培優(yōu)專題15因式分解的類型-解析版

培優(yōu)專題15因式分解的類型◎類型一：只提不套型方法技巧：先提公因式，然后整理化簡(jiǎn)1．（2022·湖南邵陽(yáng)·七年級(jí)期末）把多項(xiàng)式分解因式，結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接找出公因式m，提公因式即可分解．【詳解】解：m2﹣9m＝m（m﹣9）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題的關(guān)鍵．2．（2022·河北滄州·八年級(jí)期末）將多項(xiàng)式利用提公因式法分解因式，則提取的公因式為（）A． B．a(chǎn)b C．a(chǎn) D．b【答案】D【分析】利用提公因式法進(jìn)行分解即可．【詳解】解：a2b-2b=b（a2-2），將多項(xiàng)式a2b-2b利用提公因式法分解因式，則提取的公因式為：b，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-提公因式法，熟練掌握因式分解-提公因式法是解題的關(guān)鍵．3．（2022·浙江·杭州市實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)七年級(jí)期中）______．【答案】【分析】直接把進(jìn)行因式分解，即可得到答案．【詳解】解：∵；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握提公因式法進(jìn)行因式分解．4．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）分解因式：_________．【答案】##【分析】提公因式，即可求解．【詳解】解：原式＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．5．（2022·山東·濟(jì)南市濟(jì)陽(yáng)區(qū)創(chuàng)新八年級(jí)期中）因式分解：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接提取公因式x，進(jìn)而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式-2b，進(jìn)而分解因式得出答案；（3）直接提取公因式3x，進(jìn)而分解因式得出答案；（4）直接提取公因式2ab，進(jìn)而分解因式得出答案．（1）解：原式=（2）解：原式=（3）解：原式=（4）解：原式=【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．6．（2022·寧夏·中寧縣第三八年級(jí)期中）把下列各式因式分解．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用提公因式分解因式即可；（2）利用提公因式進(jìn)行因式分解即可．（1）解：＝（2）解：＝＝【點(diǎn)睛】此題主要考查了因式分解，解題關(guān)鍵是掌握因式分解的方法．◎類型二：只套不型提方法技巧：直接套用平方差公式或完全平方公式7．（2022·湖南·永州市劍橋七年級(jí)期中）已知，那么的值為（

）A．5 B．4 C．9 D．20【答案】D【分析】根據(jù)平方差公式因式分解即可求解．【詳解】解：∵，∴原式＝．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握平方差公式分解因式是解題的關(guān)鍵．8．（2021·黑龍江黑河·八年級(jí)期末）將多項(xiàng)式分解因式，結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：原式==故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解計(jì)算，主要因式分解過(guò)程中應(yīng)分解徹底，是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)．9．（2022·四川成都·七年級(jí)期末）若，，則__________．【答案】4【分析】根據(jù)，整體代入計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)?，，所以，故答案為?．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．10．（2021·浙江·樹(shù)蘭七年級(jí)期中）直接寫(xiě)出因式分解的結(jié)果：x2﹣y2＝________．【答案】【分析】直接根據(jù)平方差公式因式分解即可求解．【詳解】解：x2﹣y2＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．11．（2022·浙江·杭州市建蘭七年級(jí)期中）（1）因式分解：①

②（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】（1）①；②；（2）；5【分析】（1）①用完全平方公式分解因式即可；②先提公因數(shù)9，再用平方差公式分解因式即可；（2）先根據(jù)單項(xiàng)式成多項(xiàng)式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行運(yùn)算，然后再合并同類項(xiàng)即可化簡(jiǎn)出最簡(jiǎn)結(jié)果，最后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）①②（2）把代入得：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解和整式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握完全平方公式和平方差公式，是解題的關(guān)鍵．12．（2022·重慶南開(kāi)三模）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可；（2）先算括號(hào)，再利用分式除法法則計(jì)算．(1)解：原式；(2)解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查整式的計(jì)算以及分式的計(jì)算，涉及因式分解，完全平方公式的運(yùn)算，正確地計(jì)算能力是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．◎類型三：先提后套型方法技巧：先提公因式,然后運(yùn)用平方差公式或完全平方公式法分解13．（2022·浙江·杭州市實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)七年級(jí)期中）如果，則是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)因式分解，進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：，即，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解．14．（2022·山西·右玉縣第八年級(jí)期末）把分解因式，結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【詳解】解：原式=，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．15．（2022·浙江·杭州市大關(guān)八年級(jí)階段練習(xí)）配方填空：______（x-____）2．【答案】

9

【分析】要先提公因式，再運(yùn)用和的完全平方公式，用中間項(xiàng)除以2再除以左邊項(xiàng)即可得到右邊項(xiàng)．【詳解】解：提公因式后得，利用完全平方公式得右邊項(xiàng)：，即配方為：，由得第一空的答案為：．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的一般步驟：多項(xiàng)式先提出二次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，掌握并熟練運(yùn)用配方法是解題關(guān)鍵．16．（2022·山東省青島第六十三八年級(jí)期中）因式分解：_________．【答案】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，掌握平方差公式是解答關(guān)鍵．17．（2022·浙江·杭州市實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)七年級(jí)期中）因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，再利用十字相乘法繼續(xù)分解即可解答；（2）先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行分組，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答．（1）解：（2）解：【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，因式分解—分組分解法，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式．18．（2022·江蘇·南師附中新城初中黃山路分校七年級(jí)期中）因式分解：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；（3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【點(diǎn)睛】此題考查的是因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解決此題的關(guān)鍵．◎類型四：先破后立型方法技巧：先按整式乘法運(yùn)算化簡(jiǎn),然后再進(jìn)行因式分解19．（2022·湖北武漢·八年級(jí)期末）下面分解因式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將各式分解得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】解：A、，不符合題意；B、，不符合題意；C、，符合題意；D、，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解-公式法，熟練掌握平方差公式及完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．20．（2022·廣東·九年級(jí)競(jìng)賽）已知，且，則的值為（

）A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044【答案】B【分析】將a2（b+c）=b2（a+c），a≠b，變形后可得ab+ca+bc=0，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】解：a2（b+c）=b2（a+c），a2b+a2c=b2a+b2c，a2b+a2c-（b2a+b2c）=0，a2b+a2c-b2a-b2c=0，ab（a-b）+c（a2-b2）=0，ab（a-b）+c（a+b）（a-b）=0，（a-b）（ab+ca+bc）=0，∵a≠b，∴ab+ca+bc=0，∵b2（a+c）=b（ab+bc）=b（-ac）=-abc=2022，∴abc=-2022．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及因式分解，解決本題的關(guān)鍵是掌握平方差公式以及提公因式法因式分解．21．（2021·浙江杭州·七年級(jí)期末）計(jì)算．【答案】【分析】先根據(jù)乘法公式算乘法，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：==【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，平方差公式，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．22．（2022·湖南·永州市劍橋七年級(jí)期中）因式分解：[提示：把看成一個(gè)整體]【答案】【分析】將看做一個(gè)整體，去括號(hào)后，再利用完全平方公式分解因式．解：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的因式分解，提公因式法和完全平方公式法分解因式，把看成一個(gè)整體是解本題的關(guān)鍵．23．（2021·陜西·西安高新第三八年級(jí)階段練習(xí)）因式分解．【答案】【分析】先利用平方差公式，再提公因式分解即可解答．解：＝（x+4）（x﹣4）+2（x+4）＝（x+4）（x﹣4+2）＝（x+4）（x﹣2）．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．24．（2022·山東德州·八年級(jí)期末）因式分解：（x+1）（x-3）+4【答案】（x+2）2【分析】先將原式進(jìn)行整式的混合運(yùn)算計(jì)算，然后利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可原式【點(diǎn)睛】本題考查利用提公因式法進(jìn)行因式分解、平方差公式的運(yùn)用，掌握完全平方公式與平方差公式是解題關(guān)鍵．◎類型五：利用分組分解法因式分解方法技巧：先分組使之提公因式或能運(yùn)用公式法分解方法分類分組方法特點(diǎn)分組分解法四項(xiàng)二項(xiàng)、二項(xiàng)①按字母分組②按系數(shù)分組③符合公式的兩項(xiàng)分組三項(xiàng)、一項(xiàng)先完全平方公式后平方差公式五項(xiàng)三項(xiàng)、二項(xiàng)各組之間有公因式六項(xiàng)三項(xiàng)、三項(xiàng)二項(xiàng)、二項(xiàng)、二項(xiàng)各組之間有公因式三項(xiàng)、二項(xiàng)、一項(xiàng)可化為二次三項(xiàng)式25．（2021·遼寧丹東·八年級(jí)期末）若的三邊a，b，c，滿足，則的面積為（

）（補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)：如果三角形的兩邊平方和等于第三邊，那么這個(gè)三角形是直角三角形）A．6 B． C． D．8【答案】A【分析】先將條件配成完全平方式，求出a，b，c的值，可得△ABC是直角三角形，即可求面積．【詳解】解：∵，∴，即，∴，∴，∴△ABC是直角三角形，∴的面積為．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，通過(guò)因式分解判斷△ABC的形狀是解決本題的關(guān)鍵．26．（2022·山東濱州·八年級(jí)期末）已知a+b＝3，ab＝1，則多項(xiàng)式a2b+ab2﹣a﹣b的值為(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)分解因式的分組分解因式后整體代入即可求解．【詳解】解：a2b+ab2-a-b=（a2b-a）+（ab2-b）=a（ab-1）+b（ab-1）=（ab-1）（a+b）將a+b=3，ab=1代入，得：原式=0．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解決本題關(guān)鍵是掌握分組分解因式的方法．27．（2022·上海·新中初級(jí)七年級(jí)期末）因式分解：m2-n2-2m+1=___．【答案】（m-1+n）（m-1-n）【分析】先分組，得到m2-2m+1-n2，后進(jìn)行完全平方公式分解與平方差公式分解即可．【詳解】原式=m2-2m+1-n2=（m-1）2-n2=（m-1+n）（m-1-n）．故答案為（m-1+n）（m-1-n）．【點(diǎn)睛】本題考查了分組分解法、完全平方公式、平方差公式，將原式分組得到可以運(yùn)用公式解決是關(guān)鍵．28．（2021·安徽·郎溪實(shí)驗(yàn)一模）因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝_____．【答案】（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）【分析】首先將11x拆項(xiàng)，進(jìn)而利用提取公因式法以及公式法分解因式進(jìn)而得出答案．【詳解】解：x3﹣6x2+11x﹣6＝x3﹣6x2+9x+2x﹣6＝x（x2﹣6x+9）+2（x﹣3）＝x（x﹣3）2+2（x﹣3）＝（x﹣3）[x（x﹣3）+2]＝（x﹣3）（x2﹣3x+2）＝（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．故答案為：（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分組分解法分解因式，正確分組是解題關(guān)鍵．29．（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期中）（1）分解因式：（2）分解因式：【答案】（1）；（2）【分析】（1）先利用整式乘法展開(kāi)，再分組分解，最后利用平方差公式分解因式；（2）先利用平方差公式分解因式，再根據(jù)分解因式即可．【詳解】解：（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，涉及到平方差公式和立方差公式，根據(jù)題中多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)特征，采用恰當(dāng)?shù)姆纸M以及正確的分解因式的方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．30．（2022·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）因式分解：【答案】．【分析】前三項(xiàng)利用十字相乘法分解，再設(shè)多項(xiàng)式分解因式為(x-y+a)(x+2y+b)，展開(kāi)后利用等式的性質(zhì)求得a=-5z，b=2z，即可分解．【詳解】解：，設(shè)多項(xiàng)式分解因式為(x-y+a)(x+2y+b)，則(x-y+a)(x+2y+b)=x2+xy-2y2+(a+b)x+(2a-b)y+ab，∴a+b=-3z，2a-b=-12z，ab=-10z2，解得：a=-5z，b=2z，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解－十字相乘法，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．◎類型六：十字相乘法因式分解方法技巧：先按整式乘法運(yùn)算化簡(jiǎn),然后再進(jìn)行因式分解在二次三項(xiàng)式(≠0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，把排列如下：按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式與之積，即.31．（2022·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)期中）已知方程的兩個(gè)根分別是2和－3，則可分解為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了二次三項(xiàng)式的因式分解法以及根與系數(shù)的關(guān)系可得：2+（-3）=-1=-p，2×（-3）=-6=q，可知x2-px+q=x2-x-6，然后即可分解．【詳解】解：據(jù)題意得2+（-3）=-1=-p，2×（-3）=-6=q，∴p=1，q=-6，可知x2-px+q=x2-x-6，∴x2-x-6=（x+2）（x-3）．故選：D．【點(diǎn)睛】此題十字相乘法分解因式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用十字相乘法分解因式．32．（2022·安徽宿州·八年級(jí)期中）如果多項(xiàng)式能因式分解為，則的值是（

）A．-7 B．7 C．-13 D．13【答案】A【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式可得m、n的值，再代入計(jì)算即可．【詳解】