數(shù)模第16講主成分分析

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)后勤工程學(xué)院數(shù)學(xué)教研室第16講主成分分析實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)內(nèi)容2.掌握用數(shù)學(xué)軟件求解主成分分析問(wèn)題。1.了解主成分分析的基本內(nèi)容。1.主成分分析問(wèn)題引例及基本理論。2.用數(shù)學(xué)軟件求解主成分分析問(wèn)題。3.應(yīng)用實(shí)例一、主成分分析概念

主成分分析就是設(shè)法將原來(lái)眾多具有一定相關(guān)性的指標(biāo)，重新組合成幾個(gè)新的相互無(wú)關(guān)的綜合指標(biāo)，并且盡可能多地反映原來(lái)指標(biāo)的信息。它是數(shù)學(xué)上的一種降維方法。例如，在商業(yè)經(jīng)濟(jì)中，可以把復(fù)雜的數(shù)據(jù)綜合成幾個(gè)商業(yè)指數(shù)，如物價(jià)指數(shù)，消費(fèi)指數(shù)等。

數(shù)學(xué)上的處理就是將原來(lái)P個(gè)指標(biāo)作線性組合，作為新的綜合指標(biāo)，但是這種線性組合，如果不加限制，則可以有很多，我們應(yīng)該如何去選取呢？為了讓這種綜合指標(biāo)反映足夠多原來(lái)的信息，要求綜合指標(biāo)的方差要大，即若Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多，因此在所有線性組合中所選取的F1應(yīng)該是方差最大的，故稱F1為第一主成分。如果第一主成分不足以代表原來(lái)P個(gè)指標(biāo)的信息。再考慮選取第二個(gè)線性組合F2

，稱F2為第二主成分，為了有效地反映原來(lái)的信息，F(xiàn)1中已有的信息就不需要出現(xiàn)在F2中，數(shù)學(xué)表達(dá)就是要求Cov(F1,

F2)=0。依次類推可以構(gòu)造出第三，第四，……，第p個(gè)主成分。這些主成分之間不僅不相關(guān)，而且它們的方差是依次遞減的。在實(shí)際工作中，通常挑選前幾個(gè)最大主成分，雖然可能會(huì)失去一小部分信息，但抓住了主要矛盾。

二、主成分分析法定理顯然，貢獻(xiàn)率越大，表明該成分綜合的信息越多。

貢獻(xiàn)率主成分分析計(jì)算步驟三、案例數(shù)據(jù)來(lái)源：《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》（1997-2006）

主成分分析過(guò)程（1）錄入原始數(shù)據(jù)

x=[-0.7608-0.6421-0.5406-1.2510-1.1981-1.1417-1.3815-0.5071-0.8451-0.7553-0.7886-1.1346-1.0196-1.2123-1.1304-0.5096-0.7479-0.63980.2219-0.8632-0.7682-0.7998-0.77660.4160-0.7352-0.8850-0.5092-0.5594-0.7586-0.6164-0.54151.3918-0.6667-0.64430.1044-0.3407-0.6214-0.4043-0.24721.1301-0.4746-0.4592-0.91820.17140.03490.3036-0.1172-1.70540.19510.2756-0.52920.33260.70170.17480.5043-0.89400.93470.5575-0.55140.75200.98780.74951.1870-0.58511.21910.99841.45911.24171.23301.37711.09910.27981.88142.19432.05191.65111.40841.56941.40390.9836]x=zscore(X);%數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化（2）數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化每一列進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：每一列減去均值后除以標(biāo)準(zhǔn)差V是一列，則Z=(V-mean(V))./std(V)計(jì)算出各指標(biāo)之間的相關(guān)系數(shù)矩陣

std=[1.00000.98040.74140.94460.94620.93730.93280.11200.98041.00000.79020.91360.90580.90130.87880.12580.74140.79021.00000.67560.59370.67910.59850.55170.94460.91360.67561.00000.97710.99460.97680.07020.94620.90580.59370.97711.00000.96880.9804-0.05390.93730.90130.67910.99460.96881.00000.96240.04060.93280.87880.59850.97680.98040.96241.00000.07370.11200.12580.55170.0702-0.05390.04060.07371.0000]

std=CORRCOEF(X)%計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣

（3）計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣（3）求出標(biāo)準(zhǔn)化相關(guān)系數(shù)矩陣的特征根和特征向量[vec,val]=eig(std)

vec=0.2856-0.08100.70550.0976-0.4783-0.1476-0.02100.3919-0.29010.1049-0.53550.2760-0.4894-0.39250.02210.38440.09180.11910.0499-0.34870.4449-0.57750.47780.30590.6940-0.0721-0.32910.35510.27710.2002-0.08910.3923-0.1529-0.6837-0.1472-0.5231-0.02390.1591-0.19880.3854-0.5589-0.02060.28510.45640.46560.1347-0.10430.3896-0.05100.6871-0.0237-0.4158-0.07990.4303-0.11380.3839-0.0767-0.1521-0.03430.1082-0.18220.47110.83630.0591val=0.0005000000000.0047000000000.0122000000000.0231000000000.0998000000000.2743000000001.3060000000006.2794將特征值構(gòu)成一個(gè)新向量newval=diag(val)；newval=0.00050.00470.01220.02310.09980.27431.30606.2794[y,ii]=sort(newval)(將特征向量的特征值排序)

y=0.00050.00470.01220.02310.09980.27431.30606.2794

ii=12345678

rate=y/sum(y)；newrate=newy/sum(newy)rate=0.00010.00060.00150.00290.01250.03430.16320.7849最后兩個(gè)指標(biāo)累計(jì)貢獻(xiàn)率為94.7%，是主要成分，說(shuō)明最后兩個(gè)主成分已包含了全部測(cè)量指標(biāo)所具有的信息，這樣既減少了變量的個(gè)數(shù)又便于對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析和研究，因此只采用最后兩個(gè)主成分來(lái)分析。

（4）計(jì)算特征值的貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率累計(jì)貢獻(xiàn)率中用到的特征值中，最大的特征值開(kāi)平方與該特征值對(duì)應(yīng)的特征向量之積作為第一主成分的系數(shù)，第二大的特征值開(kāi)平方與該特征值對(duì)應(yīng)的特征向量之積作為第二主成分的系數(shù)，其余的以此類推，得到主成分載荷矩陣。

(5)計(jì)算主成分載荷(系數(shù))

aa=[0.98200.96320.76660.98310.96570.97630.96200.1481-0.02410.02530.5461-0.1018-0.2272-0.1192-0.13000.9558]在本例中：第一主成分系數(shù)：第二主成分系數(shù)：(6)對(duì)主成分載荷歸一化Matlab程序（zcffx）程序(續(xù))：fprintf('主成分?jǐn)?shù)：%g\n\n',length(newi));fori=1:1:length(newi)%計(jì)算載荷aaforj=1:1:length(y)

aa(i,j)=sqrt(newval(newi(i)))*vec(j,newi(i));endendaaa=aa.*aa;%主成分載荷歸一化zcfhzfori=1:1:length(newi)forj=1:1:length(y)

zcfhz(i,j)=aa(i,j)/sqrt(sum(aaa(i,:)));endendfprintf('主成分載荷：\n'),zcfhz%輸出主成分載荷zcfhz計(jì)算結(jié)果：主成分?jǐn)?shù)：2計(jì)算主成分載荷：aa=0.98200.96320.76660.98310.96570.97630.96200.1481-0.02410.02530.5461-0.1018-0.2272-0.1192-0.13000.9558主成分載荷（單位化后）：a=0.39190.38440.30590.39230.38540.38960.38390.0591-0.02100.02210.4778-0.0891-0.1988-0.1043-0.11380.8363結(jié)果分析：1．在第一主成分的表達(dá)式中，我們可以看出第一項(xiàng)、二項(xiàng)、四項(xiàng)、五項(xiàng)、六項(xiàng)、七項(xiàng)的系數(shù)比較大，這6項(xiàng)指標(biāo)對(duì)城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平的影響較大。其中食品消費(fèi)和醫(yī)療保健消費(fèi)系數(shù)比另外幾項(xiàng)都大，說(shuō)明居民現(xiàn)在很注重吃和健康兩方面。

2．在第二主成分表達(dá)式中，只有第八項(xiàng)的系數(shù)比較的系數(shù)比較大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)其他指標(biāo)的系數(shù)，因此可以單獨(dú)看作是雜項(xiàng)商品和服務(wù)的影響，說(shuō)明人們的生活用品等雜項(xiàng)商品及服務(wù)在消費(fèi)水平中也占據(jù)了很大的比例。

建模案例：葡萄酒評(píng)價(jià)模型1.問(wèn)題的重述

葡萄酒的品質(zhì)由品酒員確定，每位品酒員品嘗后對(duì)葡萄酒的分類指標(biāo)打分，求和得到總分即可確定葡萄酒的質(zhì)量。釀酒葡萄的好壞與所釀葡萄酒的質(zhì)量有直接的關(guān)系，葡萄酒和釀酒葡萄檢測(cè)的理化指標(biāo)會(huì)在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的質(zhì)量。根據(jù)附件中給出的某一年份一些葡萄酒的評(píng)價(jià)結(jié)果與該年份這些葡萄酒的和釀酒葡萄的成分?jǐn)?shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型討論下列問(wèn)題。（1）分析附件1中兩組評(píng)酒員的評(píng)價(jià)結(jié)果有無(wú)顯著性差異，哪一組結(jié)果更可信？（2）根據(jù)釀酒葡萄的理化指標(biāo)和葡萄酒的質(zhì)量對(duì)這些釀酒葡萄進(jìn)行分級(jí)。

2.問(wèn)題一求解：分析附件1中兩組評(píng)酒員的評(píng)價(jià)結(jié)果有無(wú)顯著性差異，哪一組結(jié)果更可信？經(jīng)檢驗(yàn)兩組品酒員所打分?jǐn)?shù)均服從正態(tài)分布，因此在正態(tài)總體下可以對(duì)均值和方差進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。我們從三個(gè)方面入手，作假設(shè)檢驗(yàn)。計(jì)算步驟為：

(1)兩組評(píng)酒員評(píng)價(jià)結(jié)果的差異性檢驗(yàn);(2)兩組評(píng)酒員評(píng)價(jià)結(jié)果可信度評(píng)估

。

2.1兩組評(píng)酒員評(píng)價(jià)結(jié)果的差異性檢驗(yàn)附件12）評(píng)酒員評(píng)分的正態(tài)分布檢驗(yàn)分析兩組評(píng)分的均值數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布，需要繪制數(shù)據(jù)的正態(tài)概率圖。如果正態(tài)概率圖中期望累計(jì)概率和觀測(cè)累計(jì)概率分布或近似分布在斜率為1的直線上，則該數(shù)據(jù)服從或近似服從正態(tài)分布。

根據(jù)附件表1的平均分?jǐn)?shù)據(jù)，利用Matlab命令：h=normplot(x)直接得到葡萄酒平均分x的正態(tài)概率圖。

h=normplot(x)

圖9-21兩組評(píng)酒員對(duì)紅葡萄酒評(píng)分的正態(tài)概率圖圖9-22兩組評(píng)酒員對(duì)白葡萄酒評(píng)分的正態(tài)概率圖結(jié)論：由圖分析可知，兩組數(shù)據(jù)都可以近似看成正態(tài)分布，從而可以進(jìn)行參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。

3）評(píng)酒員評(píng)分的顯著差異檢驗(yàn)對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)（2），同理進(jìn)行F檢驗(yàn)：2.2兩組評(píng)酒員評(píng)價(jià)結(jié)果可信度評(píng)估圖9-24

白葡萄酒兩組評(píng)價(jià)結(jié)果的變異系數(shù)比較圖根據(jù)Excel表(附件3)可得，兩組評(píng)酒員評(píng)分的變異系數(shù)比較：圖9-23

紅葡萄酒兩組評(píng)價(jià)結(jié)果的變異系數(shù)比較圖評(píng)價(jià)結(jié)果

通過(guò)上面葡萄酒的兩組評(píng)價(jià)結(jié)果變異系數(shù)比較圖可以直觀的發(fā)現(xiàn)：兩組葡萄酒評(píng)分的變異系數(shù)明顯不一樣。

3．問(wèn)題二求解：根據(jù)釀酒葡萄的理化指標(biāo)和葡萄酒

的質(zhì)量對(duì)釀酒葡萄進(jìn)行分級(jí)問(wèn)題二的關(guān)鍵是確定評(píng)價(jià)指標(biāo)，建立綜合評(píng)價(jià)模型。計(jì)算步驟為：

(1)

根據(jù)資料篩選附表中的數(shù)據(jù)，確定對(duì)釀酒葡萄影響較大的理化指標(biāo)，由于第二組的評(píng)價(jià)結(jié)果更可信，選取第二組的評(píng)價(jià)結(jié)果作為葡萄酒的質(zhì)量。

(2)

將數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，采用主成分分析法，找出主成分，以簡(jiǎn)化評(píng)價(jià)指標(biāo)。