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二、第二類換元法第二節(jié)一、第一類換元法換元積分法

第四章第二類換元法第一類換元法基本思路設(shè)可導(dǎo),則有一、第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即,湊微分法)例1.求解:

令則故原式

=注:

當(dāng)時例2.求解:令則想到公式例3.求想到解:(直接配元)例4.求解:類似例5.求解:∴原式

=常用的幾種配元形式:萬能湊冪法例6.求解:

原式=例7.求解:

原式=例8.

求解:

原式=例9.求解法1解法2兩法結(jié)果一樣例10.

求解法1解法2同樣可證或例11.

求解:

原式=例12.求解:例13.

求解:∴原式=例14.求解:原式=分析:

例15.求解:原式小結(jié)常用簡化技巧:(1)分項積分:(2)降低冪次:(3)統(tǒng)一函數(shù):利用三角公式;配元方法(4)巧妙換元或配元萬能湊冪法利用積化和差;分式分項;利用倍角公式,如思考與練習(xí)1.下列各題求積方法有何不同?2.

求提示:法1法2法3二、第二類換元法第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法.難求，定理2.設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),證:令則則有換元公式例16.求解:

令則∴原式例17.求解:

令則∴原式例18.求解:令則∴原式令于是說明:被積函數(shù)含有時,除采用采用雙曲代換消去根式,所得結(jié)果一致.或或三角代換外,還可利用公式原式例19.求解:

令則原式當(dāng)

x<0時,類似可得同樣結(jié)果.小結(jié):1.第二類換元法常見類型:令令令或令或令或第四節(jié)講2.常用基本積分公式的補充(P203)(7)

分母中因子次數(shù)較高時,可試用倒代換令解:

原式例20.

求例21.求解:例22.求解:

原式=例23.求解:

原式例24.求解:

令得原式思考與練習(xí)1.下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡便?令令令作業(yè)P207-208/2-(9),(10),(13),(14),(17),(36),(37),(40),(44).備用題1.

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