培優(yōu)專題04構造三角形全等的方法技巧-解析版

培優(yōu)專題04構造三角形全等的方法技巧◎技巧一：利用“補形法”構造全等三角形“補形法”是指補全圖形的方法，主要是利用條件構造與已知三角形全等的三角形，利用全等三角形解決問題。1．（2022·福建漳州·八年級期末）求證：在直角三角形中，若一個銳角等于30°，則它所對的直角邊等于斜邊的一半．要求：(1)根據(jù)給出的線段及∠B，以線段為直角邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出的斜邊，使得，保留作圖痕跡，不寫作法；(2)根據(jù)（1）中所作的圖形，寫出已知、求證和證明過程．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)作一個角等于已知角的方法作圖即可；（2）根據(jù)圖形和命題的已知事項寫出已知，根據(jù)命題的未知事項寫出求證，再寫出證明過程即可．(1)解：如圖所示，線段為所求作的線段；(2)已知：如圖，是直角三角形，，．求證：．解法一：如圖，在上截取一點，使得，連接．∵，，∴．∵，∴是等邊三角形．∴，．∵，∴．∴．∴．∵，∴．解法二：如圖，延長至點，使，連接．∵，，∴，，∵，，，∴．∴．∴是等邊三角形．∴．∵，∴．【點睛】本題主要考查了用尺規(guī)作一個角等于已知角及命題的證明過程的書寫格式，掌握相關內(nèi)容是解題的關鍵．2．（2022·江蘇泰州·九年級專題練習）如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E，F(xiàn)為AB的中點，連接CF，交AD于點G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關系？并說明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．【答案】（1）BE＝AD，見解析；（2）BEG是等腰直角三角形，見解析【分析】（1）延長BE、AC交于點H，先證明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再證明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，則BE＝AD；（2）先證明CF垂直平分AB，則AG＝BG，再證明∠CAB＝∠CBA＝45°，則∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可證明△BEG是等腰直角三角形．【詳解】證：（1）BE＝AD，理由如下：如圖，延長BE、AC交于點H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．【點睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等，理解等腰直角三角形的基本性質，并且掌握全等三角形中常見輔助線的作法是解題關鍵．3．（2021·全國·九年級專題練習）如圖1，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于兩點，且滿足，且是常數(shù)，直線平分，交x軸于點D．（1）若的中點為M，連接交于點N，求證：；（2）如圖2，過點A作，垂足為E，猜想與間的數(shù)量關系，并證明你的猜想．【答案】（1）見解析；（2）,證明見解析．【分析】（1）由已知條件可得，進而得，由直線平分及直角三角形斜邊上中線的性質得，再由三角形的外角定理，分別求得，根據(jù)角度的等量代換，即可得，最后由等角對等邊的性質即可得證；（2）如圖，延長交軸于點，先證明，得，再證明，即可得．【詳解】（1），，，，直線平分，，為的中點，，，，，，，，．（2），證明：如圖，延長交軸于點，直線平分，，，，又，（ASA），，，，即，，又，（ASA），，即．【點睛】本題考查了平面直角坐標系的定義，非負數(shù)之和為零，三角形角平分線的定義，三角形中線的性質，三角形外角定理，三角形全等的性質與判定，等角對等邊，熟練掌握以上知識，添加輔助線是解題的關鍵．4．（2021·全國·八年級課時練習）在△ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點C逆時針旋轉得到線段CD，旋轉角為，且，連接AD、BD．（1）如圖1，當∠BAC=100°，時，∠CBD的大小為_________；（2）如圖2，當∠BAC=100°，時，求∠CBD的大?。唬?）已知∠BAC的大小為m（），若∠CBD的大小與（2）中的結果相同，請直接寫出的大?。敬鸢浮浚?）30°；（2）30°；（3）為或或．【分析】（1）由，，可以確定，旋轉角為，時是等邊三角形，且，知道的度數(shù)，進而求得的大小；（2）由，，可以確定，連接、．，，，由案．依次證明，．利用角度相等可以得到答案．（3）結合（1）（2）的解題過程可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是等邊三角形時，在內(nèi)部時，在外部時，求得答案．【詳解】解：（1）解（1）∵，，∴，∵，，∴為等邊三角形，∴．又∵，∴為等腰三角形，∴，∴．（2）方法1：如圖作等邊，連接、．，．，，．，．．①，，．②，③由①②③，得，，．，，．，，．．．④，，．⑤，⑥由④⑤⑥，得．．．．．方法2如下圖所示，構造等邊三角形ADE，連接CE．∵在等腰三角形ACD中，，∴，∵，∴．可證．結合角度，可得，．在和中，，∴，∴．∵，∴．方法3如下圖所示，平移CD至AE，連接ED，EB，則四邊形ACDE是平行四邊形．∵，∴四邊形ACDE是菱形，∴，．∴，∴，∴是等邊三角形，是等腰三角形，∴，，∴．∴．（3）由（1）知道，若，時，則；①由（1）可知，設時可得，，，．②由（2）可知，翻折到△，則此時，，，③以為圓心為半徑畫圓弧交的延長線于點，連接，，．綜上所述，為或或時，．【點睛】本題是一道幾何結論探究題，解答這類題目的關鍵是要善于從探究特殊結論中歸納出一般性解題方法，并靈活運用這種方法解答一般性的問題，真正達到舉一反三的目的．◎技巧二：利用“截長補短法”構造全等三角形“截長補短”是處理線段間數(shù)量關系的一種重要的解題方法.當題目中出現(xiàn)三條線段間的和差關系時(如a=b+c),?？紤]用此法解決.所謂"截",就是將最長的線段a截成兩段,使其中一段等于較短的一條線段b,再利用全等三角形或者等腰三角形的知識證另一段等于線段c;所謂"補",就是將較短的線段6延長,使延長的線段長度為c,相當于將線段b,c拼成一條線段,再證明此線段的長等于a.用截長補短法解決問題的關鍵,是用"截"或"補"的手段去構造線段.5．（2022·江西·景德鎮(zhèn)七年級期末）如圖，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分線，求證：AE+BE=BC．【答案】見解析【分析】延長BE到F，使BF=BC，連接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通過△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，證得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到結論．【詳解】解：如圖，延長BE到F，使BF=BC，連接FC，∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=20°，∵BF=BC，∴∠F=∠BCF=80°，∴∠FCE=∠ACB=40°，在BC上取CF′=CF，連接EF′，在△FCE與△F′CE中，，∴△FCE≌△F′CE（SAS），∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，∴∠BF′E=100°，∴∠A=∠BF′E，在△ABE與△F′BE中，，∴△ABE≌△F′BE（AAS），∴AE=EF′，∴AE=EF，∴AE+BE=BE+EF=BC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，等腰三角形的性質，作輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．6．（2022·遼寧·阜新實驗七年級期末）問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC．CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系．(1)小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是；（直接寫結論，不需證明）探索延伸：(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中結論是否仍然成立，并說明理由；(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明：若不成立，請直接寫出它們之間的數(shù)量關系．【答案】(1)EF=BE+FD(2)（1）中的結論EF=BE+FD仍然成立．證明見解析；(3)結論EF=BE+FD不成立，結論是：EF=BE-FD．證明見解析．【分析】（1）延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，利用全等三角形的性質解決問題即可；（2）延長CB至M，使BM=DF，連接AM．證明△ABM≌△ADF（SAS），由全等三角形的性質得出AF=AM，∠2=∠3．△AME≌△AFE（SAS），由全等三角形的性質得出EF=ME，即EF=BE+BM，則可得出結論；（3）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．證明△ABG≌△ADF（SAS）．由全等三角形的性質得出∠BAG=∠DAF，AG=AF．證明△AEG≌△AEF（SAS），由全等三角形的性質得出結論．（1）解：EF=BE+FD．延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．∴∠GAF=∠EAF=60°．又∵AF=AF，∴△AGF≌△AEF（SAS）．∴FG=EF．∵FG=DF+DG．∴EF=BE+FD．故答案為：EF=BE+FD；（2）解：（1）中的結論EF=BE+FD仍然成立．證明：如圖②中，延長CB至M，使BM=DF，連接AM．∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∴∠1=∠D，在△ABM與△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF=AM，∠2=∠3．∵∠EAF=∠BAD，∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF．∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．在△AME與△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF=ME，即EF=BE+BM，∴EF=BE+DF；（3）解：結論EF=BE+FD不成立，結論：EF=BE-FD．證明：如圖③中，在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF，∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質等知識，解題的關鍵是添加輔助線，構造全等三角形解決問題．7．（2022·江蘇·八年級專題練習）在等邊三角形ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，P為△ABC外一點，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：當點M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM，NC，MN之間的數(shù)量關系．(1)如圖①，當點M、N在邊AB、AC上，且PM＝PN時，試說明MN＝BM+CN．(2)如圖②，當點M、N在邊AB、AC上，且PM≠PN時，MN＝BM+CN還成立嗎？答：．（請在空格內(nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如圖③，當點M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，請直接寫出BM，NC，MN之間的數(shù)量關系．

【答案】(1)見解析(2)一定成立(3)MN＝NC﹣BM【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質、三角形內(nèi)角和定理得到∠PBC＝∠＝30°，進而得到∠PBM＝∠PCN＝90°，證明Rt△PBM≌Rt△PCN，得到∠BPM＝∠CPN＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質證明結論；（2）延長AC至H，使CH＝BM，連接PH，證明△PBM≌△PCH，得到PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，再證明△MPN≌△HPN，得到MN＝HN，等量代換得到答案；（3）在AC上截取CK＝BM，連接PK，仿照（2）的方法得出結論．（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠BPC＝120°，BP＝CP，∴∠PBC＝∠PCB＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠PBM＝∠PCN＝90°，在Rt△PBM和Rt△PCN中，，∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），∴∠BPM＝∠CPN＝30°，∵∠MPN＝60°，PM＝PN，∴△PMN為等邊三角形，∴PM＝PN＝MN，在Rt△PBM中，∠BPM＝30°，∴BM＝PM，同理可得，CN＝PN，∴BM+CN＝MN．（2）解：一定成立，理由如下：延長AC至H，使CH＝BM，連接PH，如圖所示，由（1）可知：∠PBM＝∠PCN＝90°，∴∠PCH＝90°，∴∠PBM＝∠PCH，在△PBM和△PCH中，，∴△PBM≌△PCH（SAS），∴PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，∵∠BPM+∠CPN＝60°，∴∠CPN+∠CPH＝60°，∴∠MPN＝∠HPN，在△MPN和△HPN中，，∴△MPN≌△HPN（SAS），∴MN＝HN＝BM+CN，故答案為：一定成立．（3）解：在AC上截取CK＝BM，連接PK，如圖所示，在△PBM和△PCK中，，∴△PBM≌△PCK（SAS），∴PM＝PK，∠BPM＝∠CPK，∵∠BPM+∠BPN＝60°，∴∠CPK+∠BPN＝60°，∴∠KPN＝60°，∴∠MPN＝∠KPN，在△MPN和△KPN中，，∴△MPN≌△KPN（SAS），∴MN＝KN，∵KN＝NC﹣CK＝NC﹣BM，∴MN＝NC﹣BM．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．8．（2022·全國·八年級課時練習）閱讀下面材料：【原題呈現(xiàn)】如圖1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的長．【思考引導】因為CD平分∠ACB，所以可在BC邊上取點E，使EC＝AC，連接DE．這樣很容易得到DEC≌DAC，經(jīng)過推理能使問題得到解決（如圖2）．【問題解答】（1）參考提示的方法，解答原題呈現(xiàn)中的問題；（2）拓展提升：如圖3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的長．【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知條件和輔助線的作法，證得△ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝∠DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代換得到∠B＝∠EDB，得到△BDE是等腰三角形，得出AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.2，相加可得BC的長；（2）在BA邊上取點E，使BE＝BC＝2，連接DE，得到△DEB≌△DBC（SAS），在DA邊上取點F，使DF＝DB，連接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出結論．【詳解】解：（1）如圖2，在BC邊上取點E，使EC＝AC，連接DE．在△ACD與△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，∵∠A＝2∠B，∴∠DEC＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴△BDE是等腰三角形；∴BE＝DE＝AD＝2.2，AC＝EC＝3.6，∴BC的長為5.8；（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠C＝80°，∵BD平分∠B，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，在BA邊上取點E，使BE＝BC＝2，連接DE，在△DEB和△DBC中，，∴△DEB≌△DBC（SAS），∴∠BED＝∠C＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA邊上取點F，使DF＝DB，連接FE，同理可得△BDE≌△FDE，∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，∴AF＝EF＝2，∵BD＝DF＝2.3，∴AD＝BD+BC＝4.3．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質，熟悉這些定理是解決本題的關鍵．◎技巧三：利用“倍長中線法”構造全等三角形中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．倍長中線法：就是將三角形的中線延長一倍，以便構造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的方法．倍長中線法的過程：延長某某到某點，使某某等于某某，使什么等于什么（延長的那一條），用SAS證全等（對頂角相等）倍長中線最重要的一點：延長中線一倍，完成SAS全等三角形模型的構造?！痉椒ㄖv解】常用輔助線添加方法——倍長中線△ABC中，AD是BC邊中線，如圖一圖一圖二方式1：延長AD到E，使DE=AD，連接BE如圖二結論：方式2：間接倍長如圖三：作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E；如圖四：延長MD到N，使DN=MD，連接CN，圖三圖四9．（2022·全國·八年級課時練習）已知：多項式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的兩邊BC，AC的長分別是a，b，求第三邊AB上的中線CD的取值范圍．【答案】(1)，(2)2<CD<8【分析】（1）把展開，然后根據(jù)多項式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得，即可求解；（2）延長CD至點H，使CD=DH，連接AH，可得△CDB≌△HAD，從而得到BC=AH=a=6，再根據(jù)三角形的三邊關系，即可求解．(1)解：∵，根據(jù)題意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b∴，解得：；(2)解：如圖，延長CD至點H，使CD=DH，連接AH，∵CD是AB邊上的中線，∴BD=AD，在△CDB和△HDA中，∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，∴△CDB≌△HDA（SAS），∴BC=AH=a=6，在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AH，∴10-6<2CD<10+6，∴2<CD<8．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，整式乘法和二元一次方程組的應用，三角形的三邊關系，熟練掌握全等三角形的判定和性質，整式乘法法則，三角形的三邊關系是解題的關鍵．10．（2022·全國·八年級專題練習）數(shù)學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，，，D是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：（1）如圖1，延長AD到E點，使，連接BE．根據(jù)______可以判定______，得出______．這樣就能把線段AB、AC、集中在中．利用三角形三邊的關系，即可得出中線AD的取值范圍是．【方法感悟】當條件中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件時，可以考慮做“輔助線”——把中線延長一倍，構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中，這種做輔助線的方法稱為“中線加倍”法．【問題解決】（2）如圖2，在中，，D是BC邊的中點，，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：．【問題拓展】（3）如圖3，中，，，AD是的中線，，，且．直接寫出AE的長＝______．【答案】（1）；；；；（2）見解析；（3）8．【分析】（1）根據(jù)三角形全等的判定方法和全等三角形的性質以及三角形三邊的關系求解即可；（2）延長ED使DG=ED，連接FG，GC，根據(jù)垂直平分線的性質得到，然后利用SAS證明，得到，，進而得到,最后根據(jù)勾股定理證明即可；（3）延長AD交EC的延長線于點F，根據(jù)ASA證明，然后根據(jù)垂直平分線的性質得到，最后根據(jù)全等三角形的性質求解即可．【詳解】解：（1）在和中，∴，∴．∵，∴，即，∴，∴，解得：；故答案為：；；；；（2）如圖所示，延長ED使DG=ED，連接FG，GC，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴，∴在中，，∴；（3）如圖所示，延長AD交EC的延長線于點F，∵，，在和中，，∴，，∵，∴，∵，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的性質和判定方法，三角形的三邊關系，“中線加倍”法的運用，解題的關鍵是根據(jù)題意作出輔助線構造全等三角形．11．（2022·全國·八年級課時練習）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點D為BC的中點，求AD的取值范圍．小明的解法如下：延長AD到點E，使DE＝AD，連接CE．在△ABD與△ECD中∴△ABD?△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索應用】如圖②，ABCD，AB＝25，CD＝8，點E為BC的中點，∠DFE＝∠BAE，求DF的長為．（直接寫答案）【應用拓展】如圖③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，連接BE，P為BE的中點，求證：AP⊥DP．【答案】觀察發(fā)現(xiàn)：EC，2，12，1，6；探索應用：17；應用拓展：見解析【分析】觀察發(fā)現(xiàn)：由“SAS”可證△ABD≌△ECD，可得AB=EC，由三角形的三邊關系可求解；探索應用：由“SAS”可證△ABE≌△HCE，可得AB=CH=25，即可求解；應用拓展：由“SAS”可證△BPA≌△EPF，可得AB=FE，∠PBA=∠PEF，由“SAS”可證△ACD≌△FED，可得AD=FD，由等腰三角形的性質可得結論．【詳解】觀察發(fā)現(xiàn)解：如圖①，延長AD到點E，使DE=AD，連接CE，在△ABD與△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=EC，在△AEC中，EC-AC＜AE＜EC+AC，而AB=EC=7，AC=5，∴2＜AE＜12．又∵AE=2AD，∴1＜AD＜6，故答案為：EC，2，12，1，6；探索應用解：如圖2，延長AE，CD交于H，∵點E是BC的中點，∴BE=CE，∵CD∥AB，∴∠ABE=∠ECH，∠H=∠BAE，∴△ABE≌△HCE（AAS），∴AB=CH=25，∴DH=CH-CD=17，∵∠DFE=∠BAE，∴∠H=∠DFE，∴DF=DH=17，故答案為：17；應用拓展證明：如圖2，延長AP到點F，使PF=AP，連接DF，EF，AD，在△BPA與△EPF中，，∴△BPA≌△EPF（SAS），∴AB=FE，∠PBA=∠PEF，∵AC=BC，∴AC=FE，在四邊形BADE中，∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，∵∠BAC=60°，∠CDE=120°，∴∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180°．∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°，∴∠ACD=∠DEB+∠EBA，∴∠ACD=∠FED，在△ACD與△FED中，，∴△ACD≌△FED（SAS），∴AD=FD，∵AP=FP，∴AP⊥DP．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質、等腰三角形的性質等知識，作出恰當?shù)妮o助線，證得三角形全等是解答此題的關鍵．12．（2021·湖北武漢·八年級期中）已知中，（1）如圖1，點E為的中點，連并延長到點F，使，則與的數(shù)量關系是________．（2）如圖2，若，點E為邊一點，過點C作的垂線交的延長線于點D，連接，若，求證：．（3）如圖3，點D在內(nèi)部，且滿足，，點M在的延長線上，連交的延長線于點N，若點N為的中點，求證：．【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）通過證明，即可求解；（2）過點A引交于點F，通過得到，再通過即可求解；（3）過點作交的延長線于點，，在上取一點，使得，連接，利用全等三角形的性質證明、，即可解決．【詳解】證明：（1）由題意可得：在和中∴∴（2）過點A引交于點F，如下圖：由題意可得：，且則又∵∴平分，∴∴在和中∴∴在和中∴∴（3）證明：過點作交的延長線于點，，在上取一點，使得，連接，如下圖：∵∴∵，∴∴，∵∴∵∴∴∴∵∴∵∴∵∴又∵∴∴∴∴∴∵∴【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．◎技巧四：利用“旋轉法”構造全等三角形在解決等邊三角形、正方形或者頂角為特殊的等腰三角形時，若條件較為分散，可考慮利用旋轉構造全等三角形，可高效突破有關難題。手拉手模型便是由兩個同頂角的等腰三角形形成，可看成兩個全等三角形旋轉而得，這便體現(xiàn)了全等三角形和旋轉之間的關系！熟悉手拉手模型2.遇60°，120°構全等關鍵：抓住相等的邊，旋轉點，以及旋轉后圖形的特征3.遇45°，135°構造全等通過全等構造，將線段轉化到直角三角形中以上這些，將會在另外專題中講到。13．（2021·湖北黃岡·八年級階段練習）Rt中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點E為△ABC外一點，且∠CEA＝45°．求證：AE⊥BE．【答案】見解析【分析】首先過點作交的延長線于，易證得，即可得，繼而證得．【詳解】證明：過點作交的延長線于，，，，，，在和中，，，，，即．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質．此題難度較大，解題的關鍵是準確作出輔助線構造旋轉全等模型．14．（2022·全國·八年級單元測試）（1）問題引入：如圖1，點F是正方形ABCD邊CD上一點，連接AF，將ADF繞點A順時針旋轉90°與ABG重合（D與B重合，F(xiàn)與G重合，此時點G，B，C在一條直線上），∠GAF的平分線交BC于點E，連接EF，判斷線段EF與GE之間有怎樣的數(shù)量關系，并說明理由．（2）知識遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長線上的點，連接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，試寫出線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關系，并說明理由．（3）實踐創(chuàng)新：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，點E在AB上，連接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的長．（用含a，b，c的式子表示）【答案】（1）EF＝GE，理由見詳解；（2）BE?DF＝EF，理由見詳解；（3）BE＝，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)SAS直接可證△GAE≌△FAE即得GE＝EF；（2）在BE上取BG＝DF，連接AG，由∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，得∠B＝∠ADF，從而SAS證△ABG≌△ADF，再通過SAS證△GAE≌△FAE，得GE＝EF，從而解決問題；（3）作CF⊥AD，交AD的延長線于F，取FG＝BE，連接CG，由（2）同理可兩次全等證明出DE＝GD即可．【詳解】解：（1）EF＝GE，理由如下：∵△ADF繞點A順時針旋轉90°與△ABG重合，∴AG＝AF，∵AE平分∠GAF，∴∠GAE＝∠FAE，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF；（2）BE?DF＝EF，理由如下：如圖2，在BE上取BG＝DF，連接AG，∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠FAD，AG＝AF，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠GAF＝2∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF，∴BE?DF＝EF；（3）如圖，作CF⊥AD，交AD的延長線于F，取FG＝BE，連接CG，∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CB⊥AB，∴CF＝CB，∠EBC＝∠GFC，∵BE＝GF，∴△CBE≌△CFG（SAS），∴∠BCE＝∠FCG，CG＝CE，∵∠DAB＝60°，∴∠FCB＝120°，∵∠DCE＝60°，∴∠DCF＋∠BCE＝60°，∴∠DCG＝60°，又∵CG＝CE，∴△ECD≌△GCD（SAS），∴GD＝DE，∵Rt△ACF≌Rt△ACB（HL），∴AF＝AB，∴b＋a?BE＝c＋BE，∴BE＝．【點睛】本題主要考查了全等的判定與性質，結合問題引入，構造出全等三角形是解題的關鍵．15．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝，AC、BD交于M（1）如圖1，當＝90°時，∠AMD的度數(shù)為°；（2）如圖2，當＝60°時，求∠AMD的度數(shù)；（3）如圖3，當△OCD繞O點任意旋轉時，∠AMD與是否存在著確定的數(shù)量關系？如果存在，請你用表示∠AMD，不用證明；若不確定，說明理由．【答案】（1）90；（2）120°；（3）存在，∠AMD＝180°﹣【分析】（1）如圖1中，設OA交BD于K．只要證明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由∠AKM=∠BKO，得∠AMK=∠BOK=90°可得結論．（2）如圖2中，設OA交BD于K．只要證明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由∠AKM=∠BKO，推出∠AMK=∠BOK=60°可得結論．（3）如圖3中，設OB交AC于K．只要證明△BOD≌△AOC，可得∠OBD=∠OAC，由∠AKO=∠BKM，推出∠AOK=∠BMK=α．可得∠AMD=180°-α；【詳解】解：（1）如圖1中，設OA交BD于K．∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，∴∠BOD=∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD=∠OAC，∵∠AKM=∠BKO，∴∠AMK=∠BOK=90°，∴∠AMD=180°-90°=90°．故答案為90．（2）如圖2中，設OA交BD于K．∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，∴∠BOD=∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD=∠OAC，∵∠AKM=∠BKO，∴∠AMK=∠BOK=60°，∴∠AMD=180°-60°=120°，（3）如圖3中，設OB交AC于K．∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，∴∠BOD=∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD=∠OAC，∵∠AKO=∠BKM，∴∠AOK=∠BMK=α．∴∠AMD=180°-α．【點睛】本題考查幾何變換綜合題、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用：“8字型”證明角相等．◎技巧五：利用“作垂線法”構造全等三角形16．（2022·全國·八年級課時練習）閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，點E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當?shù)妮o助線，構造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進行證明．①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G．（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進行證明．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）見解析；【分析】（1）①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F，AB＝CD；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G，△BEF≌△CEG△BAF≌△CDG，AB＝CD；（2）如圖3，過C點作CM∥AB，交DE的延長線于點M，則∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；【詳解】（1）①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF，∵點E是BC的中點，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，，∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵點E是BC的中點，