是邏輯美和簡潔美。比如：求證,不存在這樣的兩個(gè)既約分?jǐn)?shù),其乘積與和均為整數(shù)。分析：此題如果用直接證法將會是非常煩瑣的,需要無窮性的列舉兩個(gè)既約分?jǐn)?shù),再驗(yàn)證其乘積與和不能同時(shí)為整數(shù),而換用一種簡潔的靈活的方法即間接證法。證明：假設(shè)存在兩個(gè)既約分?jǐn)?shù)和,且+=為整數(shù),·=為整數(shù),那么和,應(yīng)為方程－+的兩個(gè)根。于是有〔－·+=0,從而有=·－·<*>∵,,,均為整數(shù),<*>式右端為整數(shù),但是,與互質(zhì),與也互質(zhì),<*>左端不可能為整數(shù),因此,得出了矛盾,所以不存在這樣的兩個(gè)既約分?jǐn)?shù),其乘積與和均為整數(shù)。此例充分可以說明數(shù)學(xué)證明語言的簡練與精確,也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯體系的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性。、數(shù)學(xué)結(jié)論是簡潔的數(shù)學(xué)通過簡潔的證明得到的結(jié)果也給人簡潔之美,如：=；,,圓標(biāo)準(zhǔn)方程等等。解數(shù)學(xué)題時(shí),當(dāng)面對一個(gè)復(fù)雜問題通過冥思苦想最終獲得一個(gè)簡潔而完美的答案時(shí),那種心情將是非常愉快的,解數(shù)學(xué)題可以培養(yǎng)人的性格,冶人的情操。比如由一組算式：通過觀察分析,可以總結(jié)出一個(gè)規(guī)律：把拆開,中間插入,插入的個(gè)數(shù)比第一個(gè)因式的個(gè)數(shù)少個(gè),那么利用這個(gè)規(guī)律可以輕松地解答出下列算式：,,……,,…………,,。二、對稱美對稱和美緊密相連,具有對稱的東西給人以圓滿的勻稱美感與精神享受。數(shù)學(xué)中的對稱美很普遍。、幾何中的對稱美。在平面幾何中有軸對稱、中心對稱,正方形、圓形、等腰三角形都是軸對稱圖形也是中心對稱圖形,圓是最美的平面圖形；在立體幾何中的正方體、長方體、正四面體都是對稱的幾何體,球在各個(gè)方面都是對稱的,是一切立體幾何中最美的圖形。數(shù)學(xué)中的對稱圖形在日常生活中的應(yīng)用比比皆是,都給人以完美的藝術(shù)享受。比如：幾何中的海倫公式便是以對稱形式出現(xiàn)的：=,它是那么的耐人尋味,既然把作為一個(gè)因子,那么一定也要把請出來,可是的單位取算術(shù)根后,得不出面積的單位,怎么辦？只要在‘’號下再乘上一個(gè),但乘上那條邊呢？乘上？乘上？乘上？都不行,因?yàn)檫@樣一來對于、、就不公平了,想來想去還是乘上吧,一方面它的單位是,更重要的是,=對于來說,、、是平等的、對稱的。、代數(shù)中的對稱美。代數(shù)式+=+,<+>=+,〔+=++…都有對稱性,代數(shù)中的很多平滑曲線,也給人以對稱美的感受。橢圓、雙曲線、拋物線的圖象,指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象,正弦、余弦函數(shù)的圖象等。比如函數(shù)的圖象除對稱美外還給人一種"一江春水向東流"的視覺美。圖〔再如函數(shù),的圖像給人一種"飛流直下三千尺"的山水美、對稱美。如圖〔4圖〔4若,,則當(dāng)時(shí),求的取值圍。它的圖形也是一種典型的對稱圖形。圖〔再如前面所提到的"哥尼斯堡七橋問題"抽象成的數(shù)學(xué)圖形也是一種很美的對稱圖。另外某些有關(guān)連或?qū)α⒌母拍钜卜Q為對稱。例如：有奇數(shù)和偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、整數(shù)和分?jǐn)?shù)、有理數(shù)和無理數(shù)、實(shí)數(shù)與虛數(shù)、正數(shù)與負(fù)數(shù)；從常量到變量,從有限到無限都能體現(xiàn)一種無形的對稱美。"共軛"概念也蘊(yùn)涵著對稱性,或者可以看成對稱概念的推廣,例如：A=<a>與=<a>稱為共軛矩陣。在集合運(yùn)算中,以下公式也具有對稱性：=,=,,。數(shù)學(xué)的對稱美還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)容本身在結(jié)構(gòu)上的有機(jī)統(tǒng)一。從宏觀上講,中學(xué)數(shù)學(xué)分為代數(shù)與幾何,各數(shù)學(xué)分支在結(jié)構(gòu)意義下達(dá)到完美統(tǒng)一。從微觀講,數(shù)學(xué)各知識點(diǎn)之間又是有機(jī)統(tǒng)一的,例如：在實(shí)數(shù)的運(yùn)算中加法和減法是統(tǒng)一的,乘法和除法也是統(tǒng)一的,乘方和開方是統(tǒng)一的,而實(shí)數(shù)的運(yùn)算和有理數(shù)的運(yùn)算以及自然數(shù)的運(yùn)算的法則又是統(tǒng)一的。三、和諧美美是和諧,和諧美也是數(shù)學(xué)美的一種。和諧即雅致、嚴(yán)謹(jǐn)、形式結(jié)構(gòu)無矛盾性。數(shù)學(xué)家一直在努力追求數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、和諧。、數(shù)學(xué)從不和諧走向和諧。數(shù)學(xué)在努力消除數(shù)學(xué)中的不和諧東西,比如悖論,在很大意義上講悖論對數(shù)學(xué)的發(fā)展起著舉足輕重的作用。數(shù)學(xué)史上的"數(shù)學(xué)危機(jī)"正是由于某些數(shù)學(xué)理論不和諧所致,但也正是通過消除這些不和諧事例的研究促進(jìn)了數(shù)學(xué)本身的進(jìn)一步發(fā)展。正如數(shù)學(xué)家貝爾和戴維斯所說的那樣：數(shù)學(xué)過去的錯(cuò)誤和未解決的困難,為它未來的發(fā)展提供契機(jī)。、數(shù)學(xué)比例的和諧美。數(shù)學(xué)中和諧的比例與優(yōu)美的曲線或圖形都能給人以強(qiáng)烈的形式美。比如直角三角形斜邊的平方等于其兩直角邊的平方和；最負(fù)盛名的黃金分割,具有美神之稱,它是黃金三角形的底與腰的比,也是黃金矩形的寬與長之比,人體自身的軀干寬高比約為,層高的樓房,或?qū)幼罴?一些名畫的主題大部分也畫在畫面的處。再如圓周長公式這個(gè)初等數(shù)學(xué)公式,揭示了圓周長和半徑之間的一種簡潔、奇妙、和諧的比例美。世界上存在著很多圓,但是數(shù)學(xué)定義中的圓比任何畫家、藝術(shù)家所能描繪的圓更完美更和諧。、數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的和諧美。和諧指理論體系部的嚴(yán)謹(jǐn)、統(tǒng)一。數(shù)學(xué)體系是把自然規(guī)律抽象成一些概念、公式或定理,并通過簡潔的推理證明出各種令人驚嘆的公式和定理,充分表現(xiàn)了其在的和諧性與統(tǒng)一性,從中感受到一種崇高、博大、妙不可言的和諧美,就象音樂家憑借7個(gè)音符譜寫出令人心醉的樂章所帶給人們藝術(shù)美的享受一樣。例如,從等式出發(fā)〔1已知求這要用到乘方運(yùn)算;〔2已知求用到開方運(yùn)算,〔3由和諧美原則,知求用到一種新的運(yùn)算即對數(shù)運(yùn)算。又如棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺等形狀各異但他們的體積公式都能統(tǒng)一到同一公式中。數(shù)學(xué)有很多分支很多容,這些容不是互不相干的堆積起來的,而是互相聯(lián)系成一個(gè)有機(jī)的整體。這種有機(jī)的聯(lián)系,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美,而且,通過這種聯(lián)系和統(tǒng)一使得整個(gè)數(shù)學(xué)容顯得線條清晰,結(jié)構(gòu)簡潔,體現(xiàn)了一種簡潔的美。整個(gè)數(shù)學(xué)體系的前后關(guān)聯(lián)、交相呼應(yīng)、渾然一體、天衣無縫,構(gòu)成一個(gè)龐大的知識網(wǎng),千絲萬縷,有理可依,有論可劇絕對是世上最完美的美、最和諧的美。試問,有哪個(gè)人能推翻數(shù)學(xué)體系？又有誰能創(chuàng)建出另一套思維邏輯體系而與數(shù)學(xué)不發(fā)生任何聯(lián)系？我們的答案是否定的,數(shù)學(xué)才是美麗的皇后。四、結(jié)束語音樂可以描繪成感覺的數(shù)學(xué),而數(shù)學(xué)也可以描繪成理性的音樂,音樂家可以感覺到數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)家也可以感受到音樂——音樂是夢想,數(shù)學(xué)是工作的一生——每一方都經(jīng)由對方達(dá)到盡善盡美的境地,大自然是美好的：美麗的山川,璀璨的星空,豐富的色彩,多姿的生活,寶貴的生命……這些美好事物的背后都深藏著許多數(shù)學(xué)奧妙,可以說數(shù)學(xué)美無處不在。用當(dāng)今數(shù)學(xué)家克萊因的一句話來概括數(shù)學(xué)的美就是："音樂能激發(fā)或撫慰人的情懷,繪畫能使人賞心悅目,詩歌能動人心弦,哲學(xué)能使人獲得智慧,科技可以改變物質(zhì)生活,但是數(shù)學(xué)卻能提供以上一切。"數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美、和諧美,在萬物世界的各個(gè)方面都能表現(xiàn)出來。只要認(rèn)真觀察、細(xì)心體會,那么不管他以前是否喜歡數(shù)學(xué)還是反感數(shù)學(xué),他都會從此喜歡上數(shù)學(xué)、愛上數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)難題、喜歡挑戰(zhàn)自己。參考文獻(xiàn)：[1]吳振奎吳憫：數(shù)學(xué)中的美.：教育,2002.9[2]維剛：維剛教育文叢.：北方婦女兒童,1999.7[3]景中：數(shù)學(xué)家的眼光.：中國少年兒童,2002.1[4]培軍：淺談新課程理念下學(xué)生數(shù)學(xué)審美能力的培養(yǎng).中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué).：中國人民大學(xué)書報(bào)資料中心,20XX第4期.[5]莊亞棟主編：高中數(shù)學(xué)教與學(xué).：中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)編輯部,20XX第1期.[6]順燕主編：心靈之化.：大學(xué),2002.11.TheBeautyOfMathematicsGuoHuiCaiDirectedbyAssociateProfessorDongYongQuanAbstractAseducationandleisuredevelopmorepeoplewillenjoymusicandpainting.Butthenumberofpeoplewhoreallyenjoymathematicsisverysmall.ArtfollowsbeautyandmathematicsisalsoThebeautyofmathematicsisakindofthebeautyofscience..Amongmathematics,ithasitsownbeautyattheaspectsofcontent,construction,shape,andetc,sothebeautyofmathematicsisvivid,concreteandvisiual.Thearticleapproachsthethreechiefbeautyofmathematics:thebeautyoflaconic,thebeautyofsymmetry,thebeautyofharm