有關(guān)函數(shù)最值問題的十二種解法

本稿件適合高三高考復(fù)習(xí)用有關(guān)函數(shù)最值問題的十二種解題方法與策略貴州省龍里中學(xué)高級教師洪其強(qiáng)（551200）一、消元法：在已知條件等式下，求某些二元函數(shù)的最值時，可利用條件式消去一個參量，從而將二元函數(shù)化為在給定區(qū)間上求一元函數(shù)的最值問題。例1、已知、且，求的值域。解：由得，即。 當(dāng)時，取得最大值；當(dāng)時，取得最小值0。即的值域?yàn)槎⑴袆e式法：對于某些特殊形式的函數(shù)的最值問題，經(jīng)過適當(dāng)變形后，使函數(shù)出現(xiàn)在一個有實(shí)根的一元二次方程的系數(shù)中，然后利用一元二次方程有實(shí)根的充要條件來求出的最值。例2、求函數(shù)的最值。解：由得，因?yàn)椋?，即，解得。因此的最大值是，最小值是?。三、配方法：對于涉及到二次函數(shù)的最值問題，常用配方法求解。例3、求在區(qū)間內(nèi)的最值。解：配方得，所以，從而當(dāng)即時，取得最大值；當(dāng)即時取得最小值1。四、輔助角公式：如果函數(shù)經(jīng)過適當(dāng)變形化為、均為常數(shù)），則可用輔助角公式來求函數(shù)的最值。例4、求函數(shù)的值域。解：由化為，即，從而。因此的值域?yàn)椤Ｎ?、三角代換法：例5、求函數(shù)的值域。解：由，令，其中，則，因?yàn)椋?，從而，因此。六、基本不等式法：運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最值時要緊扣“一正、二定、三相等”這三個條件。例6、求函數(shù)的值域。解：。當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以七、求導(dǎo)法：例7、用總長14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少時，容器的容積最大？并求出它的最大容積．解：設(shè)容器底面短邊長為xm容器容積為ym3，則另一邊為(x+0.5)m,高為例10、求函數(shù)的最小值。分析：=表示動點(diǎn)到定點(diǎn)，的距離之和，而A、B兩點(diǎn)分別位于X軸的上下兩側(cè)，由此連接交X軸于一點(diǎn)，易證該點(diǎn)即是所求的P點(diǎn)。解：由題意及分析易得直線AB的方程為，令得即所求的P點(diǎn)為（3，0）。此時的最小值是。2、利用直線的斜率求最值。例11、求函數(shù)的值域。解：令，則可以看成坐標(biāo)平面內(nèi)過點(diǎn)、的直線的斜率。因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動，因此，當(dāng)直線是此圓的切線時，斜率取得最值。設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，則有，解得，。因此的值域?yàn)椤?、線性規(guī)劃法：對于一個線性最值問題，首先應(yīng)作出約束條件所確定的可行域，則其最值一定在可行域的邊界上取到。例12、設(shè)x，y滿足約束條件：，求z＝3x＋2y的最大值。解：畫出可行域（見蘭色區(qū)域），并畫出經(jīng)過可行域的一組平行線（見紅線），如下圖所示：由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)A(1,1)時，截距最大，即z最大，∴zmax=3×1+2×1=5十一、待定系數(shù)法：例13、若實(shí)數(shù)x、y滿足的最大值。解：因?yàn)閷?shí)數(shù)xy滿足,所以設(shè)z=x+2y=m(2x+y)+n(x+3y),∴,∴z=(2x+y)+(x+3y)≤×8+×9=7.即的最大值為7。十二、萬能公式法：對于由同角的正弦和余弦組成的一次分式函數(shù)的最值問題，可以通過萬能公式把含正弦和余弦的函數(shù)化為只含正切的函數(shù)來求出。例