蘇教版數(shù)學(xué)必修三講義第3章3.2古典概型Word版含答案

3.2古典概型學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解等可能事件的意義，會(huì)把事件分解成等可能基本事件．(難點(diǎn))2．理解古典概型的特點(diǎn)，掌握等可能事件的概率計(jì)算方法．(重點(diǎn))1.通過(guò)求解概率鍛煉學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．2．利用古典概型的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).1．在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果稱為基本事件，若在一次試驗(yàn)中，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件．2．我們把具有：(1)所有的基本事件只有有限個(gè)；(2)每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的，兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．3．基本事件總數(shù)為n的古典概型中，每個(gè)基本事件發(fā)生的概率為eq\f(1,n).4．在古典概型中，任何事件的概率P(A)＝eq\f(m,n)，其中n為基本事件的總數(shù)，m為隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)．1．下列對(duì)古典概型的說(shuō)法不正確的是()A．試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)B．每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等C．每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等D．基本事件總數(shù)為n，隨機(jī)事件A若包含k個(gè)基本事件，則P(A)＝eq\f(k,n)B[正確理解古典概型的特點(diǎn)，即基本事件的有限性與等可能性．]2．從1,2,3,4中任意取兩個(gè)不同的數(shù)字組成兩位數(shù)，則基本事件共有________個(gè)．12[基本事件為12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共12個(gè)．]3．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________．eq\f(5,6)[分別以1,2,3,4表示1只白球，1只紅球，2只黃球，則隨機(jī)摸出2只球的所有基本事件為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6個(gè)基本事件，2只球顏色不同的基本事件有5個(gè)，故所求的概率P＝eq\f(5,6).]4．從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，則b>a的概率是________．eq\f(1,5)[由題意，b>a時(shí)，b＝2，a＝1；b＝3，a＝1或2，即共有3種情況．又從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b共有5×3＝15種情況，故所求概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).]基本事件的計(jì)數(shù)問題【例1】連續(xù)擲3枚硬幣，觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面．(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的基本事件；(2)求這個(gè)試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)；(3)“恰有2枚正面朝上”這一事件包含哪些基本事件？思路點(diǎn)撥：由于本試驗(yàn)所包含基本事件不多，可以利用列舉法．[解](1)這個(gè)試驗(yàn)的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)這個(gè)試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)是8.(3)“恰有2枚正面朝上”包含以下3個(gè)基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．求基本事件的個(gè)數(shù)常用列舉法、列表法、畫樹形圖法，解題時(shí)要注意以下幾個(gè)方面：(1)列舉法適用于基本事件個(gè)數(shù)不多的概率問題，用列舉法時(shí)要注意不重不漏；(2)列表法適用于基本事件個(gè)數(shù)不是太多的情況，通常把問題歸結(jié)為“有序?qū)崝?shù)對(duì)”，用列表法時(shí)要注意順序問題；(3)畫樹形圖法適合基本事件個(gè)數(shù)較多的情況，若是有順序的問題，可以只畫一個(gè)樹形圖，然后乘元素的個(gè)數(shù)即可．1．一只口袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中一次摸出兩個(gè)球．(1)共有多少個(gè)基本事件？(2)兩個(gè)都是白球包含幾個(gè)基本事件？思路點(diǎn)撥：解答本題可先列出摸出兩球的所有基本事件，再數(shù)出均為白色的基本事件數(shù)．[解](1)法一：采用列舉法分別記白球?yàn)?,2,3號(hào)，黑球?yàn)?,5號(hào)，有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10個(gè)(其中(1,2)表示摸到1號(hào)，2號(hào)球)．法二：(采用列表法)設(shè)5個(gè)球的編號(hào)為a，b，c，d，e，其中a，b，c為白球，d，e為黑球．列表如下：abcdea(a，b)(a，c)(a，d)(a，e)b(b，a)(b，c)(b，d)(b，e)c(c，a)(c，b)(c，d)(c，e)d(d，a)(d，b)(d，c)(d，e)e(e，a)(e，b)(e，c)(e，d)由于每次取兩個(gè)球，每次所取兩個(gè)球不相同，而摸(b，a)與(a，b)是相同的事件，故共有10個(gè)基本事件．(2)解法“兩個(gè)都是白球”包括(1,2)，(1,3)，(2,3)三種．解法，包括(a，b)，(b，c)，(c，a)三種．2．做投擲2顆骰子的試驗(yàn)，用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第2顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．寫出：(1)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”(2)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”；(3)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和等于7”思路點(diǎn)撥：用列舉法將所有結(jié)果一一列舉出來(lái)，同時(shí)應(yīng)把握列舉的原則，不要出現(xiàn)重復(fù)和遺漏．[解](1)“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含以下10個(gè)基本事件(2)“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含以下6個(gè)基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．(3)“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和等于7”包含以下6個(gè)基本事件利用古典概型公式求解概率【例2】先后擲兩枚均勻的骰子．(1)一共有多少種不同的結(jié)果？(2)向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？(3)向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率是多少？(4)出現(xiàn)兩個(gè)4點(diǎn)的概率是多少？思路點(diǎn)撥：eq\x(基本事件個(gè)數(shù)有限)→eq\x(每個(gè)基本事件發(fā)生是等可能的)→eq\x(古典概型)→eq\x(利用PA＝\f(m,n)求解)[解](1)用一個(gè)“有序?qū)崝?shù)對(duì)”表示先后擲兩枚骰子得到的結(jié)果，如用(1,3)表示擲第一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)是1，擲第二枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)是3，則下表列出了所有可能的結(jié)果．?dāng)S第二枚得到的點(diǎn)擲第一枚得到的點(diǎn)數(shù)1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)從表中可以看出，先后擲兩枚骰子的所有可能結(jié)果共有36種．由于擲骰子是隨機(jī)的，因此這36種結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的，該試驗(yàn)的概率模型為古典概型．(2)在所有的結(jié)果中，向上的點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)共4種．(3)記“向上點(diǎn)數(shù)之和為5”為事件A由古典概型的概率計(jì)算公式可得P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).(4)記“出現(xiàn)兩個(gè)4點(diǎn)”為事件B．因?yàn)槭录﨎出現(xiàn)的可能結(jié)果只有1種，所以事件B發(fā)生的概率P(B)＝eq\f(1,36).古典概型的解題步驟(1)閱讀題目，搜集信息；(2)判斷是否是古典概型；(3)求出基本事件總數(shù)n和事件A所包含的結(jié)果數(shù)m；(4)用公式P(A)＝eq\f(m,n)求出概率并下結(jié)論．3．甲、乙兩人參加法律知識(shí)競(jìng)答，共有10道不同的題目，其中選擇題6道，判斷題4道，甲、乙兩人依次各抽一道題．甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少？思路點(diǎn)撥：由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率．甲、乙兩人從10道題中不放回地各抽一道題，共有90種抽法，即基本事件總數(shù)是90.[解]甲、乙兩人從10道題中不放回地各抽一道題，先抽的有10種抽法，后抽的有9種抽法，故所有可能的抽法是10×9＝90(種)，即基本事件總數(shù)是90.記“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”為事件A，下面求事件A包含的基本事件數(shù)：甲抽到選擇題有6種抽法，乙抽到判斷題有4種抽法，所以事件A的基本事件數(shù)為6×4＝24.P(A)＝eq\f(24,90)＝eq\f(4,15).4．甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個(gè)紅球、2個(gè)白球；乙袋裝有2個(gè)紅球、3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩袋中各任取2個(gè)球，求取到的4個(gè)球全是紅球的概率．思路點(diǎn)撥：本題求解基本事件的總數(shù)是關(guān)鍵，對(duì)于(甲，甲)的每一種結(jié)果，都有(乙，乙)的10種結(jié)果配對(duì)，所以{(甲，甲)，(乙，乙)}共有6×10＝60(個(gè))基本事件．[解]試驗(yàn)的所有結(jié)果可以表示{(甲，甲)，(乙，乙)}．其中(甲，甲)表示從甲袋中取出的球，(乙，乙)表示從乙袋中取出的球，則從甲袋中取出的球有(紅1，白1)，(紅1，白2)，(紅2，白1)，(紅2，白2)，(紅1，紅2)，(白1，白2)，共6種不同的結(jié)果；從乙袋中取出的球有(紅1，白1)，(紅1，白2)，(紅1，白3)，(紅2，白1)，(紅2，白2)，(紅2，白3)，(紅1，紅2)，(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)，共10種不同的結(jié)果．相對(duì)于(甲，甲)，(乙，乙)而言，就有60個(gè)基本事件．記“取到的4個(gè)球?yàn)榧t球”為事件A，則事件A包含的基本事件只有1種，所以P(A)＝eq\f(1,60).概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題【例3】某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工．根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率；(3)從評(píng)分在[40,60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人的評(píng)分都在[40,50)的概率．思路點(diǎn)撥：(1)利用頻率分布直方圖中的信息，所有矩形的面積和為1，求A．(2)對(duì)該部門評(píng)分不低于80的即為[80,90)和[90,100]，求出頻率，估計(jì)概率．(3)求出評(píng)分在[40,60)的受訪職工和評(píng)分在[40,50)的人數(shù)，隨機(jī)抽取2人，列舉法求出所有可能情況，利用古典概型公式解答．[解](1)因?yàn)?0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以該企業(yè)職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為0.4.(3)受訪職工中評(píng)分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，記為A1，A2，A3；受訪職工中評(píng)分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，記為B1，B2.從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因?yàn)樗槿?人的評(píng)分都在[40,50)的結(jié)果有1種，即{B1，B2}，故所求的概率為eq\f(1,10).有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型，已成為高考考查的熱點(diǎn)，概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合題，無(wú)論是直接描述還是利用頻率分布表、分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決．5．某校高三學(xué)生體檢后，為了解高三學(xué)生的視力情況，該校從高三六個(gè)班的300名學(xué)生中以班為單位(每班學(xué)生50人)，每班按隨機(jī)抽樣方法抽取了8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)．其中高三(1)班抽取的8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)與人數(shù)見下表：視力數(shù)據(jù)4.04.14.24.34.44.54.64.74.84.95.05.15.25.3人數(shù)22211(1)用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)高三(1)班學(xué)生視力的平均值；(2)已知其余五個(gè)班學(xué)生視力的平均值分別為4.3,4.4,4.5,4.6,4.8.若從這六個(gè)班中任意抽取兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值作比較，求抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對(duì)值不小于0.2的概率．思路點(diǎn)撥：(1)把高三(1)班這8個(gè)學(xué)生的視力值相加，再除以8，即得平均值．(2)用列舉法求得抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對(duì)值不小于0.2的取法，進(jìn)而可求概率．[解](1)高三(1)班學(xué)生視力的平均值為eq\f(4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.1,8)＝4.7，故用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)高三(1)班學(xué)生視力的平均值為4.7.(2)從這六個(gè)班中任意抽取兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值作比較，所有的取法共有15種，而滿足抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對(duì)值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4,4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10種，故抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對(duì)值不小于0.2的概率為P＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).6．某冷飲店只出售一種飲品，該飲品每一杯的成本價(jià)為3元，售價(jià)為8元，每天售出的第20杯及之后的飲品半價(jià)出售，該店統(tǒng)計(jì)了近10天的飲品銷量，如圖所示，設(shè)x為每天飲品的銷量，y為該店每天的利潤(rùn)．(1)求y關(guān)于x的表達(dá)式；(2)從日利潤(rùn)不少于96元的幾天里任選2天，求選出的這2天日利潤(rùn)都是97元的概率．[解](1)由題意，得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－3x，0≤x≤19，x∈Z，,8－3×19＋4－3×x－19，x＞19，x∈Z，))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x，0≤x≤19，x∈Z，,x＋76，x＞19，x∈Z.))(2)由(1)可知，日銷售量不小于20杯時(shí)，日利潤(rùn)不少于96元．日銷售量為20杯時(shí)，日利潤(rùn)為96元；日銷售量為21杯時(shí)，日利潤(rùn)為97元．從條形統(tǒng)計(jì)圖可以看出，日銷售量為20杯的有3天，日銷售量為21杯的有2天．日銷售量為20杯的3天，記為a，b，c，日銷售量為21杯的2天，記為A，B，從這5天中任取2天，包括(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，共10種情況．其中選出的2天日銷售量都為21杯的情況只有1種，故所求概率為eq\f(1,10).1．本節(jié)課的重點(diǎn)是了解基本事件的特點(diǎn)，能寫出一次試驗(yàn)所出現(xiàn)的基本事件，會(huì)用列舉法求古典概型的概率．難點(diǎn)是理解古典概型及其概率計(jì)算公式，會(huì)判斷古典概型．2．本節(jié)課要掌握以下幾類問題(1)基本事件的兩種探求方法．(2)求古典概型的步驟及使用古典概型概率公式的注意點(diǎn)．(3)利用事件的關(guān)系結(jié)合古典概型求概率．3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)(1)列舉基本事件時(shí)易漏掉或重復(fù)．(2)判斷一個(gè)事件是否是古典概型易出錯(cuò).1．下列試驗(yàn)中，是古典概型的是()A．種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽B．從規(guī)格直徑為250m±0.6mm的一批合格產(chǎn)品中任意抽取一件，測(cè)得直徑C．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面D．某人射擊中靶或不中靶C[A中，一粒種子發(fā)芽和不發(fā)芽的可能性不相等，所以A不是；B中，每一件的直徑不相同，即可能性不相等，所以B不是；D中，中靶和不中靶的可能性不相等，所以D不是；C中，出現(xiàn)正面和反面的可能性相等，且結(jié)果僅有兩個(gè)，故選C．]2．一個(gè)口袋內(nèi)裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，則在先摸出1個(gè)白