定點加法減法運算(共10張PPT)

2.2定點加法減法運算負數(shù)用補碼表示后，可以和正數(shù)一樣來處理。這樣，運算器里只需要一個

加法器就可以了，不必為了負數(shù)的加法運算，再配一個減法器。補碼加法的公式是[x]補+[y]

補=[x+y]

補

(mod

2)

(2.17)現(xiàn)分四種情況來證明。假設(shè)采用定點小數(shù)表示，因此證明的先決條件是I

x|

<1,|y|<1,|

x+y|<1。(1)x>0,y>0,

則

x+y>0。相加兩數(shù)都是正數(shù)，故其和也一定是正數(shù)。正數(shù)的補碼和原碼是一樣的，

可得：[x]補+[y]補=

x+y=[x+y]

補

(mod

2)(2)x>0,y<0,

則

x+y>0

或

x+y<0。相加的兩數(shù)一個為正，

一個為負，因此相加結(jié)果有正、負兩種可能。根據(jù)補碼定義，[x]

補=

X,

[y]

補=2+y[x]補+[y]補=x+2+y=2+(x+y)當(dāng)x+y>0

時，2+

(x+y)>2,

進位2必丟失，又因(

x+y)>0,故

[x]

補+[y]=

x+y=[x+y]補

(mod

2)當(dāng)x+y<0

時，2+

(x+y)<2,

又因(x+y)<0,故

[x]

補+[y]=2+(x+y)=[x+y]

補

(mod

2)(3)x<0,y>0,

則

x+y>0

或

x+y<0。這種情況和第2種情況一樣，把

x

和y

的位置對調(diào)即得證。

(4)x<0,y<0,

則

x+y<0。相加兩數(shù)都是負數(shù)，則其和也一定是負數(shù)。[x]

補=2+

x,

[y]

補=2+

y[x]

補

+[y]

補

=

2

+

x+2+y=2+(2+x+y)上式右邊分為”2”和(2+

x+y)

兩部分.既然(x+y)

是負數(shù)，而其絕對值又小于1,那么(2+

x+y)

就一定是小于2而大于1的數(shù)，進位”2”必丟失.又因

(x+y)<0,

所以[x]

補

+[y]

補=2+(x+y)=[x+y]

補

(mod

2)至此我們證明了，在模2意義下，任意兩數(shù)的補碼之和等于該兩數(shù)之和的補

碼.這是補碼加法的理論基礎(chǔ)，其結(jié)論也適用于定點整數(shù)[x+y]

補

0.1110所

以

x+

y=+0.

1110[例9]

x=+0.

1011,y=-0.0101,

求

x+y[解：]

[x]

補=0.

1011,

[y]

補=1.1011[x]

補

0.1011

補

1.1011J

補

10.0110所以

x+y=0.0110由以上兩例看到，補碼加法的特點：一是符號位要作為

數(shù)

的一部

分一起

參加運算，二是要在模2

的

意義下相加，即

超

過2的進位要丟掉。[例8]

x=0.

1001,y=0.0101,

求

x+y。[解：]

[x]

補=0.

1001,[y]

補=0

.0101[x]

補

0.1001+[y]

0.0101負數(shù)的減法運算也要設(shè)法化為加法來做，其所以使用這種方

法而不使用直接減法，是因為它可以和常規(guī)的加法運算使用同

一加法器電路，從而簡化了計算機的設(shè)計。數(shù)用補碼表示時，減法運算的公式為[x-y]

補

=[x]

補-[y]

補=[x]

補+[-

y]

補

(2.18)只要證明[-

y]

補

=

-[y],

上式即得證?，F(xiàn)證明如下：[x+y]

補=[x]

補+[y]

補

(mod

2)[y]

補

=

[x+y]-

[x]

補

(2.19a)[x-y]

補

=[x+

(

一

y)]

補

=[x]

補

+

[

—

y]

補[-y]

補

=[x—y]

補-[x]

補

(2.19

b)將式(2.19a)與(2.19b)相加，得[-y]

補+[y]

補=[x+y]

補+[x-y]

補—[x]

補-[x]

補=[x+y+x-y]

補-[x]補—[x]

補=[x+x]

補

-[x]

補

-[x]

補

=

0故

[-

y]

補

=

-[y]

補

(mod

2)

(2.20)從[y]

補求[-

y]

補的法則是：對

[y]

補包括符號位“求反且最末位加1”,即可得到[-y]

補。寫成運算表達

式

，

則

為

[

-

y]

補

=

—[y]

補+2

-n

(2.21)[例10]已知x?=-0.1110,x?=+0.1101,求：[x?

]

補，[-x?

]補，[x?

]

補，[一x?

]補。[解：][x?

]

補=1.0010[-x?

]

補=-[x?

]

補+2-?=0.1101+0.0001=0.1110[x?

]

補=0.1101[-x?

]

補=-[x?

]+2-?=1.0010+0.0001=1.0011[例11]

x=+0.1101,y=+0.0110,

求x-y。[解：]

[x]

補=0.1101

[y]

補=0.0110,

[-

y]補=1.1010[x]補

0.1101十[一y]補

1.1010[x—y]

補

10.0111所以

x-y=+0.0111[例12]

x=+0.

1011,y=+0.

1001,

求x+y。[解：]

[x]補=0.1011

[y]補=0.1001[x]補

0.1011十[y]補

0.1001[x+y]

補

1.0100兩個正數(shù)相加的結(jié)果成為負數(shù)，這顯然是錯誤的。[例13]

x=-0.

1101,y=-0.

1011,

求x+y。[解：]

[x]補=1.0011

[y]

補=1.0101[

x]補

1.0011[y]

1.0101在定點小數(shù)機器中，數(shù)的表示范圍為

|x

|<1.

在運算過程中如出現(xiàn)大

于1的現(xiàn)象，稱為“溢出”。在定點機中，正常情況下溢出是不允

許的。[x+y]

補

0.1000兩個負數(shù)相加的結(jié)果成為正數(shù)，這同樣是錯誤的。之所以發(fā)生錯誤，是因為運算結(jié)果產(chǎn)生了溢出。兩個正數(shù)相

加，結(jié)果大于機器所能表示的最大正數(shù)，稱為上溢。而兩

個負數(shù)相加，結(jié)果小于機器所能表示的最小負數(shù)，稱為下

溢。為了判斷"溢出"是否發(fā)生，可采用兩種檢測的方法。第一種方法是采用雙符號位法，這稱為"變形補碼"或“模4補碼”,從而可使模2補碼所能表示的數(shù)的范圍擴大一倍。變形補碼定義為下式也同樣成立：[x]

補+

[y]

補=[x+y]

補

(mod

4)或用同余式表示為[x]

補

=

4

+

x(mod

4)(2.22)為了得到兩數(shù)變形補碼之和等于兩數(shù)之和的變形補碼，同樣必須：1.兩個符號位都看作數(shù)碼一樣參加運算2.

兩數(shù)進行以4位模的加法，即最高符號位上產(chǎn)生的進位要丟掉。采用變形補碼后，如果兩個數(shù)相加后，其結(jié)果的符號位出現(xiàn)“01”或

“10”兩種組合時，表示發(fā)生溢出。這是因為兩個絕對值小于1的數(shù)相加，

其結(jié)果不會大于或等于2,所以最高符號位永遠表示結(jié)果的正確符號。例14:x=+0.

1100,y=+0.

1000,

求

x+y。[解：]

[x]=00.1100,[y]

補=00.100000.1100

00.100001.0100兩個符號位出現(xiàn)“01”,表示已溢出，即結(jié)果大于+1。[例15]

x=-0.1100,y=-0.1000,

求x+y。[解：]

[x]補=11.0100,

[y]

補=11.1000[x]

補

11.0100

11.100010.1100兩個符號位出現(xiàn)“10”,表示已溢出，即結(jié)果小于-1。由此可以得出如下結(jié)論：1.

當(dāng)以模4補碼運算，運算結(jié)果的二符號位相異時，表示溢出；相

同時，表示未溢出。故溢出邏輯表達式為

V=SSp,

其中S和Sp

分別為最高符號位和第二符號位。此邏輯表達式可用異或門

實現(xiàn)。2.

模4補碼相加的結(jié)果，不論溢