數(shù)值方法 課件 劉智永 第7-9章 有限差分方法、有限元方法、無網(wǎng)格方法

數(shù)值方法“新工科建設”教學探索成果有限差分方法第七章偏微分方程

及其分類01一、偏微分方程及其分類一、偏微分方程及其分類一、偏微分方程及其分類表7-1列出了一些常見的線性方程與非線性方程.一、偏微分方程及其分類表7-1列出了一些常見的線性方程與非線性方程.一、偏微分方程及其分類表7-2列出了一些常見的線性方程組與非線性方程組.拋物型方程有限差分方法02二、拋物型方程有限差分方法1-D拋物型方程離散01二、拋物型方程有限差分方法1-D拋物型方程離散01二、拋物型方程有限差分方法1-D拋物型方程離散01二、拋物型方程有限差分方法1-D拋物型方程離散01二、拋物型方程有限差分方法1-D拋物型方程離散01二、拋物型方程有限差分方法1-D拋物型方程離散01二、拋物型方程有限差分方法穩(wěn)定性、相容性和收斂性02二、拋物型方程有限差分方法穩(wěn)定性、相容性和收斂性02二、拋物型方程有限差分方法穩(wěn)定性、相容性和收斂性02二、拋物型方程有限差分方法2-D拋物型方程離散03這樣，我們可以得到二維擴散方程的離散格式.二、拋物型方程有限差分方法2-D拋物型方程離散03圖7-1顯示了二維區(qū)域上的網(wǎng)格劃分.二、拋物型方程有限差分方法2-D拋物型方程離散03二、拋物型方程有限差分方法2-D拋物型方程離散02二、拋物型方程有限差分方法2-D拋物型方程離散03二、拋物型方程有限差分方法ADI格式04二、拋物型方程有限差分方法ADI格式04二、拋物型方程有限差分方法ADI格式04二、拋物型方程有限差分方法ADI格式04雙曲型方程有限差分方法03三、雙曲型方程有限差分方法基本差分方法01三、雙曲型方程有限差分方法基本差分方法01三、雙曲型方程有限差分方法基本差分方法01三、雙曲型方程有限差分方法基本差分方法01三、雙曲型方程有限差分方法基本差分方法01三、雙曲型方程有限差分方法守恒律02三、雙曲型方程有限差分方法守恒律02三、雙曲型方程有限差分方法二階雙曲型方程03三、雙曲型方程有限差分方法二階雙曲型方程03三、雙曲型方程有限差分方法二階雙曲型方程03三、雙曲型方程有限差分方法二階雙曲型方程03三、雙曲型方程有限差分方法二階雙曲型方程03三、雙曲型方程有限差分方法二階雙曲型方程03三、雙曲型方程有限差分方法二階雙曲型方程03橢圓型方程有限差分方法04四、橢圓型方程有限差分方法基本差分方法01四、橢圓型方程有限差分方法基本差分方法01四、橢圓型方程有限差分方法基本差分方法01四、橢圓型方程有限差分方法基本差分方法01四、橢圓型方程有限差分方法基本差分方法01四、橢圓型方程有限差分方法其他應用02四、橢圓型方程有限差分方法其他應用02四、橢圓型方程有限差分方法其他應用02四、橢圓型方程有限差分方法其他應用02四、橢圓型方程有限差分方法其他應用02數(shù)值方法“新工科建設”教學探索成果有限元方法第八章一維橢圓型方程離散01一、一維橢圓型方程離散一、一維橢圓型方程離散一、一維橢圓型方程離散一、一維橢圓型方程離散一、一維橢圓型方程離散一、一維橢圓型方程離散一、一維橢圓型方程離散二維橢圓型方程離散02二、二維橢圓型方程離散二、二維橢圓型方程離散二、二維橢圓型方程離散二、二維橢圓型方程離散二、二維橢圓型方程離散二、二維橢圓型方程離散有限元收斂理論03三、有限元收斂理論變分問題解的存在性01三、有限元收斂理論變分問題解的存在性01三、有限元收斂理論Sobolev空間02三、有限元收斂理論Sobolev空間02三、有限元收斂理論Sobolev空間02三、有限元收斂理論有限元插值理論03三、有限元收斂理論有限元插值理論03三、有限元收斂理論有限元插值理論03三、有限元收斂理論誤差估計04三、有限元收斂理論誤差估計04三、有限元收斂理論誤差估計04一些常見有限元04四、一些常見有限元P1,P2有限元01四、一些常見有限元P1,P2有限元01四、一些常見有限元P1,P2有限元01四、一些常見有限元P1,P2有限元01四、一些常見有限元Q1,Q2有限元02四、一些常見有限元Q1,Q2有限元02四、一些常見有限元Q1,Q2有限元02四、一些常見有限元Q1,Q2有限元02四、一些常見有限元Q1,Q2有限元02四、一些常見有限元其他有限元03四、一些常見有限元其他有限元03四、一些常見有限元其他有限元03四、一些常見有限元其他有限元03四、一些常見有限元其他有限元03數(shù)值方法“新工科建設”教學探索成果無網(wǎng)格方法第九章Kansa方法01一、Kansa方法一、Kansa方法一、Kansa方法不同于有限差分方法與有限元方法，以上這種離散偏微分方程的方法更加，接近于插值與逼近的思想.這個方法更加簡潔一些，不僅避免了在求解區(qū)域中生，成網(wǎng)格，而且更加容易構造試探空間(只需要一個嚴格正定的徑向函數(shù)和求解區(qū)域中的兩組散亂數(shù)據(jù)).一、Kansa方法在實際計算中，可以選取檢驗數(shù)據(jù)y與中心數(shù)據(jù)x為同一組數(shù)據(jù)，但此時X須包含邊界數(shù)據(jù).由于系數(shù)矩陣A是不對稱的，即使在檢驗數(shù)據(jù)與中心數(shù)據(jù)相同的情況下，由于微分算子L的作用，矩陣依然不對稱，因而這種離散方法通常被稱為不對稱配點方法(也稱為Kansa方法).圖9-1顯示了求解區(qū)域內(nèi)部與邊界上散亂數(shù)據(jù)的分布.對稱配點方法02二、對稱配點方法二、對稱配點方法顯然，當x=y時，A為對稱矩陣.因而，上述離散方法經(jīng)常被稱為對稱配點方法(由于對內(nèi)點處的徑向基函數(shù)使用了微分算子作用，有時候也稱為Hermite型配點法).二、對稱配點方法當散亂數(shù)據(jù)任意分布時，不對稱配點方法的離散矩陣的可逆性不能得到保證，因而在實際應用中經(jīng)常選取y中的數(shù)據(jù)多于x中的數(shù)據(jù)，然后求解一個超定的代數(shù)方程組.而對稱配點方法的離散矩陣是可逆的，這就保證了當檢驗數(shù)據(jù)等于中心數(shù)據(jù)時方程組的解是唯一的.然而，由于使用了帶有微分算子作用的徑向基函數(shù)，對稱方法應用于求解高階問題與非線性問題時受到了限制.Galerkin配點方法03三、Galerkin配點方法三、Galerkin配點方法與有限元基函數(shù)的構造相比較，Galerkin配點方法的試探函數(shù)空間的構造顯得更加容易些，但是徑向基函數(shù)的數(shù)值積分計算比有限元方法困難些.多尺度配點方法04四、多尺度配點方法使用徑向基函數(shù)無網(wǎng)格方法(諸如不對稱配點方法、對稱配點方法、Galerkin配點方法等)離散偏微分方程時，數(shù)值解往往具有高精度.但是無網(wǎng)格方法的離散代數(shù)方程組系數(shù)矩陣具有很大的條件數(shù)，甚至當散亂數(shù)據(jù)增多時會出現(xiàn)嚴重病態(tài).因此，數(shù)值離散的高精度和代數(shù)問題求解困難兩者之間存在著矛盾.解決.這一矛盾的傳統(tǒng)方法是引入形狀參數(shù)ε，將數(shù)據(jù)x上的試探函數(shù)空間寫為事實證明，ε越小，逼近效果越好，但矩陣條件數(shù)增大；ε越大，矩陣條件數(shù)變好，但逼近精度下降.Schaback建議使用多尺度的思想解決上述矛盾，形成了散亂數(shù)據(jù)結構上的第一個多尺度算法.四、多尺度配點方法該算法需要一個具有緊支集的徑向函數(shù)和一個逐次加密的散亂數(shù)據(jù)集

首先從一個粗水平開始，利用較大的支集在粗水平上求解微分方程；然后計算殘量，將殘量延拓到下一個細水平，并在其上求解殘量方程(細水平上選擇同樣的緊支集徑向函數(shù)，但是用一個較小的支集)；最后校正一次原來的初始解.這個過程重復下去，直到在最細的水平(第l水平)上完成計算.因此，最終的數(shù)值解由不同水平上徑向基函數(shù)的線性組合構成形狀參數(shù)ε的變化會影響緊支集徑向基函數(shù)的支集大小為了使得基函數(shù)支集隨著散亂數(shù)據(jù)的增多而變小，可選擇一組單調(diào)遞增的參數(shù)四、多尺度配點方法這樣，求解式(9-1