人教B版數(shù)學(xué)選修1-1講義第2章2.12.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程Word版含答案

2.1橢圓2.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握橢圓的定義，會用橢圓的定義解決問題．(重點(diǎn))2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點(diǎn))3.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題．(難點(diǎn))1.通過對橢圓定義的理解及在直角坐標(biāo)系下探究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.以橢圓定義、方程的應(yīng)用為載體，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．橢圓的定義(1)定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫做橢圓．(2)相關(guān)概念：兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離|F1F2|叫做橢圓的焦距．思考1：橢圓定義中，將“大于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，點(diǎn)的軌跡是什么？[提示]2a與|F1F2|的大小關(guān)系所確定的點(diǎn)的軌跡如下表：條件結(jié)論2a＞|F1F2|動點(diǎn)的軌跡是橢圓2a＝|F1F2|動點(diǎn)的軌跡是線段F1F22a＜|F1F2|動點(diǎn)不存在，因此軌跡不存在2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置在x軸上在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)(±c,0)(0，±c)a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c2思考2：確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程需要知道哪些量？[提示]a，b的值及焦點(diǎn)所在的位置．1．已知點(diǎn)M到兩個定點(diǎn)A(－1,0)和B(1,0)的距離之和是定值2，則動點(diǎn)M的軌跡是()A一個橢圓B．線段ABC．線段AB的垂直平分線D．直線ABB[定值2等于|AB|，故點(diǎn)M只能在線段AB上．]2．以下方程表示橢圓的是()A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,25)＝1 B．2x2－3y2＝2C．－2x2－3y2＝－1 D．eq\f(x2,n2)＋eq\f(y2,n2＋2)＝0C[A中方程為圓的方程，B，D中方程不是橢圓方程．]3．以坐標(biāo)軸為對稱軸，兩焦點(diǎn)的距離是2，且過點(diǎn)(0,2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1或eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1或eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1C[若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則c＝1，b＝2，得a2＝5，此時橢圓方程是eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1；若焦點(diǎn)在y軸上，則a＝2，c＝1，則b2＝3，此時橢圓方程是eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1.]求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(5,0)；(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個點(diǎn)(0,2)和(1,0)；(3)經(jīng)過點(diǎn)A(eq\r(3)，－2)和點(diǎn)B(－2eq\r(3)，1)．[思路探究]求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，先確定焦點(diǎn)位置，設(shè)出橢圓方程，再定量計算．[解](1)由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．∵2a＝eq\r(5＋42)＋eq\r(5－42)＝10，∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)由于橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由于橢圓經(jīng)過點(diǎn)(0,2)和(1,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)＋x2＝1.(3)法一：①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)2,a2)＋\f(－22,b2)＝1，,\f(－2\r(3)2,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝15，,b2＝5.))故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－22,a2)＋\f(\r(3)2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(－2\r(3)2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝5，,b2＝15.))因為a>b>0，所以無解．綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.法二：設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m＋4n＝1，,12m＋n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,15)，,n＝\f(1,5).))所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.確定橢圓方程的“定位”與“定量”提醒：若橢圓的焦點(diǎn)位置不確定，需要分焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．1．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)分別為(0，－2)，(0,2)，經(jīng)過點(diǎn)(4,3eq\r(2))；(2)經(jīng)過兩點(diǎn)(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2))).[解](1)法一：因為橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由橢圓的定義知2a＝eq\r(4－02＋3\r(2)＋22)＋eq\r(4－02＋3\r(2)－22)＝12，所以a＝6.又c＝2，所以b＝eq\r(a2－c2)＝4eq\r(2).所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,32)＝1.法二：因為橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(18,a2)＋\f(16,b2)＝1，,a2＝b2＋4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝36，,b2＝32.))所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,32)＝1.(2)法一：若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝\f(1,8)，,\f(1,b2)＝\f(1,4).))所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.同理可得：焦點(diǎn)在y軸上的橢圓不存在．綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.法二：設(shè)橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．將兩點(diǎn)(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.與橢圓有關(guān)的軌跡問題【例2】如圖，圓C：(x＋1)2＋y2＝25及點(diǎn)A(1,0)，Q為圓上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線交CQ于M，求點(diǎn)M的軌跡方程．[解]由垂直平分線性質(zhì)可知|MQ|＝|MA|，|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|.∴|CM|＋|MA|＝5.∴M點(diǎn)的軌跡為橢圓，其中2a＝5，焦點(diǎn)為C(－1,0)，A(1,0)，∴a＝eq\f(5,2)，c＝1，∴b2＝a2－c2＝eq\f(25,4)－1＝eq\f(21,4).∴所求軌跡方程為：eq\f(x2,\f(25,4))＋eq\f(y2,\f(21,4))＝1.在求動點(diǎn)的軌跡方程時，要對動點(diǎn)仔細(xì)分析，當(dāng)發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值且大于兩定點(diǎn)之間的距離時，由橢圓的定義知其軌跡是橢圓，這時可根據(jù)定值及兩定點(diǎn)的坐標(biāo)分別求出a，c，即可寫出其方程，這種求軌跡方程的方法叫定義法.2．已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，求動圓圓心的軌跡方程．[解]如圖所示，設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意動圓M內(nèi)切于圓C1，∴|MC1|＝13－r.圓M外切于圓C2，∴|MC2|＝3＋r.∴|MC1|＋|MC2|＝16＞|C1C2|＝8，∴動圓圓心M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝16,2c＝8，b2＝a2－c2＝64－16＝48，故所求軌跡方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.橢圓的定義及其應(yīng)用[探究問題]1．如何用集合語言描述橢圓的定義？[提示]P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a＞|F1F2|}．2．如何判斷橢圓的焦點(diǎn)位置？[提示]判斷橢圓焦點(diǎn)在哪個軸上就要判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項和y2項的分母哪個更大一些，即“誰大在誰上”．3．橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b，c三個量的關(guān)系是什么？[提示]橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，a表示橢圓上的點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)間距離的和的一半，可借助圖形幫助記憶．a(chǎn)，b，c(都是正數(shù))恰是構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，a是斜邊，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2(如圖所示)．【例3】如圖所示，已知橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，若點(diǎn)P為橢圓上的點(diǎn)，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面積．[思路探究]由橢圓的定義和余弦定理分別建立關(guān)于|PF1|和|PF2|的方程，解方程組求得|PF1|，再用面積公式求解．[解]由已知a＝2，b＝eq\r(3)，得c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(4－3)＝1，|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ①由橢圓定義，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|. ②②代入①解得|PF1|＝eq\f(6,5).所以Seq\s\do5(△PF1F2)＝eq\f(1,2)|PF1|·|F1F2|·sin120°＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),5)，即△PF1F2的面積是eq\f(3\r(3),5).(改變問法)在例題題設(shè)條件不變的情況下，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．[解]設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)．由本例解答可知Seq\s\do5(△PF1F2)＝eq\f(1,2)|F1F2|·|y0|＝eq\f(3\r(3),5)，解得|y0|＝eq\f(3\r(3),5)，即y0＝±eq\f(3\r(3),5)，將y0＝±eq\f(3\r(3),5)代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1得x＝±eq\f(8,5)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(8,5)，±\f(3\r(3),5))).橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△F1PF2稱為焦點(diǎn)三角形，解關(guān)于橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題時要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等知識.對于求焦點(diǎn)三角形的面積，若已知∠F1PF2，可利用S＝eq\f(1,2)absinC把|PF1|·|PF2|看成一個整體，利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，這樣可以減少運(yùn)算量.1．思考辨析(1)平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓． ()(2)橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±3,0)． ()(3)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a≠b)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓． ()[提示](1)×2a＞|F1F2|.(2)×(0，±3)．(3)×a＞b＞0時表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．2．已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一點(diǎn)P到橢圓的一個焦點(diǎn)的距離為3，則到另一個焦點(diǎn)的距離為()A．1 B．5C．2 D．7D[由|PF1|＋|PF2|＝10可知到另一焦點(diǎn)的距離為7.]3．(2019·全國卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A.eq\f