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文檔簡介

一、線性相關(guān)與線性無關(guān)

二、線性空間的維數(shù)與基

§4.2線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)三、坐標(biāo)

一、線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)V是數(shù)域P上的一個線性空間（1）和式

的一個線性組合．稱為向量組（2）

，若存在

則稱向量可經(jīng)向量組

線性表出；使若向量組中每一向量皆可經(jīng)向量組

線性表出，則稱向量組可經(jīng)向量組線性表出；

若兩向量組可以互相線性表出，則稱這兩個向量組為等價的．

（3），若存在不全為零的數(shù)

，使得

則稱向量組為線性相關(guān)的；（4）如果向量組不是線性相關(guān)的，即只有在時才成立，

則稱為線性無關(guān)的．

（1）單個向量線性相關(guān)

單個向量線性無關(guān)

向量組線性相關(guān)

中有一個向量可經(jīng)其余向量線性表出．

2、有關(guān)結(jié)論（2）若向量組線性無關(guān)，且可被向量組線性表出，則

若與為兩線性無關(guān)的等價向量組，則

（3）若向量組線性無關(guān)，但向量組

線性相關(guān)，則可被向量組

線性表出，且表法是唯一的．二、線性空間的基與維數(shù)

已知：在中，線性無關(guān)的向量組最多由個向量組成，而任意個向量都是線性相關(guān)的．

問題：線性空間的一個重要特征——在線性空間中，最多能有多少線性無關(guān)的向量？定義１在線性空間中，如果存在個元素滿足：記作dimV＝n.當(dāng)一個線性空間中存在任意多個線性無關(guān)的向量時，就稱是無限維的．定義２三、坐標(biāo)注意線性空間的任一元素在不同的基下所對的坐標(biāo)一般不同，一個元素在一個基下對應(yīng)的坐標(biāo)是唯一的．例２所有二階實矩陣組成的集合，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成實數(shù)域上的一個線性空間．對于中的矩陣?yán)?.

3維幾何空間R3＝

是R3的一組基；

也是R3的一組基．一般地，向量空間為n維的，

就是Pn的一組基．稱為Pn的標(biāo)準(zhǔn)基.

①n

維線性空間

V

的基不是唯一的，V中任意

n個②

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